Fragen stellen und Vermutungen begründet äußern

in mathematischen Zusammenhängen Vermutungen entwickeln und als mathematische Aussage formulieren eine Vermutung anhand von Beispielen auf ihre Plausibilität prüfen oder anhand eines Gegenbeispiels widerlegen

mathematische Argumentationsstrukturen nutzen

in einer mathematischen Aussage zwischen Voraussetzung und Behauptung unterscheiden eine mathematische Aussage in einer standardisierten Form (zum Beispiel Wenn – Dann) formulieren zu einem Satz die Umkehrung bilden (E) zwischen Satz und Kehrsatz unterscheiden und den Unterschied an Beispielen erklären (E)

mathematische Argumentationen, wie Erläuterungen, Begründungen, Beweise, nachvollziehen und entwickeln

mathematische Verfahren und ihre Vorgehensweisen erläutern und begründen beim Erläutern und Begründen unterschiedliche Darstellungsformen verwenden (verbal, zeichnerisch, tabellarisch, formalisiert) Beweise nachvollziehen und wiedergeben bei mathematischen Beweisen die Argumentation auf die zugrunde liegende Begründungsbasis zurückführen ausgehend von einer Begründungsbasis durch zulässige Schlussfolgerungen eine mehrschrittige Argumentationskette aufbauen Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen und Beweise führen (E) Beziehungen zwischen mathematischen Sätzen aufzeigen (E)

Probleme analysieren

das Problem mit eigenen Worten beschreiben Informationen aus den gegebenen Texten, Bildern und Diagrammen entnehmen und auf ihre Bedeutung für die Problemlösung bewerten durch Verwendung verschiedener Darstellungen (informative Skizze, verbale Beschreibung, Tabelle, Graph, symbolische Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren

Strategien zum Problemlösen auswählen, anwenden und daraus einen Plan zur Lösung entwickeln

durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermutungen kommen und diese auf Plausibilität überprüfen das Problem durch Zerlegen in Teilprobleme oder das Einführen von Hilfsgrößen oder Hilfslinien vereinfachen das Aufdecken von Regelmäßigkeiten oder mathematischen Mustern für die Problemlösung nutzen durch Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten Lösungsschritte finden Sonderfälle oder Verallgemeinerungen untersuchen das Problem auf Bekanntes zurückführen oder Analogien herstellen Zusammenhänge zwischen unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik zum Lösen nutzen

die Lösung überprüfen und den Lösungsprozess reflektieren

Ergebnisse, auch Zwischenergebnisse, auf Plausibilität oder an Beispielen prüfen kritisch prüfen, inwieweit eine Problemlösung erreicht wurde verschiedene Lösungswege vergleichen und beurteilen

Realsituationen analysieren und aufbereiten

wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren ergänzende Informationen beschaffen und dazu Informationsquellen nutzen Situationen vereinfachen

mathematisieren

relevante Größen und ihre Beziehungen identifizieren die Beziehungen zwischen diesen Größen mithilfe von Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Figuren, Diagrammen, Tabellen oder Zufallsversuchen beschreiben Grundvorstellungen zu mathematischen Operationen nutzen und die Eignung mathematischer Verfahren einschätzen zu einer Situation passende mathematische Modelle (zum Beispiel arithmetische Operationen, geometrische Modelle, Terme und Gleichungen, stochastische Modelle) auswählen oder konstruieren

im mathematischen Modell arbeiten

geeignete Hilfsmittel auswählen und verwenden rechnen, mathematische Algorithmen oder Konstruktionen ausführen

interpretieren und validieren

einem mathematischen Modell eine passende Situation zuordnen die Ergebnisse aus einer mathematischen Modellierung in die Realität übersetzen die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung in der jeweiligen Realsituation überprüfen die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung bewerten und gegebenenfalls Überlegungen zur Verbesserung der Modellierung anstellen

Darstellungen nutzen, vernetzen und wechseln

aus Darstellungen relevante Informationen entnehmen zwischen natürlicher Sprache und symbolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln unterschiedliche mathematische Darstellungsformen verwenden und vernetzen (verbal, grafisch, tabellarisch, symbolisch) eine zur Problemstellung passende Darstellung auswählen zwischen verschiedenen mathematischen Darstellungen wechseln Zusammenhänge zwischen verschiedenen Darstellungen erklären

Darstellungen interpretieren

gegebene Darstellungen kritisch prüfen und ihre Aussagekraft beurteilen missverständliche Darstellungen erkennen und mögliche Fehlinterpretationen benennen

Darstellungen erstellen

geeignete mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen und Dokumentieren von Ergebnissen erzeugen eigene Darstellungen passend zur Problemstellung entwickeln

mathematische Objekte sachgerecht verwenden

mathematische Objekte (zum Beispiel Zahlen, Größen, Strecken, Terme, Gleichungen, Funktionen) verstehen und ihre Bedeutung und innere Struktur beschreiben mit mathematischen Objekten sicher und flexibel umgehen

mathematische Verfahren nutzen

Berechnungen ausführen Routineverfahren anwenden und miteinander kombinieren zu einer Problemstellung geeignete Lösungsverfahren und Algorithmen auswählen und reflektiert anwenden

mathematische Verfahren reflektieren

Ergebnisse kritisch prüfen die Struktur von Verfahren beschreiben und deren Schritte begründen Verfahren bewerten und sie sachangemessen auf neue Situationen übertragen

Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse darstellen

mathematische Einsichten und Lösungswege schriftlich dokumentieren oder mündlich darstellen und erläutern ihre Ergebnisse strukturiert präsentieren eigene Überlegungen in kurzen Beiträgen sowie selbstständige Problembearbeitungen in Vorträgen verständlich darstellen

die Fachsprache angemessen und korrekt verwenden

vorläufige Formulierungen zu fachsprachlichen Formulierungen weiterentwickeln ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen

mathematische Aussagen interpretieren und einordnen

aus Quellen (Texten, Bildern und Tabellen) und aus Äußerungen anderer mathematische Informationen entnehmen Äußerungen und Informationen sachgerecht analysieren, reflektieren, beurteilen und gegebenenfalls weiterführen (unter anderem konstruktiv mit Fehlern umgehen)

mit verschiedenen analogen und digitalen Medien umgehen

Hilfsmittel (zum Beispiel Formelsammlung, Geodreieck und Zirkel, Taschenrechner, Software) problemangemessen auswählen und einsetzen analoge und digitale Informationsquellen und Anschauungsmaterialien nutzen Taschenrechner und weitere digitale Mathematikwerkzeuge (zum Beispiel Tabellenkalkulation, dynamische Mathematiksoftware) bedienen und zum Explorieren, Durchführen von Algorithmen, Problemlösen, Modellieren, Simulieren oder Verarbeiten von Daten einsetzen Lernumgebungen zum selbstgesteuerten Lernen und Anwenden von Mathematik nutzen

kritisch mit analogen und digitalen Medien umgehen

Ergebnisse, die unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge gewonnen wurden, kritisch prüfen und ihre Passung zum Ausgangsproblem beurteilen Informationsquellen und deren dargebotene Inhalte kritisch prüfen

analoge und digitale Endprodukte erstellen

mithilfe digitaler Medien zu mathematischen Themen eigene Produkte (zum Beispiel bildliche Darstellungen, Animationen, Videos) anfertigen bei der Entwicklung und Prüfung von Vermutungen Hilfsmittel verwenden bei der Darstellung eigener Überlegungen geeignete Medien einsetzen

Zahlbereiche erkunden · Niveau G

die Prinzipien des dezimalen Stellenwertsystems beschreiben natürliche Zahlen bis zur Größenordnung Billion lesen und nach Hören in Ziffern schreiben Eigenschaften natürlicher Zahlen untersuchen (einfache Primzahlen erkennen, die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 10 anwenden) ganze Zahlen zur Beschreibung von Realsituationen verwenden, insbesondere unter den Aspekten Skala und Änderung Brüche zur Beschreibung von Realsituationen verwenden, insbesondere unter den Aspekten Anteil, Teile, eines oder mehrerer Ganzer, Maßzahl einer Größe Brüche in verschiedenen Formen darstellen (z. B. durch geometrische Figuren, Bruchstreifen) rationale Zahlen und Punkte auf der Zahlengeraden einander zuordnen und rationale Zahlen vergleichen und anordnen in einfachen Fällen Brüche in Dezimalzahlen und abbrechende Dezimalzahlen in Brüche umwandeln Brüche, Dezimalzahlen und Prozentangaben in einfachen Fällen ineinander umwandeln

Zahlbereiche erkunden · Niveau M

die Prinzipien des dezimalen Stellenwertsystems im Vergleich zum römischen Zahlensystem beschreiben natürliche Zahlen bis zur Größenordnung Billion lesen und nach Hören in Ziffern schreiben Eigenschaften natürlicher Zahlen untersuchen (einfache Primzahlen erkennen, Primfaktoren bestimmen, die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10 anwenden) ganze Zahlen zur Beschreibung von Realsituationen verwenden, insbesondere unter den Aspekten Skala und Änderung Brüche zur Beschreibung von Realsituationen verwenden, insbesondere unter den Aspekten Anteil, Teile, eines oder mehrerer Ganzer, Operator, Maßzahl einer Größe Brüche in verschiedenen Formen darstellen (z. B. durch geometrische Figuren, Bruchstreifen) rationale Zahlen und Punkte auf der Zahlengeraden einander zuordnen und rationale Zahlen vergleichen und anordnen erläutern, dass zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen stets beliebig viele weitere rationale Zahlen liegen Brüche in Dezimalzahlen (abbrechend oder periodisch) und abbrechende Dezimalzahlen in Brüche umwandeln Brüche, Dezimalzahlen und Prozentangaben ineinander umwandeln

Zahlbereiche erkunden · Niveau E

die Prinzipien des dezimalen Stellenwertsystems im Vergleich zu einem anderen Zahlensystem beschreiben natürliche Zahlen bis zur Größenordnung Billion lesen und nach Hören in Ziffern schreiben Eigenschaften natürlicher Zahlen untersuchen (einfache Primzahlen erkennen, Primfaktoren bestimmen, die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 6, 9, 10 anwenden) ganze Zahlen zur Beschreibung von Realsituationen verwenden, insbesondere unter den Aspekten Skala und Änderung Brüche zur Beschreibung von Realsituationen verwenden, insbesondere unter den Aspekten Anteil, Verhältnis, Teile, eines oder mehrerer Ganzer, Operator, Maßzahl einer Größe Brüche in verschiedenen Formen darstellen (z. B. durch geometrische Figuren, Bruchstreifen) rationale Zahlen und Punkte auf der Zahlengeraden einander zuordnen und rationale Zahlen vergleichen und anordnen den Betrag einer Zahl angeben erläutern, dass zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen stets beliebig viele weitere rationale Zahlen liegen Brüche in Dezimalzahlen (abbrechend oder periodisch) und abbrechende Dezimalzahlen in Brüche umwandeln Brüche, Dezimalzahlen und Prozentangaben ineinander umwandeln

mit Zahlen rechnen · Niveau G

einfache Rechnungen sicher im Kopf durchführen, u. a. um Ergebnisse überschlägig zu überprüfen natürliche Zahlen und positive Dezimalzahlen schriftlich addieren, subtrahieren, multiplizieren (dabei ein Faktor maximal 2-stellig) und dividieren (Divisor 1-stellig) Division und Multiplikation von positiven Dezimalzahlen mit Zehnerstufenzahlen sicher durchführen Potenzen als Kurzschreibweise eines Produkts erklären und verwenden sowie die Quadratzahlen von \(1^2\) bis \(15^2\) wiedergeben und erkennen Brüche erweitern und kürzen Brüche mit natürlichen Zahlen multiplizieren und Brüche durch natürliche Zahlen dividieren einfache positive rationale Zahlen in Bruch- und in Dezimaldarstellung addieren, subtrahieren und multiplizieren Zahlenwerte und Größenangaben runden und gerundete Angaben interpretieren Rechnungen unter Verwendung der Umkehroperation überprüfen

mit Zahlen rechnen · Niveau M

einfache Rechnungen sicher im Kopf durchführen, u. a. um Ergebnisse überschlägig zu überprüfen natürliche Zahlen und positive Dezimalzahlen schriftlich addieren, subtrahieren, multiplizieren (dabei ein Faktor maximal 3-stellig) und dividieren (Divisor maximal 2-stellig) bei Division und Multiplikation von positiven Dezimalzahlen Kommaverschiebungen anwenden und das Verfahren begründen Potenzen als Kurzschreibweise eines Produkts erklären und verwenden sowie die Quadratzahlen von \(1^2\) bis \(15^2\) wiedergeben und erkennen Brüche erweitern und kürzen Brüche mit natürlichen Zahlen multiplizieren und Brüche durch natürliche Zahlen dividieren positive rationale Zahlen in Bruch- und in Dezimaldarstellung addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Zahlenwerte und Größenangaben situationsgerecht runden und gerundete Angaben interpretieren Rechnungen unter Verwendung der Umkehroperation überprüfen

mit Zahlen rechnen · Niveau E

einfache Rechnungen sicher im Kopf durchführen, u. a. um Ergebnisse überschlägig zu überprüfen natürliche Zahlen und positive Dezimalzahlen schriftlich addieren, subtrahieren, multiplizieren (dabei ein Faktor maximal 3-stellig) und dividieren (Divisor maximal 2-stellig) bei Division und Multiplikation von positiven Dezimalzahlen Kommaverschiebungen anwenden und das Verfahren begründen Potenzen als Kurzschreibweise eines Produkts erklären und verwenden sowie die Quadratzahlen von \(1^2\) bis \(20^2\) wiedergeben und erkennen Brüche erweitern und kürzen Brüche mit natürlichen Zahlen multiplizieren und Brüche durch natürliche Zahlen dividieren rationale Zahlen in Bruch- und in Dezimaldarstellung addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Zahlenwerte und Größenangaben situationsgerecht runden und gerundete Angaben interpretieren die Genauigkeit von Ergebnissen, die durch Rechnen mit gerundeten Werten gewonnen wurden, bewerten natürliche Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise angeben Rechnungen unter Verwendung der Umkehroperation überprüfen

mit Zahltermen arbeiten · Niveau G

Sachsituationen aus der eigenen Erfahrungswelt und Zahlenmuster durch einfache Zahlterme beschreiben Fachbegriffe für Rechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division), Rechenoperationen (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren) und Rechenoperanden (nur Summand und Faktor) verwenden bei der Berechnung von Zahltermen Rechenvorteile nutzen den Wert von Zahltermen mit Klammern (eine Klammerebene) in einfachen Fällen berechnen, z. B. wenn rationale Zahlen nur in gleicher Darstellung auftreten einfache Zahlterme mit den Fachbegriffen Summe, Differenz, Produkt, Quotient beschreiben einfache Aufgaben mit Unbekannten durch Ausprobieren oder Rückwärtsrechnen lösen

mit Zahltermen arbeiten · Niveau M

Sachsituationen (auch aus der Geometrie und bei Zahlenmuster) durch Zahlterme beschreiben Fachbegriffe für Rechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division), Rechenoperationen (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, potenzieren) und Rechenoperanden (Summand, Faktor, Minuend, Subtrahend, Dividend, Divisor, Basis, Exponent) verwenden bei der Berechnung von Zahltermen Rechengesetze für Rechenvorteile nutzen den Wert von Zahltermen mit Klammern in einfachen Fällen berechnen, z. B. wenn rationale Zahlen nur in gleicher Darstellung auftreten einfache Zahlterme mit den Fachbegriffen Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Potenz beschreiben einfache Aufgaben mit Unbekannten durch Ausprobieren oder Rückwärtsrechnen lösen

mit Zahltermen arbeiten · Niveau E

Sachsituationen (auch aus der Geometrie und bei Zahlenmustern) durch Zahlterme beschreiben Fachbegriffe für Rechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division), Rechenoperationen (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, potenzieren) und Rechenoperanden (Summand, Faktor, Minuend, Subtrahend, Dividend, Divisor, Basis, Exponent) verwenden bei der Berechnung von Zahltermen Rechengesetze für Rechenvorteile nutzen den Wert von Zahltermen mit Klammern in einfachen Fällen berechnen, z. B. wenn rationale Zahlen nur in gleicher Darstellung auftreten einfache und zusammengesetzte Zahlterme mit den Fachbegriffen Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Potenz beschreiben einfache Aufgaben mit Unbekannten durch Ausprobieren oder Rückwärtsrechnen lösen

mit Größen umgehen · Niveau G

Messvorgänge und die Verwendung von Einheiten erläutern in ihrem Umfeld Längen, Flächeninhalte, Volumina, Massen, Zeitspannen messen Größenangaben durch Maßzahl und Einheit darstellen die Bedeutung gängiger Vorsilben wie u. a. milli, centi, dezi, kilo, Mega erklären Einheiten für Masse, Zeit(spanne), Geld, Länge, Flächeninhalt und Volumen verwenden und in benachbarte Einheiten umwandeln alltagsbezogene Repräsentanten als Schätzhilfe für Größenangaben verwenden, auch zur Plausibilitätsprüfung Winkelweiten bis \(180^\circ\) messen und schätzen mit Größenangaben rechnen und dabei Einheiten korrekt anwenden

mit Größen umgehen · Niveau M

Messvorgänge und die Verwendung von Einheiten erläutern in ihrem Umfeld Längen, Flächeninhalte, Volumina, Massen, Zeitspannen messen Größenangaben durch Maßzahl und Einheit darstellen die Bedeutung gängiger Vorsilben wie u. a. milli, centi, dezi, kilo, Mega erklären Einheiten für Masse, Zeit(spanne), Geld, Länge, Flächeninhalt und Volumen verwenden und umwandeln alltagsbezogene Repräsentanten als Schätzhilfe für Größenangaben verwenden, auch zur Plausibilitätsprüfung Winkelweiten messen und schätzen mit Größenangaben rechnen und dabei Einheiten korrekt anwenden

mit Größen umgehen · Niveau E

Messvorgänge und die Verwendung von Einheiten erläutern in ihrem Umfeld Längen, Flächeninhalte, Volumina, Massen, Zeitspannen messen Größenangaben durch Maßzahl und Einheit darstellen die Bedeutung gängiger Vorsilben wie u. a. milli, centi, dezi, kilo, Mega erklären Einheiten für Masse, Zeit(spanne), Geld, Länge, Flächeninhalt und Volumen verwenden und umwandeln alltagsbezogene Repräsentanten als Schätzhilfe für Größenangaben verwenden, auch zur Plausibilitätsprüfung Winkelweiten messen und schätzen mit Größenangaben rechnen und dabei Einheiten korrekt anwenden

bei Figuren und Körpern Größen berechnen · Niveau G

den Umfang von Rechteck und Quadrat bestimmen die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks mit dem Grundprinzip des Messens erklären den Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck berechnen und den Flächeninhalt von daraus zusammengesetzten Figuren bestimmen die Formel für das Volumen eines Quaders mit dem Grundprinzip des Messens erklären den Oberflächeninhalt und das Volumen von Würfeln und Quadern und bei einfachen daraus zusammengesetzten Körpern das Volumen bestimmen

bei Figuren und Körpern Größen berechnen · Niveau M

den Umfang von Rechteck und Quadrat bestimmen die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks mit dem Grundprinzip des Messens erklären den Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck berechnen und den Flächeninhalt von daraus zusammengesetzten Figuren bestimmen die Formel für das Volumen eines Quaders mit dem Grundprinzip des Messens erklären den Oberflächeninhalt und das Volumen von Würfeln und Quadern und einfachen daraus zusammengesetzten Körpern bestimmen

bei Figuren und Körpern Größen berechnen · Niveau E

den Umfang von Rechteck, Quadrat, Dreieck, Trapez, Parallelogramm bestimmen und beim Kreis mithilfe der Formel berechnen sowie den Umfang zusammengesetzter Figuren bestimmen die Zahl \(\pi\) als Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises erklären die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks mit dem Grundprinzip des Messens erklären die Formeln für den Flächeninhalt eines Parallelogramms und eines Dreiecks geometrisch erklären und die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises durch einfache anschauliche Überlegungen erläutern den Flächeninhalt von Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Trapez, Dreieck und Kreis berechnen und den Flächeninhalt von daraus zusammengesetzten Figuren bestimmen die Formel für das Volumen eines Quaders mit dem Grundprinzip des Messens erklären den Oberflächeninhalt und das Volumen von Würfeln und Quadern und daraus zusammengesetzten Körpern bestimmen

geometrische Objekte und Beziehungen identifizieren und beschreiben · Niveau G

Lagebeziehungen von Strecken und Geraden (parallel, senkrecht) mithilfe eines Geodreiecks untersuchen Winkel unter Verwendung der Begriffe Scheitel und Schenkel beschreiben rechte, spitze und stumpfe Winkel identifizieren Achsensymmetrie bei Figuren erkennen und die Symmetrieachse identifizieren Kreise und Vierecke (Quadrat, Rechteck) identifizieren und deren spezielle Eigenschaften beschreiben vorgegebene Körper (Quader, Würfel, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel) erkennen und benennen

geometrische Objekte und Beziehungen identifizieren und beschreiben · Niveau M

Lagebeziehungen von Strecken und Geraden (parallel, senkrecht) mithilfe eines Geodreiecks untersuchen Winkel unter Verwendung der Begriffe Scheitel und Schenkel beschreiben rechte, spitze und stumpfe Winkel identifizieren Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bei Figuren erkennen und die Symmetrieachse beziehungsweise das Symmetriezentrum identifizieren Kreise und Vierecke (Quadrat, Rechteck) identifizieren und deren spezielle Eigenschaften beschreiben vorgegebene Körper (Quader, Würfel, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel) erkennen und benennen

geometrische Objekte und Beziehungen identifizieren und beschreiben · Niveau E

Lagebeziehungen von Strecken und Geraden (parallel, senkrecht) mithilfe eines Geodreiecks untersuchen Winkel unter Verwendung der Begriffe Scheitel und Schenkel beschreiben rechte, spitze und stumpfe Winkel identifizieren Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bei Figuren erkennen und die Symmetrieachse beziehungsweise das Symmetriezentrum identifizieren rechtwinklige, spitzwinklige, stumpfwinklige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke identifizieren Kreise und Vierecke (Quadrat, Rechteck, Raute, Drachenviereck, Parallelogramm, Trapez) identifizieren und deren spezielle Eigenschaften beschreiben vorgegebene Körper (Quader, Würfel, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel) erkennen und benennen

geometrische Objekte zeichnen und konstruieren · Niveau G

sicher mit Geodreieck, Lineal und Zirkel umgehen und damit geometrische Objekte zeichnen Kreise bei vorgegebenem Radius oder Durchmesser mithilfe eines Zirkels zeichnen zueinander parallele beziehungsweise senkrechte Linien und Winkel vorgegebener Winkelweite \(\leq180^\circ\) mithilfe eines Geodreiecks zeichnen den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen Punkte, Strecken, Figuren in vorgegebenen zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystemen darstellen Achsenspiegelungen durchführen, auch mit Geometriesoftware Netze, Schrägbilder, Grund- und Aufrisse von Quadern und Würfeln zeichnen einem vorgegebenen Netz (von Quader, Würfel, Zylinder, Pyramide oder Kegel) den geraden Körper zuordnen

geometrische Objekte zeichnen und konstruieren · Niveau M

sicher mit Geodreieck, Lineal und Zirkel umgehen und damit geometrische Objekte zeichnen Kreise bei vorgegebenem Radius oder Durchmesser mithilfe eines Zirkels zeichnen Senkrechten, Parallelen und Winkel vorgegebener Winkelweite mithilfe eines Geodreiecks zeichnen den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen sowie den Abstand zwischen Parallelen bestimmen Punkte, Strecken, Figuren in selbstständig skalierten zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystemen darstellen Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen durchführen Netze, Schrägbilder, Grund- und Aufrisse von Quadern und Würfeln zeichnen Zusammenhänge zwischen den Darstellungsformen Netz, Schrägbild und Modell bei geraden Körpern (Quader, Würfel, Prisma, Zylinder, Pyramide und Kegel) herstellen

geometrische Objekte zeichnen und konstruieren · Niveau E

sicher mit Geodreieck, Lineal und Zirkel umgehen und damit geometrische Objekte zeichnen Kreise bei vorgegebenem Radius oder Durchmesser mithilfe eines Zirkels zeichnen Orthogonalen, Parallelen und Winkel vorgegebener Winkelweite mithilfe eines Geodreiecks zeichnen den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen, bei Dreiecken Höhen einzeichnen sowie den Abstand zwischen Parallelen bestimmen geometrische Objekte in selbstständig skalierten zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystemen darstellen Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen durchführen Netze, Schrägbilder, Grund- und Aufrisse von Quadern und Würfeln zeichnen Zusammenhänge zwischen den Darstellungsformen Netz, Schrägbild und Modell bei geraden Körpern (Quader, Würfel, Prisma, Zylinder, Pyramide und Kegel) herstellen

Zusammenhänge beschreiben · Niveau G

einfache Zusammenhänge zwischen Größen bei Alltagssituationen erkennen und beschreiben einfache Muster (z. B. Zahlenfolgen) erkennen, verbal beschreiben und diese fortsetzen Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und die Koordinaten von Punkten ablesen einfache funktionale Zusammenhänge in verbaler, tabellarischer und graphischer Form (auch im Koordinatensystem) darstellen und zwischen den Darstellungsformen wechseln proportionale Zusammenhänge in konkreten Situationen erkennen und Sachprobleme durch proportionales Rechnen lösen, auch in der Darstellungsform Dreisatz aus maßstäblichen Darstellungen Originallängen erschließen bei einfachem, vorgegebenem Maßstab Zeichnungen anfertigen

Zusammenhänge beschreiben · Niveau M

einfache Zusammenhänge zwischen Größen bei Alltagssituationen erkennen und beschreiben einfache Muster (z. B. Zahlenfolgen) erkennen, verbal beschreiben und diese fortsetzen Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und die Koordinaten von Punkten ablesen einfache funktionale Zusammenhänge in verbaler, tabellarischer und graphischer Form (auch im Koordinatensystem) darstellen und zwischen den Darstellungsformen wechseln proportionale Zusammenhänge in konkreten Situationen erkennen und Sachprobleme durch proportionales Rechnen lösen, auch in der Darstellungsform Dreisatz Originallängen, Bildlängen oder Maßstäbe im Zusammenhang mit maßstäblichen Angaben berechnen maßstäbliche Zeichnungen nach Vorgaben anfertigen

Zusammenhänge beschreiben · Niveau E

einfache Zusammenhänge zwischen Zahlen oder Größen erkennen und beschreiben Muster (z. B. Zahlenfolgen) erkennen, verbal beschreiben und diese fortsetzen Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und die Koordinaten von Punkten ablesen einfache funktionale Zusammenhänge in verbaler, tabellarischer und graphischer Form (auch im Koordinatensystem) darstellen und zwischen den Darstellungsformen wechseln proportionale und antiproportionale Zusammenhänge in konkreten Situationen erkennen und Sachprobleme durch proportionales oder antiproportionales Rechnen lösen, auch in der Darstellungsform Dreisatz den dynamischen Zusammenhang zwischen Größen in einfachen Situationen (Länge – Umfang – Flächeninhalt – Volumen) anschaulich erläutern Originallängen, Bildlängen oder Maßstäbe im Zusammenhang mit maßstäblichen Angaben berechnen maßstäbliche Zeichnungen anfertigen, auch mit selbstgewähltem, geeignetem Maßstab

Daten erfassen, darstellen und auswerten · Niveau G

eine Datenerhebung bei vorgegebenen Merkmalen und Merkmalsausprägungen mit Anleitung planen und durchführen Urlisten, Strichlisten, Häufigkeitstabellen anfertigen absolute und relative Häufigkeiten (auch in Prozent) bestimmen die Kenngrößen Maximum, Minimum, Spannweite und Mittelwert (arithmetisches Mittel) bestimmen aus Diagrammen (Balken‑, Säulen‑, Kreis- und Streifendiagramm) Zahlenwerte entnehmen und interpretieren Daten graphisch darstellen (Balken- und Säulendiagramm), auch unter Verwendung von Tabellenkalkulation einfache statistische Aussagen auf der Grundlage einer Auswertung von Daten formulieren Daten aus ihrer Erfahrungswelt bei übereinstimmender Darstellungsform vergleichen

Daten erfassen, darstellen und auswerten · Niveau M

eine Datenerhebung bei vorgegebenen Merkmalen und Merkmalsausprägungen mit Hilfe planen und selbstständig durchführen, auch unter den Aspekten Stichprobenauswahl und Erhebungsinstrument Urlisten, Strichlisten, Häufigkeitstabellen anfertigen absolute und relative Häufigkeiten (auch in Prozent) bestimmen die Kenngrößen Maximum, Minimum, Spannweite und Mittelwert (arithmetisches Mittel) bestimmen aus Diagrammen (Balken‑, Säulen‑, Kreis- und Streifendiagramm) Zahlenwerte entnehmen und interpretieren Daten graphisch darstellen (Balken‑, Säulen‑, Kreis- und Streifendiagramm), auch unter Verwendung von Tabellenkalkulation einfache statistische Aussagen auf der Grundlage einer Auswertung von Daten formulieren Daten aus ihrer Erfahrungswelt bei übereinstimmender Darstellungsform vergleichen und deuten

Daten erfassen, darstellen und auswerten · Niveau E

zu einer statistischen Fragestellung eine Datenerhebung selbstständig planen und durchführen, auch unter den Aspekten Stichprobenauswahl und Erhebungsinstrument Urlisten, Strichlisten, Häufigkeitstabellen anfertigen absolute und relative Häufigkeiten (auch in Prozent) bestimmen die Kenngrößen Maximum, Minimum, Spannweite und Mittelwert (arithmetisches Mittel) bestimmen Daten aus vorgegebenen Sekundärquellen (z. B. Texten, Diagrammen, bildlichen Darstellungen) entnehmen und interpretieren Daten graphisch darstellen (Balken‑, Säulen‑, Kreis- und Streifendiagramm ), auch unter Verwendung von Tabellenkalkulation statistische Aussagen mithilfe der Kenngrößen von Daten formulieren Daten aus ihrer Erfahrungswelt auch bei unterschiedlichen Darstellungsformen auswerten, vergleichen und deuten, auch unter Verwendung von Tabellenkalkulation statistische Darstellungen hinsichtlich ihrer Eignung und möglicher Irreführung beurteilen

Zahlterme berechnen · Niveau G

mit natürlichen, gebrochenen und negativen Zahlen rechnen, die im täglichen Leben vorkommen einfache Zahlterme mit rationalen Zahlen – auch solche, die Klammern und Zahlen in unterschiedlichen Darstellungen enthalten – vereinfachen und deren Wert berechnen natürliche Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise angeben

Zahlterme berechnen · Niveau M

mit rationalen Zahlen rechnen Zahlterme mit rationalen Zahlen – auch solche, die Klammern und Zahlen in unterschiedlichen Darstellungen enthalten – vereinfachen und deren Wert berechnen natürliche Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise angeben

Zahlterme berechnen · Niveau E

[Teilkompetenz schon in Klassen 5/6] Zahlterme mit rationalen Zahlen – auch solche, die Klammern und Zahlen in unterschiedlichen Darstellungen enthalten – vereinfachen und deren Wert berechnen

mit Prozenten und Zinsen umgehen · Niveau G

Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz identifizieren, visualisieren (z. B. Prozentstreifen) und berechnen Zins und iterativ Zinseszins berechnen eine Tabellenkalkulation verwenden, um Zinssatz, Tilgung/Sparrate und Laufzeit näherungsweise zu bestimmen

mit Prozenten und Zinsen umgehen · Niveau M

Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz identifizieren, visualisieren (z. B. Prozentstreifen) und berechnen Zins und iterativ Zinseszins berechnen eine Tabellenkalkulation verwenden, um Zinssatz, Tilgung/Sparrate und Laufzeit näherungsweise zu bestimmen

mit Prozenten und Zinsen umgehen · Niveau E

Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz identifizieren, visualisieren (z. B. Prozentstreifen) und berechnen Zins und iterativ Zinseszins berechnen eine Tabellenkalkulation verwenden, um Zinssatz, Tilgung/Sparrate und Laufzeit näherungsweise zu bestimmen

mit Termen umgehen, die auch Variablen enthalten · Niveau G

einfache Sachsituationen und Terme mit Variablen einander zuordnen [MSA] Zahlenfolgen fortsetzen und unter Verwendung von Variablen beschreiben den Wert von vorgegebenen Termen, die eine Variable enthalten, durch Einsetzen berechnen Rechengesetze (z. B. Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Distributivgesetz) zum Umformen von Termen und vorteilhaften Rechnen nutzen in konkreten Situationen bei einfachen Formeln, u. a. \(v=\frac{s}{t}\), die fehlende Größe bestimmen

mit Termen umgehen, die auch Variablen enthalten · Niveau M

Situationen unter Verwendung von Variablen und Termen beschreiben Zahlenfolgen fortsetzen und unter Verwendung von Variablen beschreiben den Wert von Termen, die Variablen enthalten, durch Einsetzen berechnen die Assoziativgesetze, die Kommutativgesetze sowie das Distributivgesetz angeben und an Beispielen erläutern die Rechengesetze zum Gliedern, Umformen oder Berechnen von Termen anwenden, auch Ausmultiplizieren von Summen und Ausklammern von einfachen Faktoren die binomischen Formeln bei Termen, die nur eine Variable enthalten, auch zum Faktorisieren anwenden einfache Formeln, u. a. \(v=\frac{s}{t}\), nach jeder Variablen auflösen

mit Termen umgehen, die auch Variablen enthalten · Niveau E

Situationen unter Verwendung von Variablen und Termen beschreiben Zahlenfolgen fortsetzen und unter Verwendung von Variablen beschreiben (auch die Folge der ungeraden und geraden Zahlen) den Wert von Termen, die Variablen enthalten, durch Einsetzen berechnen die Assoziativgesetze, die Kommutativgesetze sowie das Distributivgesetz angeben und an Beispielen erläutern die Rechengesetze zum Gliedern, Umformen oder Berechnen von Termen anwenden, auch Ausmultiplizieren von Summen und Ausklammern die binomischen Formeln bei Termen, die nur eine Variable enthalten, auch zum Faktorisieren anwenden einfache Formeln, u. a. \(v=\frac{s}{t}\), nach jeder Variablen auflösen

mit Wurzeln umgehen · Niveau G

den Zusammenhang zwischen Wurzelziehen und Quadrieren erklären den Wert der Quadratwurzel einer Zahl in einfachen Fällen unter Verwendung bekannter Quadratzahlen abschätzen Quadratwurzeln im Sachzusammenhang verwenden die Kubikwurzel einer Zahl mit dem Taschenrechner näherungsweise berechnen

mit Wurzeln umgehen · Niveau M

den Zusammenhang zwischen Wurzelziehen und Quadrieren erklären den Wert der Quadratwurzel einer Zahl in einfachen Fällen unter Verwendung bekannter Quadratzahlen abschätzen Quadratwurzeln im Sachzusammenhang verwenden Zahlterme mit Quadratwurzeln vereinfachen, auch durch teilweises Wurzelziehen die Kubikwurzel einer Zahl mit dem Taschenrechner näherungsweise berechnen

mit Wurzeln umgehen · Niveau E

den Zusammenhang zwischen Wurzelziehen und Quadrieren erklären den Wert der Quadratwurzel einer Zahl in einfachen Fällen unter Verwendung bekannter Quadratzahlen abschätzen Quadratwurzeln im Sachzusammenhang verwenden Zahlterme mit Quadratwurzeln vereinfachen, auch durch teilweises Wurzelziehen anhand eines Beispiels erklären, dass im Allgemeinen \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}\) ist, aber \(\sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) ist die Definition der Wurzel auch zur Bestimmung von Kubikwurzeln anwenden

Zahlbereichserweiterungen untersuchen · Niveau G

[MSA] die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf reelle Zahlen anhand geeigneter Beispiele beschreiben [MSA] Beispiele für irrationale Zahlen angeben [MSA] ein iteratives Verfahren (z. B. Heron-Verfahren, Intervallschachtelung) zur Bestimmung einer Wurzel durchführen, bewerten und mit einem digitalen Werkzeug implementieren

Zahlbereichserweiterungen untersuchen · Niveau M

die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf reelle Zahlen anhand geeigneter Beispiele beschreiben Beispiele für irrationale Zahlen angeben ein iteratives Verfahren (z. B. Heron-Verfahren, Intervallschachtelung) zur Bestimmung einer Wurzel durchführen, bewerten und mit einem digitalen Werkzeug implementieren

Zahlbereichserweiterungen untersuchen · Niveau E

anhand geeigneter Beispiele die Unvollständigkeit der rationalen Zahlen beschreiben und die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf reelle Zahlen begründen Beispiele für irrationale Zahlen angeben ein iteratives Verfahren (z. B. Heron-Verfahren, Intervallschachtelung) zur Bestimmung einer Wurzel durchführen, bewerten und mit einem digitalen Werkzeug implementieren

Gleichungen lösen · Niveau G

lineare Gleichungen durch systematisches Probieren und Äquivalenzumformungen lösen [MSA] die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen mithilfe eines Verfahrens bestimmen [MSA] die Lösungen einer quadratischen Gleichung mithilfe einer Formel bestimmen [MSA] die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen und quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen untersuchen lineare Gleichungen grafisch näherungsweise lösen

Gleichungen lösen · Niveau M

lineare Gleichungen durch systematisches Probieren und Äquivalenzumformungen lösen die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen mithilfe eines Verfahrens bestimmen die Lösungen einer quadratischen Gleichung mithilfe einer Formel bestimmen die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen und quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen untersuchen lineare und quadratische Gleichungen sowie lineare Gleichungssysteme geometrisch als Schnittproblem von Graphen interpretieren und so näherungsweise lösen

Gleichungen lösen · Niveau E

lineare Gleichungen durch systematisches Probieren und Äquivalenzumformungen lösen die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen mithilfe eines Verfahrens bestimmen die Lösungen einer quadratischen Gleichung mithilfe einer Formel bestimmen den Satz vom Nullprodukt zum Lösen von Gleichungen verwenden eine quadratische Gleichung zu vorgegebenen Lösungen bestimmen Bruchgleichungen lösen, bei denen die einmalige Multiplikation mit \(x^n\) oder mit genau einem Linearfaktor zielführend ist Wurzelgleichungen lösen, bei denen einmaliges Quadrieren zielführend ist die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen und quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen untersuchen lineare und quadratische Gleichungen sowie lineare Gleichungssysteme geometrisch als Schnittproblem von Graphen interpretieren und so näherungsweise lösen einfache lineare und quadratische Ungleichungen geometrisch interpretieren und mithilfe funktionaler Überlegungen lösen

bei Figuren und Körpern Größen berechnen · Niveau G

den Umfang von Dreieck, Trapez und Parallelogramm bestimmen die Zahl \(\pi\) als Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises erklären den Umfang von Kreisen mithilfe der Formel berechnen den Umfang von zusammengesetzten Figuren bestimmen den Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Kreis berechnen und den Flächeninhalt von daraus zusammengesetzten Figuren bestimmen den Oberflächeninhalt und das Volumen von Prisma, Pyramide, Zylinder berechnen und von daraus zusammengesetzten Körpern bestimmen

bei Figuren und Körpern Größen berechnen · Niveau M

den Umfang von Dreieck, Trapez, Parallelogramm und Kreis bestimmen die Zahl \(\pi\) als Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises erklären den Umfang von Kreisen mithilfe der Formel berechnen die Länge von Kreisbögen mithilfe von Proportionalität bestimmen den Umfang von zusammengesetzten Figuren bestimmen den Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Kreis und Kreisausschnitt berechnen und den Flächeninhalt von daraus zusammengesetzten Figuren bestimmen mithilfe anschaulicher Überlegungen unter Einbeziehung von Grenzprozessen erklären, wie die Formeln für den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises entstehen die Formel zur Berechnung des Mantelflächeninhalts beim Zylinder herleiten den Oberflächeninhalt und das Volumen von Prisma, Pyramide, Zylinder berechnen und von daraus zusammengesetzten Körpern bestimmen

bei Figuren und Körpern Größen berechnen · Niveau E

[Teilkompetenz schon in Klassen 5/6] die Länge von Kreisbögen bestimmen den Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Kreis und Kreisausschnitt berechnen und den Flächeninhalt von daraus zusammengesetzten Figuren bestimmen erklären, wie Flächeninhalt und Umfang eines Kreises mithilfe eines Grenzprozesses bestimmt werden die Formel zur Berechnung des Mantelflächeninhalts beim Zylinder herleiten die Formel für das Volumen der Pyramide durch Plausibilitätsbetrachtung erläutern den Oberflächeninhalt und das Volumen von Prisma, Pyramide, Zylinder berechnen und von daraus zusammengesetzten Körpern bestimmen

geometrische Figuren untersuchen · Niveau G

rechtwinklige, spitzwinklige, stumpfwinklige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke identifizieren spezielle Eigenschaften von Vierecken (Quadrat, Rechteck, Raute, Drachenviereck, Parallelogramm, Trapez) angeben [MSA] Winkelweiten unter Verwendung von Scheitel- und Nebenwinkeln sowie Stufen- und Wechselwinkeln erschließen den Winkelsummensatz für Dreiecke angeben Winkelweiten durch Anwenden des Winkelsummensatzes erschließen [MSA] mithilfe des Satzes des Thales auf Orthogonalität schließen die Konstruierbarkeit von Dreiecken und die Lösungsvielfalt bei Dreieckskonstruktionen durch Betrachtung von Seitenlängen und Winkelweiten untersuchen

geometrische Figuren untersuchen · Niveau M

rechtwinklige, spitzwinklige, stumpfwinklige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke identifizieren Vierecke (Quadrat, Rechteck, Raute, Drachenviereck, Parallelogramm, Trapez) identifizieren und deren spezielle Eigenschaften beschreiben Winkelweiten unter Verwendung von Scheitel- und Nebenwinkeln sowie Stufen- und Wechselwinkeln erschließen den Winkelsummensatz für Dreiecke begründen Winkelweiten und Streckenlängen durch Anwenden des Winkelsummensatzes oder des Basiswinkelsatzes beziehungsweise dessen Kehrsatz erschließen mithilfe des Satzes des Thales auf Orthogonalität schließen die Konstruierbarkeit von Dreiecken und die Lösungsvielfalt bei Dreieckskonstruktionen durch Betrachtung von Seitenlängen und Winkelweiten untersuchen Streckenlängen und Winkelweiten in ebenen Figuren und in Körpern durch maßstäbliches Zeichnen erschließen

geometrische Figuren untersuchen · Niveau E

[Teilkompetenz schon in Klassen 5/6] Winkelweiten unter Verwendung von Scheitel- und Nebenwinkeln sowie Stufen- und Wechselwinkeln erschließen den Winkelsummensatz für Dreiecke begründen Winkelweiten und Streckenlängen durch Anwenden des Winkelsummensatzes oder des Basiswinkelsatzes beziehungsweise dessen Kehrsatz erschließen den Satz des Thales begründen und anwenden, insbesondere auf Orthogonalität schließen die Konstruierbarkeit von Dreiecken unter Verwendung der Dreiecksungleichung und des Winkelsummensatzes beurteilen sowie die Lösungsvielfalt bei Dreieckskonstruktionen untersuchen Streckenlängen und Winkelweiten in ebenen Figuren und in Körpern durch maßstäbliches Zeichnen erschließen

Ortslinien konstruieren und mit Ortslinien arbeiten · Niveau G

die Mittelsenkrechte einer Strecke, die Winkelhalbierende eines Winkels und Höhen im Dreieck zeichnen, insbesondere mit dynamischer Geometriesoftware geometrische Fragestellungen unter Verwendung von Ortslinien (Kreislinie, Mittelsenkrechte) zeichnerisch lösen

Ortslinien konstruieren und mit Ortslinien arbeiten · Niveau M

die Mittelsenkrechte einer Strecke, die Winkelhalbierende eines Winkels und Höhen im Dreieck zeichnen geometrische Fragestellungen unter Verwendung von Ortslinien (Kreislinie, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Thaleskreis) zeichnerisch lösen, auch mit dynamischer Geometriesoftware

Ortslinien konstruieren und mit Ortslinien arbeiten · Niveau E

die Mittelsenkrechte einer Strecke, die Winkelhalbierende eines Winkels mit Zirkel und Lineal konstruieren geometrische Probleme unter Verwendung von Ortslinien (Kreislinie, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Mittelparallele, Thaleskreis) zeichnerisch lösen, auch mit dynamischer Geometriesoftware, und die Lösung beschreiben den Umkreismittelpunkt und den Inkreismittelpunkt eines Dreiecks mit Zirkel und Lineal konstruieren und die Konstruktion begründen Tangenten an Kreise in Punkten auf dem Kreis und von Punkten außerhalb konstruieren

Körper zeichnerisch darstellen · Niveau G

Schrägbilder und Netze (von Prismen, Pyramiden und Zylindern) skizzieren und die Darstellungsformen ineinander überführen

Körper zeichnerisch darstellen · Niveau M

Schrägbilder und Netze (von Prismen, Pyramiden und Zylindern) skizzieren und die Darstellungsformen ineinander überführen

Körper zeichnerisch darstellen · Niveau E

Schrägbilder und Netze (von Prismen, Pyramiden, Zylindern und Kegeln) skizzieren und die Darstellungsformen ineinander überführen

mit Strahlensätzen, Ähnlichkeit und Kongruenz arbeiten · Niveau E

durch zentrische Streckung (auch negativer Streckfaktor) Figuren maßstäblich vergrößern und verkleinern zwei gegebene Figuren mithilfe der Definition auf Kongruenz untersuchen zwei gegebene Figuren mithilfe der Definition auf Ähnlichkeit untersuchen Dreiecke mithilfe ausgewählter Ähnlichkeitssätze (Übereinstimmung in den Längenverhältnissen aller Seiten, Übereinstimmung in zwei Winkelweiten) auf Ähnlichkeit überprüfen Streckenlängen und Winkelweiten unter Nutzung der Ähnlichkeit von Figuren und der Strahlensätze bestimmen die Nichtumkehrbarkeit des zweiten Strahlensatzes durch Angabe eines Gegenbeispiels begründen geometrische Zusammenhänge unter Zuhilfenahme bereits bekannter Sätze sowie mithilfe von Ähnlichkeitsbeziehungen und Kongruenzsätzen erschließen, begründen und beweisen und Größen berechnen

mit Strahlensätzen, Ähnlichkeit und Kongruenz arbeiten · Niveau G

[MSA] aufgrund von Deckungsgleichheit und durch Vergleich von Streckenlängen und Winkelweiten angeben, ob zwei Figuren kongruent sind [MSA] aufgrund von Gestaltsgleichheit angeben, ob zwei Figuren einander ähnlich sind [MSA] Streckenlängen und Winkelweiten unter Nutzung der Ähnlichkeit von Figuren und der Strahlensätze bestimmen

mit Strahlensätzen, Ähnlichkeit und Kongruenz arbeiten · Niveau M

aufgrund von Deckungsgleichheit und durch Vergleich von Streckenlängen und Winkelweiten angeben, ob zwei Figuren kongruent sind aufgrund von Gestaltsgleichheit angeben, ob zwei Figuren einander ähnlich sind Dreiecke mithilfe ausgewählter Ähnlichkeitssätze (Übereinstimmung in den Längenverhältnissen aller Seiten, Übereinstimmung in zwei Winkelweiten) auf Ähnlichkeit überprüfen Streckenlängen und Winkelweiten unter Nutzung der Ähnlichkeit von Figuren und der Strahlensätze bestimmen

den Satz des Pythagoras anwenden · Niveau G

im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras Längen von Strecken (Hypotenuse, Katheten) berechnen und Orthogonalität untersuchen

den Satz des Pythagoras anwenden · Niveau M

im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras Längen von Strecken (Hypotenuse, Katheten) berechnen und Orthogonalität untersuchen

den Satz des Pythagoras anwenden · Niveau E

unter Nutzung des Satzes des Pythagoras Längen von Strecken (Hypotenuse, Katheten) berechnen beziehungsweise mithilfe seines Kehrsatzes auf Orthogonalität schließen

funktionale Zusammenhänge darstellen und nutzen · Niveau G

Zusammenhänge durch Tabellen, Gleichungen, Graphen oder Text darstellen bei linearen Funktionen Beziehungen zwischen Gleichungen, Tabellen und Graphen herstellen zu einer gegebenen linearen Funktion eine Sachsituation angeben, die mithilfe dieser Funktion beschrieben werden kann alltagsbezogene Sachverhalte aus Darstellungen ablesen (z. B. größte und kleinste Werte, Zunehmen und Abnehmen, Zeitpunkte) Proportionalität und Antiproportionalität in verschiedenen Darstellungsformen erkennen und für Berechnungen nutzen, auch in Sachzusammenhängen

funktionale Zusammenhänge darstellen und nutzen · Niveau M

Zusammenhänge durch Tabellen, Gleichungen, Graphen oder Text darstellen zwischen unterschiedlichen Darstellungsformen situationsgerecht wechseln zu einer gegebenen Funktion eine Sachsituationen angeben, die mithilfe dieser Funktion beschrieben werden kann alltagsbezogene Sachverhalte aus Darstellungen ablesen (z. B. größte und kleinste Werte, Zunehmen und Abnehmen, Zeitpunkte) Proportionalität und Antiproportionalität in verschiedenen Darstellungsformen erkennen und für Berechnungen nutzen, auch in Sachzusammenhängen

funktionale Zusammenhänge darstellen und nutzen · Niveau E

Zusammenhänge durch Tabellen, Gleichungen, Graphen oder Text darstellen zwischen unterschiedlichen Darstellungsformen situationsgerecht wechseln zu einer gegebenen Funktion eine Sachsituationen angeben, die mithilfe dieser Funktion beschrieben werden kann alltagsbezogene Sachverhalte aus Darstellungen ablesen (z. B. größte und kleinste Werte, Zunehmen und Abnehmen, Zeitpunkte) Proportionalität und Antiproportionalität in verschiedenen Darstellungsformen erkennen und für Berechnungen nutzen, auch in Sachzusammenhängen Funktionen als eindeutige Zuordnungen z. B. von x-Werten zu y-Werten, von nicht eindeutigen Zuordnungen unterscheiden

mit linearen Funktionen umgehen · Niveau G

eine Gerade mit der Gleichung \(y=mx+c\) u. a. unter Verwendung von Steigung und Steigungsdreiecken zeichnen und einer Geraden eine Gleichung zuordnen [MSA] bei linearen Funktionen das Änderungsverhalten im Sachzusammenhang beschreiben [MSA] die Lagebeziehung zweier Geraden anhand ihrer Gleichungen untersuchen

mit linearen Funktionen umgehen · Niveau M

eine Gerade mit der Gleichung \(y=mx+c\) u. a. unter Verwendung von Steigung und Steigungsdreiecken zeichnen und einer Geraden eine Gleichung zuordnen aus den Koordinaten zweier Punkte zunächst die Steigung, dann den y-Achsenabschnitt der zugehörigen Geraden berechnen und eine Gleichung der Geraden angeben bei linearen Funktionen das Änderungsverhalten im Sachzusammenhang beschreiben die Lagebeziehung zweier Geraden anhand ihrer Gleichungen untersuchen

mit linearen Funktionen umgehen · Niveau E

eine Gerade mit der Gleichung \(y=mx+c\) u. a. unter Verwendung von Steigung und Steigungsdreiecken zeichnen und einer Geraden eine Gleichung zuordnen aus den Koordinaten zweier Punkte zunächst die Steigung, dann den y-Achsenabschnitt der zugehörigen Geraden berechnen und eine Gleichung der Geraden angeben bei linearen Funktionen das Änderungsverhalten im Sachzusammenhang mithilfe der Änderungsrate beschreiben die Lagebeziehung zweier Geraden anhand ihrer Gleichungen untersuchen

mit quadratischen Funktionen umgehen · Niveau G

[MSA] quadratische Zusammenhänge durch Tabellen und Gleichungen beschreiben und graphisch darstellen [MSA] Eigenschaften von Parabeln angeben [MSA] den Graphen einer quadratischen Funktion mithilfe von Wertetabellen zeichnen oder ausgehend von der Lage des Scheitels skizzieren [MSA] die Wirkung der Parameter \(a\) und \(c\) in der Parabelgleichung \(y=ax^2+c\) auf den Graphen abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, Verschiebung deuten [MSA] Anwendungsaufgaben mithilfe quadratischer Funktionen lösen

mit quadratischen Funktionen umgehen · Niveau M

quadratische Zusammenhänge durch Tabellen und Gleichungen beschreiben und graphisch darstellen Eigenschaften von Parabeln angeben den Graphen einer quadratischen Funktion mithilfe von Wertetabellen zeichnen oder ausgehend von der Lage des Scheitels skizzieren die Wirkung der Parameter \(a\), \(c\), \(d\), \(e\) in den Parabelgleichungen \(y=ax^2+c\) und \(y=(x-d)^2+e\) auf den Graphen abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, Verschiebungen deuten die Gleichung \(y=x^2+bx+c\) mithilfe funktionaler oder algebraischer Überlegungen in die Scheitelform \(y=(x-d)^2+e\) überführen Anwendungsaufgaben mithilfe quadratischer Funktionen lösen, auch die Bestimmung größter und kleinster Werte

mit quadratischen Funktionen umgehen · Niveau E

quadratische Zusammenhänge durch Tabellen und Gleichungen beschreiben und graphisch darstellen Eigenschaften von Parabeln angeben den Graphen einer quadratischen Funktion mithilfe von Wertetabellen zeichnen oder ausgehend von der Lage des Scheitels skizzieren die Wirkung der Parameter \(a\), \(d\), \(e\) in der Parabelgleichung \(y=a\cdot(x-d)^2+e\) auf den Graphen abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, Verschiebungen deuten die allgemeine Parabelgleichung \(y=ax^2+bx+c\) mithilfe funktionaler oder algebraischer Überlegungen in die Scheitelform \(y=a(x-d)^2+e\) überführen den Funktionsterm einer quadratischen Funktion mithilfe der Nullstellen in Linearfaktordarstellung angeben Anwendungsaufgaben mithilfe quadratischer Funktionen lösen, auch die Bestimmung größter und kleinster Werte

Daten erfassen, darstellen, aus- und bewerten · Niveau G

eine Datenerhebung bei vorgegebenen Merkmalen und Merkmalsausprägungen mit Hilfe planen und selbstständig durchführen, auch unter den Aspekten Stichprobenauswahl und Erhebungsinstrument [MSA] die Kenngröße Median bestimmen Daten aus vorgegebenen Sekundärquellen (z. B. Texte, Diagramme) entnehmen Daten graphisch darstellen und interpretieren (auch Kreisdiagramm), auch unter Verwendung von Software einfache statistische Aussagen mithilfe von relativen Häufigkeiten und Mittelwerten von Daten formulieren Daten aus ihrer Erfahrungswelt bei übereinstimmender Darstellungsform auswerten, vergleichen und bewerten, auch mit Hilfe von Tabellenkalkulation graphische statistische Darstellungen hinsichtlich ihrer Eignung und möglicher Irreführung beurteilen Aussagen, die auf einer Datenanalyse basieren, nach vorgegebenen Kriterien bewerten

Daten erfassen, darstellen, aus- und bewerten · Niveau M

zu einer vorgegebenen statistischen Fragestellung eine Datenerhebung selbstständig planen und selbstständig durchführen, auch unter den Aspekten Stichprobenauswahl und Erhebungsinstrument die Kenngröße Median bestimmen Daten aus vorgegebenen Sekundärquellen (z. B. Texte, Diagramme) entnehmen Daten graphisch darstellen und interpretieren, auch unter Verwendung von Software einfache statistische Aussagen mithilfe von Kenngrößen von Daten formulieren Daten aus ihrer Erfahrungswelt auch bei unterschiedlichen Darstellungsformen auswerten, vergleichen und bewerten, auch mit Hilfe von Tabellenkalkulation graphische statistische Darstellungen hinsichtlich ihrer Eignung und möglicher Irreführung beurteilen Aussagen, die auf einer Datenanalyse basieren, bewerten

Daten erfassen, darstellen, aus- und bewerten · Niveau E

[Teilkompetenz schon in Klassen 5/6] die Kenngröße Median bestimmen zu einer statistischen Fragestellung Daten aus Sekundärquellen entnehmen Daten graphisch darstellen und interpretieren, auch unter Verwendung von Software statistische Aussagen mithilfe von Kenngrößen von Daten formulieren graphische statistische Darstellungen kritisch beurteilen Aussagen, die auf einer Datenanalyse basieren, formulieren und bewerten

Wahrscheinlichkeiten verstehen und berechnen · Niveau G

Wahrscheinlichkeitsaussagen in alltäglichen Situationen verstehen und beschreiben die Begriffe Ergebnis und Ereignis bei Zufallsexperimenten erläutern Ereignisse in geeigneter Form darstellen die Anzahl der jeweiligen Möglichkeiten in konkreten Situationen (mögliche und günstige Ergebnisse) durch einfache kombinatorische Überlegungen bestimmen Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen vergleichen und insbesondere bei Laplace-Experimenten bestimmen Zufallsexperimente – auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge – durchführen und auswerten die auftretenden relativen Häufigkeiten bei der Durchführung von Zufallsexperimenten als Schätzwerte von Wahrscheinlichkeiten nutzen, die bei wachsendem Stichprobenumfang tendenziell besser werden (Gesetz der großen Zahlen)

Wahrscheinlichkeiten verstehen und berechnen · Niveau M

Wahrscheinlichkeitsaussagen in alltäglichen Situationen verstehen und beschreiben die Begriffe Ergebnis und Ereignis bei Zufallsexperimenten erläutern Ereignisse in geeigneter Form darstellen die Anzahl der jeweiligen Möglichkeiten in konkreten Situationen (mögliche und günstige Ergebnisse) durch einfache kombinatorische Überlegungen bestimmen Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen vergleichen und insbesondere bei Laplace-Experimenten bestimmen Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung des Gegenereignisses berechnen Zufallsexperimente – auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge – durchführen und auswerten die auftretenden relativen Häufigkeiten bei der Durchführung von Zufallsexperimenten als Schätzwerte von Wahrscheinlichkeiten nutzen, die bei wachsendem Stichprobenumfang tendenziell besser werden (Gesetz der großen Zahlen)

Wahrscheinlichkeiten verstehen und berechnen · Niveau E

die Bedeutung von Wahrscheinlichkeitsaussagen in alltäglichen Situationen erklären die Begriffe Ergebnis und Ereignis bei Zufallsexperimenten erläutern Ereignisse in geeigneter Form darstellen (u. a. in Mengenschreibweise) die Anzahl der jeweiligen Möglichkeiten in konkreten Situationen (mögliche und günstige Ergebnisse) durch kombinatorische Überlegungen bestimmen Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen vergleichen und insbesondere bei Laplace-Experimenten bestimmen Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung des Gegenereignisses berechnen Zufallsexperimente – auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge – durchführen und auswerten die auftretenden relativen Häufigkeiten bei der Durchführung von Zufallsexperimenten als Schätzwerte von Wahrscheinlichkeiten nutzen, die bei wachsendem Stichprobenumfang tendenziell besser werden (Gesetz der großen Zahlen)

mit Potenzen umgehen · Niveau M

Zahlen in Normdarstellung angeben die Rechengesetze für das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Potenzen begründen und anwenden

mit Potenzen umgehen · Niveau E

Zahlen in Normdarstellung angeben Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzel- oder Bruchausdrücke deuten und zwischen den Darstellungsformen wechseln die Rechengesetze für das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Potenzen begründen und anwenden

Gleichungen lösen · Niveau M

einfache Potenzgleichungen in Anwendungszusammenhängen lösen

Gleichungen lösen · Niveau E

Potenzgleichungen und Exponentialgleichungen u. a. im Zusammenhang mit Wachstumsprozessen lösen den Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung verwenden

exponentielles Wachstum anwenden · Niveau G

[MSA] die Begriffe Zinssatz, Anfangskapital, Endkapital und Zinseszins erläutern [MSA] die Formel \(K_{ n }=K_{ 0 } \cdot q^{ n }\) unter dem Aspekt des exponentiellen Wachstums für die Berechnung des Endkapitals anwenden

exponentielles Wachstum anwenden · Niveau M

die Begriffe Zinssatz, Anfangskapital, Endkapital und Zinseszins erläutern die Formel \(K_{ n }=K_{ 0 } \cdot q^{ n }\) unter dem Aspekt des exponentiellen Wachstums für die Berechnung der Größen Zinssatz, Anfangs- und Endkapital anwenden

exponentielles Wachstum anwenden · Niveau E

die Begriffe Zinssatz, Anfangskapital, Endkapital, Laufzeit und Zinseszins erläutern die Formel \(K_{ n }=K_{ 0 } \cdot q^{ n }\) unter dem Aspekt des exponentiellen Wachstums für die Berechnung aller Größen anwenden und begründen

mit Winkelweiten umgehen · Niveau E

Winkelweiten sowohl im Grad- als auch im Bogenmaß angeben und nutzen

bei Figuren und Körpern Größen berechnen · Niveau M

die Formel zur Berechnung des Mantelflächeninhalts beim Kegel herleiten den Oberflächeninhalt und das Volumen bei Kegel und Kugel unter Verwendung einer geeigneten Formelsammlung berechnen Oberflächeninhalte und Volumina bei zusammengesetzten Körpern bestimmen

bei Figuren und Körpern Größen berechnen · Niveau E

die Formel zur Berechnung des Mantelflächeninhalts beim Kegel herleiten die Formeln für das Volumen von Kegel und Kugel durch Plausibilitätsbetrachtung erläutern die Formel für das Volumen eines schiefen Körpers mit der Idee des Satzes von Cavalieri anschaulich erklären den Oberflächeninhalt und das Volumen bei Kegel und Kugel berechnen Oberflächeninhalte und Volumina bei zusammengesetzten Körpern bestimmen

bei Figuren und Körpern Größen berechnen · Niveau G

[MSA] den Oberflächeninhalt und das Volumen bei Kegel und Kugel unter Verwendung einer geeigneten Formelsammlung berechnen [MSA] Oberflächeninhalte und Volumina bei zusammengesetzten Körpern bestimmen

mit trigonometrischen Beziehungen arbeiten · Niveau G

[MSA] Streckenlängen und Winkelweiten unter Nutzung der Längenverhältnisse Sinus und Tangens bestimmen

mit trigonometrischen Beziehungen arbeiten · Niveau M

Streckenlängen und Winkelweiten unter Nutzung der Längenverhältnisse Sinus, Kosinus, Tangens bestimmen

mit trigonometrischen Beziehungen arbeiten · Niveau E

Streckenlängen und Winkelweiten unter Nutzung der Längenverhältnisse Sinus, Kosinus, Tangens bestimmen die Beziehungen \(sin^{ 2 }(\alpha)+cos^{ 2 }(\alpha)=1\), \(sin(90^\circ‑\alpha)=cos(\alpha)\), \(tan(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}\) herleiten

funktionale Zusammenhängen darstellen · Niveau G

[MSA] Zusammenhänge durch Tabellen, Gleichungen, Graphen oder Text darstellen und zwischen den Darstellungsformen wechseln

funktionale Zusammenhängen darstellen · Niveau M

Zusammenhänge durch Tabellen, Gleichungen, Graphen oder Text darstellen und zwischen den Darstellungsformen wechseln

funktionale Zusammenhängen darstellen · Niveau E

Zusammenhänge durch Tabellen, Gleichungen, Graphen oder Text darstellen und zwischen den Darstellungsformen wechseln

mit weiteren Funktionstypen umgehen · Niveau E

die Graphen der Potenzfunktionen \(f\) mit \(f(x)=x^{ n }\), \(n \in \mathbb{N}\) und \(f(x)=x^{ k }\), \((k=-1,‑2)\) unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren anhand einer Betrachtung der Graphen von \(f\) mit \(f(x)=x^{ 2 }\) und der Wurzelfunktion \(g\) mit \(g(x)=\sqrt{ x }\) den Funktionsbegriff und dabei auch die Begriffe; Definitionsmenge und Wertemenge erläutern anhand der Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^{ 2 }\) und der Wurzelfunktion \(g\) mit \(g(x)=\sqrt{ x }\) den Begriff der Umkehrfunktion beschreiben, den Zusammenhang ihrer Graphen erläutern und ihre Definitionsmengen und Wertemengen vergleichen die Graphen der Exponentialfunktionen \(f\) mit \(f(x)=c \cdot a^{ x }+d\) unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren die Wirkung von Parametern in Funktionstermen von Potenz‑, Exponential- und Wurzelfunktion auf deren Graphen abbildungsgeometrisch deuten die Sinusfunktion der Form \(f(x)= a \cdot sin(a x)\) zur Beschreibung periodischer Vorgänge verwenden, insbesondere mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge verwenden Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben sowie die Bedeutung von Halbwertszeit und Verdopplungszeit erläutern

mit weiteren Funktionstypen umgehen · Niveau G

[MSA] die Graphen der Exponentialfunktionen \(f\) mit \(f(x)=c \cdot a^{ x }\) unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren [MSA] die Sinusfunktion der Form \(f(x)= a \cdot sin(a x)\) zur Beschreibung periodischer Vorgänge mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge verwenden [MSA] Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben und Berechnungen durchführen

mit weiteren Funktionstypen umgehen · Niveau M

die Graphen der Exponentialfunktionen \(f\) mit \(f(x)=c \cdot a^{ x }\) unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren die Sinusfunktion der Form \(f(x)= a \cdot sin(a x)\) zur Beschreibung periodischer Vorgänge mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge verwenden Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben und Berechnungen durchführen

Wahrscheinlichkeiten verstehen und berechnen · Niveau G

[MSA] Baumdiagramme zur Darstellung zweistufiger Zufallsexperimente erstellen [MSA] Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsexperimenten mithilfe der Pfadregeln (Produkt‑, Summenregel) bestimmen [MSA] den Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit anhand eines Beispiels erläutern [MSA] Visualisierungen (z. B. Vierfeldertafel, Baumdiagramm) verwenden, auch zum Erkennen von bedingten Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten verstehen und berechnen · Niveau M

Baumdiagramme zur Darstellung zweistufiger Zufallsexperimente erstellen Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsexperimenten mithilfe der Pfadregeln (Produkt‑, Summenregel) bestimmen den Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit anhand eines Beispiels erläutern Visualisierungen (z. B. Vierfeldertafel, Baumdiagramm) verwenden, auch zum Erkennen von bedingten Wahrscheinlichkeiten den Erwartungswert in konkreten Situationen im Sachkontext erläutern den Erwartungswert in konkreten Situationen berechnen

Wahrscheinlichkeiten verstehen und berechnen · Niveau E

Baumdiagramme zur Darstellung mehrstufiger Zufallsexperimente erstellen Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten mithilfe der Pfadregeln (Produkt‑, Summenregel) bestimmen den Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit anhand eines Beispiels erläutern Vierfeldertafeln erstellen und verwenden, auch zur Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit untersuchen Ereignisse mithilfe von Zufallsgrößen beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße angeben und im Sachzusammenhang interpretieren den Erwartungswert einer Zufallsgröße bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung im Sachkontext erläutern den Erwartungswert einer Zufallsgröße bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen, auch unter Verwendung des Summenzeichens \(\sum\) die Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen und im Sachkontext erläutern