2.1 Argumentieren und Beweisen

in mathematischen Zusammenhängen Vermutungen entwickeln und als mathematische Aussage formulieren eine Vermutung anhand von Beispielen auf ihre Plausibilität prüfen oder anhand eines Gegenbeispiels widerlegen bei der Entwicklung und Prüfung von Vermutungen Hilfsmittel verwenden (zum Beispiel Taschenrechner, Computerprogramme) in einer mathematischen Aussage zwischen Voraussetzung und Behauptung unterscheiden eine mathematische Aussage in einer standardisierten Form (zum Beispiel Wenn-Dann) formulieren zu einem Satz die Umkehrung bilden zwischen Satz und Kehrsatz unterscheiden und den Unterschied an Beispielen erklären mathematische Verfahren und ihre Vorgehensweisen erläutern und begründen beim Erläutern und Begründen unterschiedliche Darstellungsformen verwenden (verbal, zeichnerisch, tabellarisch, formalisiert) Beweise nachvollziehen und wiedergeben bei mathematischen Beweisen die Argumentation auf die zugrunde liegende Begründungsbasis zurückführen ausgehend von einer Begründungsbasis durch zulässige Schlussfolgerungen eine mehrschrittige Argumentationskette aufbauen Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen und Beweise führen Beziehungen zwischen mathematischen Sätzen aufzeigen

2.2 Probleme lösen

das Problem mit eigenen Worten beschreiben Informationen aus den gegebenen Texten, Bildern und Diagrammen entnehmen und auf ihre Bedeutung für die Problemlösung bewerten durch Verwendung verschiedener Darstellungen (informative Figur, verbale Beschreibung, Tabelle, Graph, symbolische Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren Hilfsmittel und Informationsquellen (zum Beispiel Formelsammlung, Taschenrechner, Computerprogramme, Internet) nutzen durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermutungen kommen und diese auf Plausibilität überprüfen das Problem durch Zerlegen in Teilprobleme oder das Einführen von Hilfsgrößen oder Hilfslinien vereinfachen mit formalen Rechenstrategien (unter anderem Äquivalenzumformung von Gleichungen und Prinzip der Substitution) Probleme auf algebraischer Ebene bearbeiten das Aufdecken von Regelmäßigkeiten oder mathematischen Mustern für die Problemlösung nutzen durch Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten Lösungsschritte finden Sonderfälle oder Verallgemeinerungen untersuchen das Problem auf Bekanntes zurückführen oder Analogien herstellen Zusammenhänge zwischen unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik zum Lösen nutzen Ergebnisse, auch Zwischenergebnisse, auf Plausibilität oder an Beispielen prüfen kritisch prüfen, inwieweit eine Problemlösung erreicht wurde Fehler analysieren und konstruktiv nutzen Lösungswege vergleichen

2.3 Modellieren

wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren ergänzende Informationen beschaffen und dazu Informationsquellen nutzen Situationen vereinfachen relevante Größen und ihre Beziehungen identifizieren die Beziehungen zwischen diesen Größen mithilfe von Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Figuren, Diagrammen, Tabellen oder Zufallsversuchen beschreiben Grundvorstellungen zu mathematischen Operationen nutzen und die Eignung mathematischer Verfahren einschätzen zu einer Situation passende mathematische Modelle (zum Beispiel arithmetische Operationen, geometrische Modelle, Terme und Gleichungen, stochastische Modelle) auswählen oder konstruieren Hilfsmittel verwenden rechnen, mathematische Algorithmen oder Konstruktionen ausführen die Ergebnisse aus einer mathematischen Modellierung in die Realität übersetzen die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung in der jeweiligen Realsituation überprüfen die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung bewerten und gegebenenfalls Überlegungen zur Verbesserung der Modellierung anstellen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

zwischen natürlicher Sprache und symbolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen, zum Modellieren und zum Problemlösen auswählen und verwenden zwischen verschiedenen mathematischen Darstellungen wechseln Berechnungen ausführen Routineverfahren anwenden und miteinander kombinieren Algorithmen reflektiert anwenden Ergebnisse und die Eignung des Verfahrens kritisch prüfen Hilfsmittel (zum Beispiel Formelsammlung, Geodreieck und Zirkel, Taschenrechner, Software) problemangemessen auswählen und einsetzen Taschenrechner und mathematische Software (Tabellenkalkulation, Dynamische Geometriesoftware) bedienen und zum Explorieren, Problemlösen und Modellieren einsetzen Ergebnisse, die unter Verwendung eines Taschenrechners oder Computers gewonnen wurden, kritisch prüfen

2.5 Kommunizieren

mathematische Einsichten und Lösungswege schriftlich dokumentieren oder mündlich darstellen und erläutern ihre Ergebnisse strukturiert präsentieren eigene Überlegungen in kurzen Beiträgen sowie selbstständige Problemarbeitungen in Vorträgen verständlich darstellen bei der Darstellung ihrer Ausführungen geeignete Medien einsetzen vorläufige Formulierungen zu fachsprachlichen Formulierungen weiterentwickeln ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen aus Quellen (Texten, Bildern und Tabellen) und aus Äußerungen anderer mathematische Informationen entnehmen Äußerungen und Informationen analysieren und beurteilen

3.3.1 Leitidee Zahl – Variable – Operation (Klasse 11)

Zahlen in Normaldarstellung angeben Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzel- oder Bruchausdrücke deuten und zwischen den Darstellungsformen wechseln die Rechengesetze für das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Potenzen begründen und anwenden Wurzelgleichungen lösen, bei denen einmaliges Quadrieren zielführend ist Potenzgleichungen lösen Exponentialgleichungen unter anderem im Zusammenhang mit Wachstumsprozessen lösen den Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung verwenden die Methode der Substitution zum Lösen von Gleichungen anwenden Nullstellen von Funktionen näherungsweise mithilfe digitaler Hilfsmittel bestimmen die Begriffe Zinssatz, Anfangskapital, Endkapital, Laufzeit und Zinseszins erläutern die Formel K_n = K_0 * q^n unter dem Aspekt des exponentiellen Wachstums für die Berechnung aller Größen anwenden und begründen Tupel addieren, mit Skalaren multiplizieren sowie Tupel in einfachen Fällen als Linearkombination anderer Tupel darstellen und die Operationen geometrisch deuten die Regel für konstanten Faktor, die Potenzregel sowie die Summenregel zum Ableiten von Funktionstermen anwenden die Ableitungsfunktionen der Funktionen f und g mit f(x)=sin(x) und g(x)=cos(x) angeben

3.3.2 Leitidee Messen (Klasse 11)

erklären, wie Flächeninhalt und Umfang eines Kreises mithilfe eines Grenzprozesses bestimmt werden Winkelweiten sowohl im Grad- als auch im Bogenmaß angeben und nutzen die Länge von Kreisbögen und den Flächeninhalt von Kreisausschnitten bestimmen die Formeln zur Berechnung von Mantelflächeninhalten (Kegel, Zylinder) herleiten die Formeln für das Volumen von Pyramide, Kegel und Kugel durch Plausibilitätsbetrachtung erläutern die Formel für das Volumen eines schiefen Körpers mit der Idee des Satzes von Cavalieri anschaulich erklären den Oberflächeninhalt und das Volumen von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel berechnen Oberflächeninhalte und Volumina bei zusammengesetzten Körpern bestimmen den Abstand zweier Punkte bestimmen den Betrag eines Vektors berechnen und als Länge deuten

3.3.3 Leitidee Raum und Form (Klasse 11)

Schrägbilder und Netze (von Prismen, Pyramiden, Zylindern und Kegeln) skizzieren und die Darstellungsformen ineinander überführen zwei gegebene Figuren mithilfe der jeweiligen Definition auf Ähnlichkeit und Kongruenz untersuchen Dreiecke mithilfe ausgewählter Ähnlichkeitssätze (Übereinstimmung in den Längenverhältnissen aller Seiten, Übereinstimmung in zwei Winkelweiten) auf Ähnlichkeit überprüfen unter Nutzung des Satzes des Pythagoras Streckenlängen berechnen beziehungsweise mithilfe seines Kehrsatzes auf Orthogonalität schließen geometrische Zusammenhänge unter Verwendung bereits bekannter Sätze sowie mithilfe von Ähnlichkeitsbeziehungen und Kongruenzsätzen erschließen, begründen und beweisen, und Größen berechnen Streckenlängen und Winkelweiten unter Nutzung der Längenverhältnisse Sinus, Kosinus, Tangens bestimmen die Beziehungen sin²(alpha)+cos²(alpha)=1, sin(90°-alpha)=cos(alpha), tan(alpha)=sin(alpha)/cos(alpha) herleiten Vektoren in Tupeldarstellung entsprechend ihrer Verwendung geometrisch als Punkt oder Verschiebung interpretieren Punkte in das Schrägbild eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems eintragen den Mittelpunkt einer Strecke berechnen Vektoren auf Kollinearität untersuchen Geraden und Strecken vektoriell mithilfe von Parametergleichungen beschreiben die Lagebeziehung von Geraden untersuchen und gegebenenfalls den Schnittpunkt bestimmen geradlinige Bewegungen vektoriell beschreiben Geraden mithilfe von Spurpunkten im Schrägbild eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems veranschaulichen

3.3.4 Leitidee Funktionaler Zusammenhang (Klasse 11)

die Graphen der Potenzfunktionen f mit f(x)=x^n, n in N, und f(x)=x^k (k=-1,-2) unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren anhand einer Betrachtung der Graphen von f mit f(x)=x² und der Wurzelfunktion g mit g(x)=sqrt(x) den Funktionsbegriff und dabei auch die Begriffe Definitionsmenge und Wertemenge erläutern die Graphen der Exponentialfunktionen f mit f(x)=c*a^x+d unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben sowie die Bedeutung von Halbwertszeit und Verdopplungszeit erläutern die Wirkung von Parametern in Funktionstermen von Potenz-, Exponential- und Wurzelfunktion auf deren Graphen abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, Verschiebungen deuten ganzrationale Funktionen auf Nullstellen (auch mehrfache) untersuchen Funktionsterme ganzrationaler Funktionen mithilfe von Nullstellen in faktorisierter Form angeben die Graphen trigonometrischer Funktionen f mit f(x)=a*sin(b(x-c))+d unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren und die Wirkung der Parameter a, b, c, d abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, Verschiebungen deuten, auch sin(x+pi/2)=cos(x) periodische Vorgänge mithilfe der Sinusfunktion beschreiben und interpretieren Funktionen auf ihr Verhalten für |x| -> infinity und deren Graphen auf Symmetrie (zum Ursprung oder zur y-Achse) untersuchen die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf einem Intervall (Differenzenquotient) bestimmen und auch als Sekantensteigung interpretieren die momentane Änderungsrate als Ableitung an einer Stelle aus der mittleren Änderungsrate durch Grenzwertüberlegungen bestimmen die Ableitung an einer Stelle als Tangentensteigung interpretieren die Gleichung der Tangente und der Normalen in einem Kurvenpunkt aufstellen eine Tangente an einen Graphen als lineare Approximation einer Funktion nutzen Steigungswinkel mithilfe der Ableitung berechnen die Ableitungsfunktion als funktionale Beschreibung der Ableitung an beliebigen Stellen erklären die Faktorregel und die Summenregel anschaulich begründen den Monotoniesatz erläutern und dessen Nichtumkehrbarkeit begründen die Eigenschaften von Funktionen und deren Graphen mithilfe von Ableitungsfunktionen (auch höheren Ableitungen) untersuchen (Monotonie, Extrempunkte, Krümmungsverhalten, Wendepunkte) vom Graphen einer Funktion auf den Graphen ihrer Ableitungsfunktion schließen und umgekehrt den Zusammenhang zwischen der Funktion f mit f(x)=sin(x) und ihrer Ableitungsfunktion f' mit f'(x)=cos(x) graphisch erläutern

3.3.5 Leitidee Daten und Zufall (Klasse 11)

den Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit anhand eines Beispiels erläutern Vierfeldertafeln erstellen und verwenden, auch zur Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit untersuchen Ereignisse mithilfe von Zufallsgrößen beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße angeben und im Sachzusammenhang interpretieren den Erwartungswert einer Zufallsgröße bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen und im Sachkontext erläutern die Begriffe Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette erläutern und Bernoulli-Experimente von anderen Zufallsexperimenten unterscheiden die Formel von Bernoulli und die Bedeutung der Binomialkoeffizienten erläutern Wahrscheinlichkeiten binomialverteilter Zufallsgrößen berechnen Binomialverteilungen in Histogrammen graphisch darstellen und die Wirkung der Parameter n, p und k beschreiben die graphische Darstellung einer Binomialverteilung interpretieren bei Binomialverteilungen den jeweils fehlenden Parameter (n, p oder k) mit geeigneten Hilfsmitteln bestimmen die Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnen und ihren Zusammenhang am Histogramm erläutern

3.4.1 Leitidee Zahl – Variable – Operation (Kl. 12/13 LF)

komplexe Zahlen in der Form a+bi als Erweiterung des reellen Zahlbereichs beschreiben die Grundrechenarten für komplexe Zahlen anwenden komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene darstellen Folgen auf Monotonie und Beschränktheit untersuchen den Grenzwert einer Folge mit einem einfachen Bildungsgesetz bestimmen das Konvergenzverhalten einer Folge untersuchen Partialsummen einer endlichen arithmetischen und geometrischen Reihe bestimmen das Verhalten einer geometrischen Reihe in Abhängigkeit der Parameter bestimmen die Produktregel zum Ableiten von Funktionstermen verwenden die Kettenregel zum Ableiten von Funktionstermen verwenden das Gaußverfahren zum Lösen eines linearen Gleichungssystems als ein Beispiel für ein algorithmisches Verfahren erläutern das Gaußverfahren, auch in Matrixschreibweise, zum Lösen eines linearen Gleichungssystems durchführen die Lösungsmenge eines linearen 3x3-Gleichungssystems geometrisch interpretieren

3.4.2 Leitidee Messen (Kl. 12/13 LF)

die Orthogonalität zweier Vektoren mithilfe des Skalarprodukts überprüfen Winkelweiten mithilfe des Skalarprodukts bestimmen Schnittwinkel zwischen geometrischen Objekten (Geraden und Ebenen) bestimmen Abstände zwischen den geometrischen Objekten Punkt und Gerade sowie zwischen zwei parallelen Geraden ermitteln das Vektorprodukt berechnen und bei Berechnungen von Flächeninhalten und Volumina anwenden Abstände zwischen den geometrischen Objekten Punkt und Ebene ermitteln das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe erläutern und geometrisch deuten den Mittelwert einer Funktion auf einem Intervall berechnen Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse und zwischen zwei Graphen bestimmen das Volumen von Körpern berechnen, die durch Rotation von Flächen um die x-Achse entstehen

3.4.3 Leitidee Raum und Form (Kl. 12/13 LF)

Ebenen mithilfe einer Parametendarstellung und einer Koordinatengleichung analytisch beschreiben eine Parametendarstellung einer Ebene in eine Koordinatengleichung umrechnen die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene untersuchen und gegebenenfalls deren Schnittpunkt rechnerisch bestimmen die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen erkennen und begründen Problemstellungen, wie zum Beispiel Spiegelung eines Punktes an einer Ebene sowie Flächeninhalts- und Volumenberechnungen bearbeiten einfache mathematische Aussagen und Sätze beweisen, wie zum Beispiel 'In einem Trapez ist die Mittellinie parallel zu den Grundseiten', 'Die Seitenmitten eines räumlichen Vierecks bilden die Eckpunkte eines Parallelogramms', 'In einer Raute sind die Diagonalen zueinander orthogonal', Satz des Thales

3.4.4 Leitidee Funktionaler Zusammenhang (Kl. 12/13 LF)

Verkettungen von Funktionen erkennen Graphen von zusammengesetzten Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung) untersuchen die Exponentialfunktion f mit f(x)=e^x und deren Ableitungsfunktion angeben die Ableitungsfunktion und eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x)=e^x angeben die Produktregel zum Ableiten von Funktionstermen verwenden die Kettenregel zum Ableiten von Funktionstermen verwenden die Potenzregel, die Regel für konstanten Faktor, die Summenregel sowie das Verfahren der partiellen Integration und der linearen Substitution für die Bestimmung einer Stammfunktion verwenden Stammfunktionsterme zu den Funktionstermen sin(x), cos(x), e^x angeben den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zur Berechnung von bestimmten Integralen nutzen Funktionen aus ihren Änderungsraten rekonstruieren den Bestand aus Anfangsbestand und Änderungsraten bestimmen den Inhalt des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung angeben die Begriffe Integralfunktion und Stammfunktion gegeneinander abgrenzen vom Graphen der Funktion auf den Graphen einer Stammfunktion schließen und umgekehrt den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung in Begründungszusammenhängen, zum Beispiel zum Nachweis der Linearität des Integrals, nutzen die Linearität des Integrals anschaulich begründen und rechenökonomisch nutzen

3.4.5 Leitidee Daten und Zufall (Kl. 12/13 LF)

die Nullhypothese und die Gegenhypothese aus einem Sachkontext heraus formulieren das Prinzip des Hypothesentests erläutern einen einseitigen Hypothesentest durchführen einen beidseitigen Hypothesentest durchführen Entscheidungsregeln bei einem Hypothesentest auch unter Verwendung von Wahrscheinlichkeiten für Fehler erster und zweiter Art bewerten den Fehler erster Art (Risiko erster Art) und den Fehler zweiter Art (Risiko zweiter Art) unterscheiden den Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Wahrscheinlichkeiten für den Fehler erster Art (das Risiko erster Art) und für den Fehler zweiter Art (das Risiko zweiter Art) angeben den Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen erläutern die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße mithilfe von Erwartungswert und Standardabweichung angeben und die zugehörige Glockenkurve skizzieren stochastische Situationen untersuchen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen gehören, und Wahrscheinlichkeiten berechnen

3.5.1 Leitidee Zahl – Variable – Operation (Kl. 12/13 BF)

die Produktregel zum Ableiten von Funktionstermen verwenden die Kettenregel zum Ableiten von Funktionstermen verwenden, bei denen die innere Funktion eine lineare Funktion ist die Potenzregel, die Regel für konstanten Faktor, die Summenregel sowie das Verfahren der linearen Substitution für die Bestimmung einer Stammfunktion verwenden Stammfunktionsterme zu den Funktionstermen sin(x), cos(x), e^x angeben den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zur Berechnung von bestimmten Integralen nutzen das Skalarprodukt berechnen und bei Berechnungen nutzen das Vektorprodukt berechnen und bei Berechnungen nutzen das Gaußverfahren, auch in Matrixschreibweise, auf lineare Gleichungssysteme ohne Parameter bis zur Stufenform anwenden die Lösungsvielfalt linearer Gleichungssysteme ohne Parameter angeben und im Falle eindeutiger Lösbarkeit deren Lösung bestimmen

3.5.2 Leitidee Messen (Kl. 12/13 BF)

die Orthogonalität zweier Vektoren mithilfe des Skalarprodukts überprüfen Winkelweiten mithilfe des Skalarprodukts bestimmen Schnittwinkel zwischen geometrischen Objekten (Geraden und Ebenen) bestimmen Abstände zwischen den geometrischen Objekten Punkt und Ebene ermitteln das Vektorprodukt zum Ermitteln von Flächeninhalten anwenden das bestimmte Integral mithilfe eines Grenzprozesses anschaulich beschreiben und geometrisch deuten Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse und zwischen zwei Graphen bestimmen

3.5.3 Leitidee Raum und Form (Kl. 12/13 BF)

das Skalarprodukt und das Vektorprodukt geometrisch deuten einen gemeinsamen orthogonalen Vektor zu zwei Vektoren bestimmen Ebenen mithilfe von Spurpunkten und Spurgeraden im Schrägbild eines Koordinatensystems veranschaulichen Ebenen mithilfe einer Parametendarstellung und einer Koordinatengleichung analytisch beschreiben eine Parametendarstellung einer Ebene in eine Koordinatengleichung umrechnen die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene untersuchen und gegebenenfalls deren Schnittpunkt rechnerisch bestimmen die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen erkennen und begründen Problemstellungen, wie zum Beispiel Spiegelung eines Punktes an einer Ebene sowie Flächeninhalts- und Volumenberechnungen bearbeiten

3.5.4 Leitidee Funktionaler Zusammenhang (Kl. 12/13 BF)

die Exponentialfunktion f mit f(x)=e^x und deren Ableitungsfunktion angeben die Ableitungsfunktion und eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x)=e^x angeben Verkettungen von Funktionen erkennen, falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist Graphen von zusammengesetzten Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung mit linearer innerer Funktion) untersuchen Extremwerte auch in außermathematischen Sachzusammenhängen bestimmen einen Funktionsterm ermitteln, falls dieser durch die Eigenschaften eines Graphen eindeutig festgelegt ist den Wert des bestimmten Integrals als orientierten Flächeninhalt und als Bestandsveränderung deuten Funktionen aus ihren Änderungsraten rekonstruieren den Bestand aus Anfangsbestand und Änderungsraten bestimmen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden vom Graphen der Funktion auf den Graphen einer Stammfunktion schließen und umgekehrt die Linearität des Integrals anschaulich begründen und rechenökonomisch nutzen

3.5.5 Leitidee Daten und Zufall (Kl. 12/13 BF)

den Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen am Beispiel binomial- und normalverteilter Zufallsgrößen beschreiben den Zusammenhang der Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung einer Normalverteilung und der zugehörigen Glockenkurve beschreiben stochastische Situationen untersuchen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen gehören, und Wahrscheinlichkeiten berechnen