Fragen stellen und Vermutungen begründet äußern

in mathematischen Zusammenhängen Vermutungen entwickeln und als mathematische Aussage formulieren eine Vermutung anhand von Beispielen auf ihre Plausibilität prüfen oder anhand eines Gegenbeispiels widerlegen

mathematische Argumentationsstrukturen nutzen

in einer mathematischen Aussage zwischen Voraussetzung und Behauptung unterscheiden eine mathematische Aussage in einer standardisierten Form (zum Beispiel Wenn-Dann) formulieren zu einem Satz die Umkehrung bilden zwischen Satz und Kehrsatz unterscheiden und den Unterschied an Beispielen erklären

mathematische Argumentationen (wie Erläuterungen, Begründungen, Beweise) nachvollziehen und entwickeln

mathematische Verfahren und ihre Vorgehensweisen erläutern und begründen beim Erläutern und Begründen unterschiedliche Darstellungsformen verwenden (verbal, zeichnerisch, tabellarisch, formalisiert) Beweise nachvollziehen und wiedergeben bei mathematischen Beweisen die Argumentation auf die zugrunde liegende Begründungsbasis zurückführen ausgehend von einer Begründungsbasis durch zulässige Schlussfolgerungen eine mehrschrittige Argumentationskette aufbauen Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen und Beweise führen Beziehungen zwischen mathematischen Sätzen aufzeigen

Probleme analysieren

das Problem mit eigenen Worten beschreiben Informationen aus den gegebenen Texten, Bildern und Diagrammen entnehmen und auf ihre Bedeutung für die Problemlösung bewerten durch Verwendung verschiedener Darstellungen (informative Skizze, verbale Beschreibung, Tabelle, Graph, symbolische Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren

Strategien zum Problemlösen auswählen, anwenden und daraus einen Plan zur Lösung entwickeln

durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermutungen kommen und diese auf Plausibilität überprüfen das Problem durch Zerlegen in Teilprobleme oder das Einführen von Hilfsgrößen oder Hilfslinien vereinfachen das Aufdecken von Regelmäßigkeiten oder mathematischen Mustern für die Problemlösung nutzen durch Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten Lösungsschritte finden Sonderfälle oder Verallgemeinerungen untersuchen das Problem auf Bekanntes zurückführen oder Analogien herstellen Zusammenhänge zwischen unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik zum Lösen nutzen

die Lösung überprüfen und den Lösungsprozess reflektieren

Ergebnisse, auch Zwischenergebnisse, auf Plausibilität oder an Beispielen prüfen kritisch prüfen, inwieweit eine Problemlösung erreicht wurde Lösungswege vergleichen und beurteilen

Realsituationen analysieren und aufbereiten

wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren ergänzende Informationen beschaffen und dazu Informationsquellen nutzen Situationen vereinfachen

mathematisieren

relevante Größen und ihre Beziehungen identifizieren die Beziehungen zwischen diesen Größen mithilfe von Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Figuren, Diagrammen, Tabellen oder Zufallsversuchen beschreiben Grundvorstellungen zu mathematischen Operationen nutzen und die Eignung mathematischer Verfahren einschätzen zu einer Situation passende mathematische Modelle (zum Beispiel arithmetische Operationen, geometrische Modelle, Terme und Gleichungen, stochastische Modelle) auswählen oder konstruieren

im mathematischen Modell arbeiten

geeignete Hilfsmittel auswählen und verwenden rechnen, mathematische Algorithmen oder Konstruktionen ausführen

interpretieren und validieren

einem mathematischen Modell eine passende Situation zuordnen die Ergebnisse aus einer mathematischen Modellierung in die Realität übersetzen die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung in der jeweiligen Realsituation überprüfen die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung bewerten und gegebenenfalls Überlegungen zur Verbesserung der Modellierung anstellen

Darstellungen nutzen, vernetzten und wechseln

aus Darstellungen relevante Informationen entnehmen zwischen natürlicher Sprache und symbolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln unterschiedliche mathematische Darstellungsformen verwenden und vernetzen (verbal, grafisch, tabellarisch, symbolisch) eine zur Problemstellung passende Darstellung auswählen zwischen verschiedenen mathematischen Darstellungen wechseln Zusammenhänge zwischen verschiedenen Darstellungen erklären

Darstellungen interpretieren

gegebene Darstellungen kritisch prüfen und ihre Aussagekraft beurteilen missverständliche Darstellungen erkennen und mögliche Fehlinterpretationen benennen

Darstellungen erstellen

geeignete mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen und Dokumentieren von Ergebnissen erzeugen eigene Darstellungen passend zur Problemstellung entwickeln

mathematische Objekte sachgerecht verwenden

mathematische Objekte (zum Beispiel Zahlen, Größen, Strecken, Terme, Gleichungen, Funktionen) verstehen und ihre Bedeutung und innere Struktur beschreiben mit mathematischen Objekten sicher und flexibel umgehen

mathematische Verfahren einsetzen

Berechnungen ausführen Routineverfahren anwenden und miteinander kombinieren zu einer Problemstellung geeignete Lösungsverfahren und Algorithmen auswählen und reflektiert anwenden

mathematische Verfahren reflektieren

Ergebnisse kritisch prüfen die Struktur von Verfahren beschreiben und deren Schritte begründen Verfahren bewerten und sie sachangemessen auf neue Situationen übertragen

Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse darstellen

mathematische Einsichten und Lösungswege schriftlich dokumentieren oder mündlich darstellen und erläutern ihre Ergebnisse strukturiert präsentieren eigene Überlegungen in kurzen Beiträgen sowie selbstständige Problembearbeitungen in Vorträgen verständlich darstellen

die Fachsprache angemessen und korrekt verwenden

vorläufige Formulierungen zu fachsprachlichen Formulierungen weiterentwickeln ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen

mathematische Aussagen interpretieren und einordnen

aus Quellen (Texten, Bildern und Tabellen) und aus Äußerungen anderer mathematische Informationen entnehmen Äußerungen und Informationen sachgerecht analysieren, reflektieren, beurteilen und gegebenenfalls weiterführen (unter anderem konstruktiv mit Fehlern umgehen)

mit verschiedenen analogen und digitalen Medien umgehen

Hilfsmittel (zum Beispiel Formelsammlung, Geodreieck und Zirkel, Taschenrechner, Software) problemangemessen auswählen und einsetzen analoge und digitale Informationsquellen und Anschauungsmaterialien nutzen Taschenrechner und weitere digitale Mathematikwerkzeuge (zum Beispiel Tabellenkalkulation, dynamische Mathematiksoftware) bedienen und zum Explorieren, Durchführen von Algorithmen, Problemlösen, Modellieren, Simulieren oder Verarbeiten von Daten einsetzen bei der Entwicklung und Prüfung von Vermutungen Hilfsmittel verwenden Lernumgebungen zum selbstgesteuerten Lernen und Anwenden von Mathematik nutzen

kritisch mit analogen und digitalen Medien umgehen

Ergebnisse, die unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge gewonnen wurden, kritisch prüfen und ihre Passung zum Ausgangsproblem beurteilen Informationsquellen und deren dargebotene Inhalte kritisch prüfen

analoge und digitale Endprodukte erstellen

mithilfe digitaler Medien zu mathematischen Themen eigene Produkte (zum Beispiel bildliche Darstellungen, Animationen, Videos) anfertigen bei der Darstellung eigener Überlegungen geeignete Medien einsetzen

Zahlbereiche erkunden

die Prinzipien des dezimalen Stellenwertsystems im Vergleich zu einem anderen Zahlensystem beschreiben natürliche Zahlen bis zur Größenordnung Billion lesen und nach Hören in Ziffern schreiben Eigenschaften natürlicher Zahlen untersuchen (einfache Primzahlen erkennen, Primfaktoren bestimmen, die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 6, 9, 10 anwenden) ganze Zahlen zur Beschreibung von Realsituationen verwenden, insbesondere unter den Aspekten Skala und Änderung Brüche zur Beschreibung von Realsituationen verwenden, insbesondere unter den Aspekten Anteil, Teile eines oder mehrerer Ganzer, Verhältnis, Operator, Maßzahl einer Größe Brüche in verschiedenen Formen darstellen (zum Beispiel durch geometrische Figuren, Bruchstreifen) rationale Zahlen und Punkte auf der Zahlengeraden einander zuordnen und rationale Zahlen vergleichen und anordnen den Betrag einer Zahl angeben erläutern, dass zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen stets beliebig viele weitere rationale Zahlen liegen Brüche in Dezimalzahlen (abbrechend oder periodisch) und abbrechende Dezimalzahlen in Brüche umwandeln Brüche, Dezimalzahlen und Prozentangaben ineinander umwandeln

mit Zahlen rechnen

einfache Rechnungen sicher im Kopf durchführen, unter anderem um Ergebnisse überschlägig zu überprüfen natürliche Zahlen und positive Dezimalzahlen schriftlich addieren, subtrahieren, multiplizieren (dabei ein Faktor maximal dreistellig) und dividieren (Divisor maximal zweistellig) bei Division und Multiplikation von positiven Dezimalzahlen Kommaverschiebungen anwenden und das Verfahren begründen Potenzen als Kurzschreibweise eines Produkts erklären und verwenden sowie die Quadratzahlen von 1² bis 20² wiedergeben und erkennen Brüche erweitern und kürzen Brüche mit natürlichen Zahlen multiplizieren und Brüche durch natürliche Zahlen dividieren rationale Zahlen in Bruch- und in Dezimaldarstellung addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren Zahlenwerte und Größenangaben situationsgerecht runden und gerundete Angaben interpretieren die Genauigkeit von Ergebnissen, die durch Rechnen mit gerundeten Werten gewonnen wurden, bewerten natürliche Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise angeben Rechnungen unter Verwendung der Umkehroperation überprüfen

mit Zahltermen arbeiten

Sachsituationen (auch aus der Geometrie und bei Zahlenmustern) durch Zahlterme beschreiben Fachbegriffe für Rechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division), Rechenoperationen (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, potenzieren) und Rechenoperanden (Summand, Faktor, Minuend, Subtrahend, Dividend, Divisor, Basis, Exponent) verwenden bei der Berechnung von Zahltermen Rechengesetze für Rechenvorteile nutzen den Wert von Zahltermen mit Klammern in einfachen Fällen berechnen, zum Beispiel rationale Zahlen treten nur in gleicher Darstellung auf einfache und zusammengesetzte Zahlterme mit den Fachbegriffen Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Potenz beschreiben einfache Aufgaben mit Unbekannten durch Ausprobieren oder Rückwärtsrechnen lösen

Zahlterme berechnen

Zahlterme mit rationalen Zahlen – auch in unterschiedlicher Darstellung – vereinfachen und deren Wert berechnen

mit Prozenten und Zinsen umgehen

Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz identifizieren, visualisieren (zum Beispiel Prozentstreifen) und berechnen Zinsen und iterativ Zinseszinsen berechnen eine Tabellenkalkulation verwenden, um Zinssatz, Tilgung/Sparrate und Laufzeit näherungsweise zu bestimmen

mit Termen umgehen, die auch Variablen enthalten

Situationen unter Verwendung von Variablen und Termen beschreiben Zahlenfolgen fortsetzen und unter Verwendung von Variablen beschreiben (auch die Folge der ungeraden und geraden Zahlen) den Wert von Termen, die Variablen enthalten, durch Einsetzen berechnen die Assoziativgesetze, die Kommutativgesetze sowie das Distributivgesetz angeben und an Beispielen erläutern die Rechengesetze zum Gliedern, Umformen oder Berechnen von Termen anwenden, auch Ausmultiplizieren von Summen und Ausklammern die binomischen Formeln bei Termen, die nur eine Variable enthalten, auch zum Faktorisieren anwenden einfache Formeln (zum Beispiel ρ = m/V) nach jeder Variablen auflösen

mit Wurzeln umgehen

den Zusammenhang zwischen Wurzelziehen und Quadrieren erklären den Wert der Quadratwurzel einer Zahl in einfachen Fällen unter Verwendung bekannter Quadratzahlen abschätzen Zahlterme mit Quadratwurzeln vereinfachen, auch durch teilweises Wurzelziehen anhand eines Beispiels erklären, dass im Allgemeinen √(a) + √(b) ≠ √(a+b) ist, aber √(a · b)= √(a) · √(b) ist die Definition der Wurzel auch zur Bestimmung von Kubikwurzeln anwenden

Zahlbereichserweiterungen untersuchen

anhand geeigneter Beispiele die Unvollständigkeit der rationalen Zahlen beschreiben und die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf reelle Zahlen begründen Beispiele für irrationale Zahlen angeben ein iteratives Verfahren (zum Beispiel Heron-Verfahren, Intervallschachtelung) zur Bestimmung einer Wurzel durchführen, bewerten und mit einem digitalen Werkzeug implementieren

Gleichungen lösen

Ende Klassen 7/8

lineare Gleichungen durch systematisches Probieren und Äquivalenzumformungen lösen die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen mithilfe eines Verfahrens bestimmen die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen untersuchen lineare Gleichungen sowie lineare Gleichungssysteme geometrisch als Schnittproblem von Graphen interpretieren und so näherungsweise lösen einfache lineare Ungleichungen geometrisch interpretieren und mithilfe funktionaler Überlegungen lösen

Ende Klassen 9/10

die Lösungen einer quadratischen Gleichung mithilfe einer Formel bestimmen den Satz vom Nullprodukt zum Lösen von Gleichungen verwenden eine quadratische Gleichung zu vorgegebenen Lösungen bestimmen Bruchgleichungen lösen, bei denen die einmalige Multiplikation mit x^n oder mit genau einem Linearfaktor zielführend ist die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von quadratischen Gleichungen untersuchen quadratische Gleichungen geometrisch als Schnittproblem von Graphen interpretieren und so näherungsweise lösen einfache quadratische Ungleichungen geometrisch interpretieren und mithilfe funktionaler Überlegungen lösen Wurzelgleichungen lösen, bei denen einmaliges Quadrieren zielführend ist Potenzgleichungen lösen Exponentialgleichungen unter anderem im Zusammenhang mit Wachstumsprozessen lösen den Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung verwenden die Methode der Substitution zum Lösen von Gleichungen anwenden, insbesondere bei biquadratischen Gleichungen

mit Potenzen umgehen

Zahlen in Normdarstellung angeben Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzel- oder Bruchausdrücke deuten und zwischen den Darstellungsformen wechseln die Rechengesetze für das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Potenzen begründen und anwenden

exponentielles Wachstum anwenden

die Begriffe Zinssatz, Anfangskapital, Endkapital, Laufzeit und Zinseszins erläutern die Formel K_n = K_0 · q^n unter dem Aspekt des exponentiellen Wachstums für die Berechnung aller Größen anwenden und begründen

mit Vektoren in der Tupeldarstellung arbeiten

Tupel addieren, mit Skalaren multiplizieren sowie Tupel in einfachen Fällen als Linearkombination anderer Tupel darstellen und die Operationen geometrisch deuten

Funktionsterme ableiten

die Regel für konstanten Faktor, die Potenzregel sowie die Summenregel zum Ableiten von Funktionstermen anwenden die Ableitungsfunktionen der Funktionen f und g mit f(x) = sin(x) und g(x) = cos(x) angeben

Zahlenwerte approximieren

die eulersche Zahl e näherungsweise bestimmen ein iteratives Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen begründen und durchführen

weitere Ableitungsregeln anwenden

Klassen 12/13 (Leistungsfach)

die Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionstermen verwenden gebrochenrationale Funktionen durch Verbindung der Ableitungsregeln in einfachen Fällen ableiten (zum Beispiel f(x) = 2/3 x² - 4, nicht jedoch f(x) = x/3 x² -4)

Klassen 12/13 (Basisfach)

die Produktregel zum Ableiten von Funktionstermen verwenden die Kettenregel zum Ableiten von Funktionstermen verwenden, bei denen die innere Funktion eine lineare Funktion ist

Integrationsregeln verwenden und Integrale berechnen

Klassen 12/13 (Leistungsfach)

die Potenzregel, die Regel für konstanten Faktor, die Summenregel sowie das Verfahren der linearen Substitution für die Bestimmung einer Stammfunktion verwenden Stammfunktionsterme zu den Funktionstermen sin(x), cos(x), e^x, 1/x angeben den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zur Berechnung von bestimmten Integralen nutzen uneigentliche Integrale untersuchen

Klassen 12/13 (Basisfach)

die Potenzregel, die Regel für konstanten Faktor, die Summenregel sowie das Verfahren der linearen Substitution für die Bestimmung einer Stammfunktion verwenden Stammfunktionsterme zu den Funktionstermen sin(x), cos(x), e^x angeben den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zur Berechnung von bestimmten Integralen nutzen

Produkte von Vektoren bilden

Klassen 12/13 (Leistungsfach)

das Skalarprodukt berechnen, geometrisch interpretieren und bei Berechnungen nutzen das Vektorprodukt berechnen, geometrisch interpretieren und bei Berechnungen nutzen

Klassen 12/13 (Basisfach)

das Skalarprodukt berechnen und bei Berechnungen nutzen das Vektorprodukt berechnen und bei Berechnungen nutzen

Gauß-Algorithmus verwenden

das Gaußverfahren zum Lösen eines linearen Gleichungssystems als ein Beispiel für ein algorithmisches Verfahren erläutern das Gaußverfahren, auch in Matrixschreibweise, zum Lösen eines linearen Gleichungssystems durchführen die Lösungsmenge eines linearen 3x3-Gleichungssystems geometrisch interpretieren

den natürlichen Logarithmus nutzen

den natürlichen Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung verwenden

lineare Gleichungssysteme untersuchen

das Gaußverfahren, auch in Matrixschreibweise, auf lineare Gleichungssysteme ohne Parameter bis zur Stufenform anwenden die Lösungsvielfalt linearer Gleichungssysteme ohne Parameter angeben und im Falle eindeutiger Lösbarkeit deren Lösung bestimmen

mit Größen umgehen

Messvorgänge und die Verwendung von Einheiten erläutern in ihrem Umfeld Längen, Flächeninhalte, Volumina, Massen, Zeitspannen messen Größenangaben durch Maßzahl und Einheit darstellen die Bedeutung gängiger Vorsilben wie zum Beispiel milli, centi, dezi, kilo, Mega erklären Einheiten für Masse, Zeit(-spanne), Geld, Länge, Flächeninhalt und Volumen verwenden und umwandeln alltagsbezogene Repräsentanten als Schätzhilfe für Größenangaben verwenden, auch zur Plausibilitätsprüfung Winkelweiten messen und schätzen mit Größenangaben rechnen und dabei Einheiten korrekt anwenden

bei Figuren und Körpern Größen berechnen

den Umfang von Rechteck, Quadrat, Dreieck, Trapez, Parallelogramm und Kreis sowie den Umfang zusammengesetzter Figuren bestimmen die Zahl π als Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises erklären die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks mit dem Grundprinzip des Messens erklären die Formeln für den Flächeninhalt eines Parallelogramms und eines Dreiecks geometrisch erklären und die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises durch einfache anschauliche Überlegungen erläutern den Flächeninhalt von Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Trapez, Dreieck und Kreis berechnen und den Flächeninhalt von daraus zusammengesetzten Figuren bestimmen die Formel für das Volumen eines Quaders mit dem Grundprinzip des Messens erklären den Oberflächeninhalt und das Volumen von Würfeln und Quadern und daraus zusammengesetzten Körpern bestimmen

Größen bei Figuren und Körpern berechnen

erklären, wie Flächeninhalt und Umfang eines Kreises mithilfe eines Grenzprozesses bestimmt werden Winkelweiten sowohl im Grad- als auch im Bogenmaß angeben und nutzen die Länge von Kreisbögen und den Flächeninhalt von Kreisausschnitten bestimmen die Formeln zur Berechnung von Mantelflächeninhalten (Kegel, Zylinder) herleiten die Formeln für das Volumen von Pyramide, Kegel und Kugel durch Plausibilitätsbetrachtung erläutern die Formel für das Volumen eines schiefen Körpers mit der Idee des Satzes von Cavalieri anschaulich erklären den Oberflächeninhalt und das Volumen von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel berechnen Oberflächeninhalte und Volumina bei zusammengesetzten Körpern bestimmen

Längen in kartesischen Koordinatensystemen berechnen

den Abstand zweier Punkte bestimmen den Betrag eines Vektors berechnen und als Länge deuten

Winkelweiten, Abstände und Flächeninhalte in kartesischen Koordinatensystemen berechnen

Klassen 12/13 (Leistungsfach)

die Orthogonalität zweier Vektoren mithilfe des Skalarprodukts überprüfen Winkelweiten mithilfe des Skalarprodukts bestimmen Schnittwinkel zwischen geometrischen Objekten (Geraden und Ebenen) bestimmen die Hesse'sche Normalenform einer Ebenengleichung zur Berechnung des Abstands eines Punktes zu einer Ebene anwenden Abstände zwischen den geometrischen Objekten Punkt, Gerade und Ebene (auch zwischen windschiefen Geraden) ermitteln das Vektorprodukt zum Ermitteln von Flächeninhalten anwenden

Klassen 12/13 (Basisfach)

die Orthogonalität zweier Vektoren mithilfe des Skalarprodukts überprüfen Winkelweiten mithilfe des Skalarprodukts bestimmen Schnittwinkel zwischen geometrischen Objekten (Geraden und Ebenen) bestimmen den Abstand zwischen den geometrischen Objekten Punkt und Ebene ermitteln das Vektorprodukt zum Ermitteln von Flächeninhalten anwenden

das Integral nutzen

Klassen 12/13 (Leistungsfach)

das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe erläutern und geometrisch deuten den Mittelwert einer Funktion auf einem Intervall berechnen Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse und zwischen zwei Graphen bestimmen das Volumen von Körpern berechnen, die durch Rotation von Flächen um die x-Achse entstehen

Klassen 12/13 (Basisfach)

das bestimmte Integral mithilfe eines Grenzprozesses anschaulich beschreiben und geometrisch deuten Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse und zwischen zwei Graphen bestimmen

geometrische Objekte und Beziehungen identifizieren und beschreiben

Lagebeziehungen von Strecken und Geraden (parallel, senkrecht) mithilfe eines Geodreiecks untersuchen Winkel unter Verwendung der Begriffe Scheitel und Schenkel beschreiben rechte, spitze und stumpfe Winkel identifizieren Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bei Figuren erkennen und die Symmetrieachse beziehungsweise das Symmetriezentrum identifizieren rechtwinklige, spitzwinklige, stumpfwinklige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke identifizieren Kreise und Vierecke (Quadrat, Rechteck, Raute, Drachenviereck, Parallelogramm, Trapez) identifizieren und deren spezielle Eigenschaften beschreiben vorgegebene Körper (Quader, Würfel, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel) erkennen und benennen

geometrische Objekte zeichnen und konstruieren

sicher mit Geodreieck, Lineal und Zirkel umgehen und damit geometrische Objekte zeichnen Kreise bei vorgegebenem Radius oder Durchmesser mithilfe eines Zirkels zeichnen Orthogonalen, Parallelen und Winkel vorgegebener Winkelweite mithilfe eines Geodreiecks zeichnen den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen, bei Dreiecken Höhen einzeichnen sowie den Abstand zwischen Parallelen bestimmen geometrische Objekte in selbstständig skalierten zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystemen darstellen Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen durchführen Netze, Schrägbilder, Grund- und Aufrisse von Quadern und Würfeln zeichnen Zusammenhänge zwischen den Darstellungsformen Netz, Schrägbild und Modell bei geraden Körpern (Quader, Würfel, Prisma, Zylinder, Pyramide und Kegel) herstellen

geometrische Figuren untersuchen

Winkelweiten unter Verwendung von Scheitel- und Nebenwinkeln sowie Stufen- und Wechselwinkeln erschließen den Winkelsummensatz für Dreiecke begründen Winkelweiten und Streckenlängen durch Anwenden des Winkelsummensatzes oder des Basiswinkelsatzes beziehungsweise dessen Kehrsatz erschließen den Satz des Thales begründen und anwenden, insbesondere auf Orthogonalität schließen die Konstruierbarkeit von Dreiecken unter Verwendung der Dreiecksungleichung und des Winkelsummensatzes beurteilen sowie die Lösungsvielfalt bei Dreieckskonstruktionen untersuchen Streckenlängen und Winkelweiten in ebenen Figuren und Körpern durch maßstäbliches Zeichnen erschließen

Ortslinien konstruieren und mit Ortslinien arbeiten

die Mittelsenkrechte einer Strecke, die Winkelhalbierende eines Winkels mit Zirkel und Lineal konstruieren geometrische Probleme unter Verwendung von Ortslinien (Kreislinie, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Mittelparallele, Thaleskreis) zeichnerisch lösen, auch mit dynamischer Geometriesoftware, und die Lösung beschreiben den Umkreismittelpunkt und den Inkreismittelpunkt eines Dreiecks mit Zirkel und Lineal konstruieren und die Konstruktion begründen Tangenten an Kreise in Punkten auf dem Kreis und von Punkten außerhalb konstruieren

mit zentrischer Streckung und den Strahlensätzen arbeiten

durch zentrische Streckung (auch negativer Streckfaktor) Figuren maßstäblich vergrößern und verkleinern Streckenlängen unter Nutzung der Strahlensätze bestimmen die Nichtumkehrbarkeit des zweiten Strahlensatzes durch Angabe eines Gegenbeispiels begründen

ähnliche Figuren untersuchen und mit Ähnlichkeitsbeziehungen arbeiten

zwei gegebene Figuren mithilfe der jeweiligen Definition auf Ähnlichkeit und Kongruenz untersuchen Dreiecke mithilfe ausgewählter Ähnlichkeitsätze (Übereinstimmung in den Längenverhältnissen aller Seiten, Übereinstimmung in zwei Winkelweiten) auf Ähnlichkeit überprüfen geometrische Zusammenhänge unter Verwendung bereits bekannter Sätze sowie mithilfe von Ähnlichkeitsbeziehungen und Kongruenzsätzen erschließen, begründen und beweisen, und Größen berechnen

Körper zeichnerisch darstellen

Schrägbilder und Netze (von Prismen, Pyramiden, Zylindern und Kegeln) skizzieren und die Darstellungsformen ineinander überführen

geometrische Zusammenhänge beweisen und mit trigonometrischen Beziehungen arbeiten

unter Nutzung des Satzes des Pythagoras Längen von Strecken (Hypotenuse, Katheten) berechnen beziehungsweise mithilfe seines Kehrsatzes auf Orthogonalität schließen Streckenlängen und Winkelweiten unter Nutzung der Längenverhältnisse Sinus, Kosinus, Tangens bestimmen die Beziehungen sin^2(α) + cos^2(α) = 1, sin(90° - α) = cos(α), tan(α) = sin(α)/cos(α) herleiten

mit geometrischen Objekten in kartesischen Koordinatensystemen umgehen

Vektoren in Tupeldarstellung entsprechend ihrer Verwendung geometrisch als Punkt oder Verschiebung interpretieren Punkte in das Schrägbild eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems eintragen den Mittelpunkt einer Strecke berechnen Vektoren auf Kollinearität untersuchen Geraden und Strecken vektoriell mithilfe von Parametergleichungen beschreiben die Lagebeziehung von Geraden untersuchen und gegebenenfalls den Schnittpunkt bestimmen Geraden mithilfe von Spurpunkten im Schrägbild eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems veranschaulichen

Produkte von Vektoren geometrisch nutzen

Klassen 12/13 (Leistungsfach)

das Skalarprodukt und das Vektorprodukt geometrisch deuten einen gemeinsamen orthogonalen Vektor zu zwei Vektoren bestimmen

Klassen 12/13 (Basisfach)

das Skalarprodukt und das Vektorprodukt geometrisch deuten einen gemeinsamen orthogonalen Vektor zu zwei Vektoren bestimmen

vektorielle Darstellungen zur Beschreibung des Anschauungsraumes verwenden

Klassen 12/13 (Leistungsfach)

Ebenen mithilfe von Spurpunkten und Spurgeraden im Schrägbild eines Koordinatensystems veranschaulichen Ebenen mithilfe einer Parameterdarstellung, einer Koordinatengleichung und einer Normalengleichung analytisch beschreiben eine Parameterdarstellung einer Ebene in eine Normalengleichung und in eine Koordinatengleichung umrechnen zwischen Gerade – Ebene und Ebene – Ebene die Lagebeziehung untersuchen sowie gegebenenfalls die Schnittgebilde rechnerisch bestimmen Problemstellungen wie zum Beispiel Spiegelung eines Punktes an einer Ebene, Spiegelung einer Geraden an einem Punkt, Abstands‑, Flächeninhalts- und Volumenberechnungen bearbeiten sowie geradlinige Bewegungen im Raum untersuchen

Klassen 12/13 (Basisfach)

Ebenen mithilfe von Spurpunkten und Spurgeraden im Schrägbild eines Koordinatensystems veranschaulichen Ebenen mithilfe einer Parameterdarstellung und einer Koordinatengleichung analytisch beschreiben eine Parameterdarstellung einer Ebene in eine Koordinatengleichung umrechnen die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene untersuchen und gegebenenfalls deren Schnittpunkt rechnerisch bestimmen die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen erkennen und begründen Problemstellungen wie zum Beispiel Spiegelung eines Punktes an einer Ebene, Flächeninhalts- und Volumenberechnungen bearbeiten sowie geradlinige Bewegungen untersuchen

vektorielle Darstellungen beim Beweisen nutzen

einfache mathematische Aussagen und Sätze beweisen, wie zum Beispiel „In einem Trapez ist die Mittellinie parallel zu den Grundseiten“, „Die Seitenmitten eines räumlichen Vierecks bilden die Eckpunkte eines Parallelogramms“, „In einer Raute sind die Diagonalen zueinander orthogonal“, Satz des Thales

Zusammenhänge beschreiben

einfache Zusammenhänge zwischen Zahlen oder Größen erkennen und beschreiben Muster (zum Beispiel Zahlenfolgen) erkennen, verbal beschreiben und diese fortsetzen Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und die Koordinaten von Punkten ablesen einfache funktionale Zusammenhänge in verbaler, tabellarischer, ikonischer und grafischer Form (auch im Koordinatensystem) darstellen und zwischen Darstellungsformen wechseln proportionale und antiproportionale Zusammenhänge in konkreten Situationen erkennen und Sachprobleme durch proportionales oder antiproportionales Rechnen lösen, auch in der Darstellungsform Dreisatz den dynamischen Zusammenhang zwischen Größen in einfachen Situationen (Länge – Umfang – Flächeninhalt – Volumen) anschaulich erläutern Originallängen, Bildlängen oder Maßstäbe im Zusammenhang mit maßstäblichen Angaben berechnen maßstäbliche Zeichnungen anfertigen, auch mit selbstgewähltem, geeignetem Maßstab

funktionale Zusammenhänge darstellen und nutzen

Zusammenhänge durch Tabellen, Gleichungen, Graphen oder Text darstellen und situationsgerecht zwischen den Darstellungen wechseln zu einer gegebenen Funktion eine Sachsituation angeben, die mithilfe dieser Funktion beschrieben werden kann alltagsbezogene Sachverhalte aus Darstellungen ablesen (zum Beispiel größte und kleinste Werte, Zunehmen und Abnehmen, Zeitpunkte) Proportionalität und Antiproportionalität in verschiedenen Darstellungsformen erkennen und für Berechnungen nutzen, auch in Sachzusammenhängen Funktionen als eindeutige Zuordnungen, zum Beispiel von x-Werten zu y-Werten, von nicht eindeutigen Zuordnungen unterscheiden

mit linearen Funktionen umgehen

eine Gerade mit der Gleichung y = m x + c unter anderem unter Verwendung von Steigung und Steigungsdreiecken zeichnen und einer Geraden eine Gleichung zuordnen aus den Koordinaten zweier Punkte zunächst die Steigung, dann den y-Achsenabschnitt der zugehörigen Geraden berechnen und eine Gleichung der Geraden angeben bei linearen Funktionen das Änderungsverhalten im Sachzusammenhang mithilfe der Änderungsrate beschreiben die Lagebeziehung zweier Geraden anhand ihrer Gleichungen untersuchen

mit quadratischen Funktionen umgehen

quadratische Zusammenhänge durch Tabellen und Gleichungen beschreiben und grafisch darstellen Eigenschaften von Parabeln angeben den Graphen einer quadratischen Funktion mithilfe von Wertetabellen zeichnen oder ausgehend von der Lage des Scheitels skizzieren die Wirkung der Parameter a, d, e auf den Graphen der Funktion f mit f(x) = a · (x - d)^2 + e abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, Verschiebung deuten eine quadratische Funktion f in ihrer Normalform f(x) = a x² + b x + c mithilfe funktionaler oder algebraischer Überlegungen in die Scheitelform f(x) = a · (x-d)^2 + e überführen den Funktionsterm einer quadratischen Funktion mithilfe von Nullstellen in Linearfaktordarstellung angeben Anwendungsaufgaben mithilfe quadratischer Funktionen lösen, auch Bestimmung größter und kleinster Werte

mit Potenz- und Exponentialfunktionen umgehen

die Graphen der Potenzfunktionen f mit f(x) = x^n, n ∈ N und f(x) = x^k (k = -1, -2) unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren anhand einer Betrachtung der Graphen von f mit f(x) = x² und der Wurzelfunktion g mit g(x) = √(x) den Funktionsbegriff und dabei auch die Begriffe Definitionsmenge und Wertemenge erläutern anhand der Funktion f mit f(x) = x² und der Wurzelfunktion g mit g(x) = √(x) den Begriff der Umkehrfunktion beschreiben, den Zusammenhang ihrer Graphen erläutern und ihre Definitionsmengen und Wertemengen vergleichen. die Graphen der Exponentialfunktionen f mit f(x) = c · a^x + d unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben und Berechnungen durchführen sowie die Bedeutung von Halbwertszeit und Verdopplungszeit erläutern die Wirkung von Parametern in Funktionstermen von Potenz‑, Exponential- und Wurzelfunktion auf deren Graphen abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, Verschiebung deuten

mit ganzrationalen und trigonometrischen Funktionen umgehen

ganzrationale Funktionen auf Nullstellen (auch mehrfache) untersuchen Funktionsterme ganzrationaler Funktionen mithilfe von Nullstellen in faktorisierter Form angeben die Graphen trigonometrischer Funktionen f mit f(x) = a · sin(b · (x - c)) + d unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren und die Wirkung der Parameter a, b, c, d abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, Verschiebung deuten, auch sin(x + π/2 ) = cos(x) charakteristische Punkte von Graphen trigonometrischer Funktionen f mit f(x) = a · sin(b · x) angeben, auch auf ganz R die Sinusfunktion der Form f(x) = a · sin(b · (x - c)) + d zur Beschreibung periodischer Vorgänge verwenden, auch mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge Funktionen auf ihr Verhalten für |x| → ∈fty und deren Graphen auf Symmetrie (zum Ursprung oder zur y-Achse) untersuchen

mit charakteristischen Eigenschaften von Funktionen umgehen

die Definition für Monotonie angeben den Unterschied zwischen lokalen und globalen Maxima beziehungsweise Minima erklären

die Grundidee der Differentialrechnung verstehen und mit Ableitungen umgehen

die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf einem Intervall (Differenzenquotient) bestimmen und auch als Sekantensteigung interpretieren die momentane Änderungsrate als Ableitung an einer Stelle aus der mittleren Änderungsrate durch Grenzwertüberlegungen bestimmen die Ableitung an einer Stelle als Tangentensteigung interpretieren die Gleichung der Tangente und der Normale in einem Kurvenpunkt aufstellen eine Tangente an einen Graphen als lineare Approximation einer Funktion nutzen Steigungswinkel mithilfe der Ableitung berechnen die Ableitungsfunktion als funktionale Beschreibung der Ableitung an beliebigen Stellen erklären die Faktorregel und die Summenregel anschaulich begründen den Monotoniesatz erläutern und dessen Nichtumkehrbarkeit begründen die Eigenschaften von Funktionen und deren Graphen mithilfe von Ableitungsfunktionen (auch höheren Ableitungen) untersuchen (Monotonie, Extrempunkte, Krümmungsverhalten, Wendepunkte) vom Graphen einer Funktion auf den Graphen ihrer Ableitungsfunktion schließen und umgekehrt den Zusammenhang zwischen der Funktion f mit f(x) = sin(x) und ihrer Ableitungsfunktion f' mit f'(x) = cos(x) grafisch erläutern

mit der natürlichen Exponential- und Logarithmusfunktion umgehen

die besondere Bedeutung der Basis e bei Exponentialfunktionen erläutern die Graphen der natürlichen Exponential- und Logarithmusfunktion unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren und die Beziehung zwischen den Graphen beschreiben, auch unter dem Aspekt der Umkehrfunktion charakteristische Eigenschaften der Funktion f mit f(x) = e^x beschreiben die Ableitungsfunktion und eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = e^x angeben die Ableitungsfunktion der Funktion f mit f(x) = ln(x) angeben

mit Umkehrfunktionen arbeiten

Definitionsmengen und Wertemengen von Funktionen bestimmen und den Zusammenhang zwischen der Wertemenge einer Funktion und der Definitionsmenge ihrer Umkehrfunktion erläutern die strenge Monotonie einer Funktion verwenden, um ihre Umkehrbarkeit nachzuweisen, und die Nichtumkehrbarkeit einer Funktion anhand ihrer charakteristischen Eigenschaften begründen zu einer gegebenen umkehrbaren Funktion den Term ihrer Umkehrfunktion bestimmen

mit zusammengesetzten Funktionen umgehen

Klassen 12/13 (Leistungsfach)

Funktionen verketten und Verkettungen von Funktionen erkennen die Graphen von Funktionen in einfachen Fällen auf waagrechte und senkrechte Asymptoten und Nullstellen untersuchen, deren Funktionsterm als Quotient zuvor behandelter Funktionstypen gebildet werden kann Graphen von zusammengesetzten Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung) untersuchen

Klassen 12/13 (Basisfach)

Verkettungen von Funktionen erkennen, falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist Graphen von zusammengesetzten Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung mit linearer innerer Funktion) untersuchen

Differentialrechnung anwenden

Klassen 12/13 (Leistungsfach)

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen lösen einen Funktionsterm zu gegebenen Eigenschaften eines Graphen ermitteln bei Funktionenscharen einzelne Fragestellungen zu Eigenschaften ihrer Graphen oder zu Zusammenhängen zwischen den Graphen untersuchen

Klassen 12/13 (Basisfach)

Extremwerte auch in außermathematischen Sachzusammenhängen bestimmen einen Funktionsterm ermitteln, falls dieser durch die Eigenschaften eines Graphen eindeutig festgelegt ist

die Grundidee der Integralrechnung verstehen und mit Integralen umgehen

Klassen 12/13 (Leistungsfach)

den Wert des bestimmten Integrals als orientierten Flächeninhalt und als Bestandsveränderung erklären Funktionen aus ihren Änderungsraten rekonstruieren den Bestand aus Anfangsbestand und Änderungsraten bestimmen den Inhalt des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung angeben die Begriffe Integralfunktion und Stammfunktion gegeneinander abgrenzen vom Graphen der Funktion auf den Graphen einer Stammfunktion schließen und umgekehrt den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung in Begründungszusammenhängen, zum Beispiel zum Nachweis der Linearität des Integrals, nutzen die Linearität des Integrals anschaulich begründen und rechenökonomisch nutzen

Klassen 12/13 (Basisfach)

den Wert des bestimmten Integrals als orientierten Flächeninhalt und als Bestandsveränderung deuten Funktionen aus ihren Änderungsraten rekonstruieren den Bestand aus Anfangsbestand und Änderungsraten bestimmen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden vom Graphen der Funktion auf den Graphen einer Stammfunktion schließen und umgekehrt die Linearität des Integrals anschaulich begründen und rechenökonomisch nutzen

mit der natürlichen Exponentialfunktion umgehen

die besondere Bedeutung der Basis e bei Exponentialfunktionen beschreiben charakteristische Eigenschaften der Funktion f mit f(x) = e^x beschreiben und deren Graph mit dessen waagrechter Asymptote skizzieren die Ableitungsfunktion und eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = e^x angeben

Daten erfassen, darstellen und auswerten

zu einer statistischen Fragestellung eine Datenerhebung planen und durchführen, auch unter den Aspekten Stichprobenauswahl und Erhebungsinstrument, und dabei Urlisten, Strichlisten, Häufigkeitstabellen anfertigen absolute und relative Häufigkeiten (auch in Prozent) bestimmen Daten grafisch darstellen (Balken‑, Säulen‑, Streifen‑, Kreisdiagramm), auch unter Verwendung von Tabellenkalkulation die Kenngrößen Maximum, Minimum, Spannweite, Median und Mittelwert (arithmetisches Mittel) bestimmen Daten aus vorgegebenen Sekundärquellen (zum Beispiel Texten, Diagrammen, bildlichen Darstellungen) entnehmen und interpretieren statistische Aussagen mithilfe der Kenngrößen von Daten formulieren Daten aus ihrer Erfahrungswelt auch bei unterschiedlichen Darstellungsformen auswerten, vergleichen und deuten, auch mithilfe von Tabellenkalkulation statistische Darstellungen hinsichtlich ihrer Eignung und hinsichtlich Irreführung beurteilen

Daten aus- und bewerten

zu einer statistischen Fragestellung Daten aus Sekundärquellen entnehmen Aussagen, die auf einer Datenanalyse basieren, formulieren und bewerten

Wahrscheinlichkeiten verstehen und berechnen

die Bedeutung von Wahrscheinlichkeitsaussagen in alltäglichen Situationen erklären die Begriffe Ergebnis und Ereignis bei Zufallsexperimenten erläutern Ereignisse in geeigneter Form darstellen (unter anderem in Mengenschreibweise) Zufallsexperimente – auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge – durchführen und auswerten die auftretenden relativen Häufigkeiten bei der Durchführung von Zufallsexperimenten als Schätzwerte von Wahrscheinlichkeiten deuten, die bei wachsendem Stichprobenumfang tendenziell besser werden (Gesetz der großen Zahlen) die Anzahl der jeweiligen Möglichkeiten (mögliche und günstige Ergebnisse) in konkreten Situationen durch kombinatorische Überlegungen bestimmen Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen vergleichen und insbesondere bei Laplace-Experimenten bestimmen Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung des Gegenereignisses berechnen Baumdiagramme zur Darstellung mehrstufiger Zufallsexperimente erstellen Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten mithilfe der Pfadregeln (Produkt‑, Summenregel) bestimmen

Wahrscheinlichkeiten verstehen und mit Wahrscheinlichkeiten rechnen

den Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit anhand eines Beispiels erläutern Vierfeldertafeln erstellen und verwenden, auch zur Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit untersuchen Ereignisse mithilfe von Zufallsgrößen beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße angeben und im Sachzusammenhang interpretieren den Erwartungswert einer Zufallsgröße bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung im Sachkontext erläutern den Erwartungswert einer Zufallsgröße bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen, auch unter Verwendung des Summenzeichens die Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen und im Sachkontext erläutern

mit Binomialverteilungen umgehen

die Begriffe Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette erläutern und Bernoulli-Experimente von anderen Zufallsexperimenten unterscheiden die Formel von Bernoulli und die Bedeutung der Binomialkoeffizienten erläutern Wahrscheinlichkeiten binomialverteilter Zufallsgrößen berechnen Binomialverteilungen grafisch darstellen und die Wirkung der Parameter n und p beschreiben die grafische Darstellung einer Binomialverteilung interpretieren bei Binomialverteilungen den jeweils fehlenden Parameter (n,p oder k) mit geeigneten Hilfsmitteln bestimmen die Kenngrößen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnen und ihren Zusammenhang an einer grafischen Darstellung erläutern

Hypothesen bei binomialverteilten Zufallsgrößen testen

das Argumentationsmuster erläutern, das dem Testen von Hypothesen zugrunde liegt eine Nullhypothese so formulieren, dass sie der Zielsetzung des Tests entspricht Ablehnungsbereich und Irrtumswahrscheinlichkeit an einer grafischen Darstellung der Binomialverteilung erläutern ein- und zweiseitige Hypothesentests durchführen und den Ablehnungsbereich, die Entscheidungsregel und die Irrtumswahrscheinlichkeit angeben Signifikanzniveau und Irrtumswahrscheinlichkeit gegeneinander abgrenzen Fehler erster und zweiter Art im Kontext eines Hypothesentests erläutern den Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Wahrscheinlichkeiten für den Fehler erster Art (das Risiko erster Art) und für den Fehler zweiter Art (das Risiko zweiter Art) angeben

mit Normalverteilungen umgehen

Klassen 12/13 (Leistungsfach)

den Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen erläutern, insbesondere am Beispiel binomial- und normalverteilter Zufallsgrößen die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße mithilfe von Erwartungswert und Standardabweichung angeben und die zugehörige Glockenkurve skizzieren stochastische Situationen untersuchen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen gehören, und Wahrscheinlichkeiten berechnen

Klassen 12/13 (Basisfach)

den Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen am Beispiel binomial- und normalverteilter Zufallsgrößen beschreiben den Zusammenhang der Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung einer Normalverteilung und der zugehörigen Glockenkurve beschreiben stochastische Situationen untersuchen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen gehören, und Wahrscheinlichkeiten berechnen