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Lehrpläne Baden-Württemberg
Gymnasium
Digitale mathematische Werkzeuge
prozessbezogen
2.1 Für das Wahlfach spezifische prozessbezogene Kompetenzen
8
inhaltsbezogen
3.1.1 Bekannte mathematische Fragestellungen weiterentwickeln
7
3.1.2 Krümmung und Bogenlänge
4
3.1.3 3D-Flächen
5
3.1.4 Taylorentwicklung
6
3.1.5 Differentialgleichungen
5
Keine Kompetenz enthält diesen Suchbegriff.
2.1 Für das Wahlfach spezifische prozessbezogene Kompetenzen
digitale mathematische Werkzeuge sinnvoll einsetzen.
digitale mathematische Werkzeuge zur Veranschaulichung von Beweisideen nutzen.
mathematische Vermutungen untersuchen, verifizieren beziehungsweise widerlegen.
Probleme erkennen, Strukturen von innermathematischen Problemen erfassen sowie Lösungsansätze entwickeln und anwenden.
die Möglichkeiten des digitalen Hilfsmittels zielgerichtet einsetzen, um Problemstellungen zu analysieren und zu variieren.
zwischen natürlicher, symbolisch-formaler und technisch-syntaktischer Sprache wechseln.
den Komplexitätsgrad einer Modellierung erhöhen, um die Wirklichkeit realitätsnäher abbilden zu können.
an geeigneter Stelle ohne Einsatz digitaler Hilfmittel arbeiten.
3.1.1 Bekannte mathematische Fragestellungen weiterentwickeln
die Entwicklung der Gleichungslehre in kulturell-historischem Kontext nachvollziehen (zum Beispiel graphisches Lösen kubischer Gleichungen der Form \( x^{3}+p\cdot x=q \) (Omar Khayyam) durch Schnitt zwischen Kreis und Normalparabel, Lösungsformeln (Al Khwarizmi, Cardano …)).
die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von kubischen Gleichungen untersuchen und visualisieren.
die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf komplexe Zahlen an einem Beispiel untersuchen, begründen und visualisieren.
ausgehend vom Satz von Vieta nichtlineare Gleichungssysteme lösen und die Lösungsmenge interpretieren – auch komplexwertige Lösungen in der Gauß’schen Zahlenebene visualisieren.
komplexe Lösungen einfacher Potenzgleichungen wie zum Beispiel z^n=1 und kubischer Gleichungen bestimmen, in der Gauß’schen Zahlenebene visualisieren und die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen geometrisch deuten.
den Fundamentalsatz der Algebra an Beispielen veranschaulichen und seine Bedeutung für die Mathematik erkennen.
die Lösungsmenge von Gleichungen als algebraische Kurven deuten und visualisieren.
3.1.2 Krümmung und Bogenlänge
die Bogenlänge von Kurven bestimmen.
den Begriff der Krümmung verwenden und an Beispielen quantitativ erfassen.
den Krümmungskreis als geometrischen Zugang zur Krümmung erschließen.
den Krümmungskreis als beste Approximation an einen Kurvenpunkt erkennen.
3.1.3 3D-Flächen
3D-Flächen als Funktion von zwei Variablen definieren und darstellen.
ebene Schnitte parallel zu den x-z- und y-z-Koordinatenebenen durchführen und die entsprechende Schnittkurve graphisch und algebraisch untersuchen (zum Beispiel f(x,y)=0.1·(x²-y²), f(x,y)=x·y).
partielle Ableitungen in x- und y-Richtung berechnen und das Ergebnis interpretieren.
Gradienten in kartesischen Koordinatensystemen berechnen und die Bedeutung des Gradienten als „Richtung des steilsten Anstiegs“ an einem Beispiel entdecken.
in Analogie zur Definition in R² lokale Extrema in R³ untersuchen und dabei das Kriterium der waagerechten Tangentialebene heuristisch entdecken.
3.1.4 Taylorentwicklung
für Funktionen an einer beliebigen Stelle die lineare Approximation bestimmen.
die Verbesserung der Approximation mit Taylorpolynomen höheren Grades erklären.
das Konstruktionsprinzip der Taylorpolynome n-ten Grades an der Entwicklungsstelle x=0 erläutern und durchführen.
die Entwicklung der Taylorpolynome um x=a; a ∈ R als Verschiebung deuten.
die Taylorentwicklung auf verschiedene bekannte Funktionen (zum Beispiel ganzrationale Funktionen sowie f(x)=e^x, f(x)=sin(x) unter Verwendung des Begriffs der Taylorreihe) anwenden.
anhand eines Beispiels die Divergenz einer Taylorreihe begründen (zum Beispiel f(x)=e^(-1/x) für x > 0 und f(x)=0 für x ≤ 0 mit Entwicklungsstelle x=0).
3.1.5 Differentialgleichungen
Lösung einer Differentialgleichung mittels Richtungsfeld graphisch interpretieren.
überprüfen, ob eine vorgegebene Funktion Lösung einer Differentialgleichung (zum Beispiel von y′ = y/x, y′ = k · y, y′ = 2 · y/x, y′ = n · y/x, y′ = (y+y²)/x) ist.
Differentialgleichungen in einfachen Fällen (insbesondere logistisches Wachstum, Schwingungsvorgänge) untersuchen und in Anwendungskontexten interpretieren.
das explizite und implizite Eulerverfahren anwenden und damit numerische Näherungslösungen für Wachstumsprozesse und Schwingungsvorgänge bestimmen.
die Abhängigkeit der Güte der Näherungslösung hinsichtlich verschiedener Aspekte beschreiben (zum Beispiel Schrittweite der Diskretisierung, gewähltes Näherungsverfahren).
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