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1.1 Der Zahlenraum über eine Milliarde hinaus
erfassen, lesen und bilden große natürliche Zahlen in verschiedenen Darstellungen (Zahlengerade, Stellenwerttafel, Wortform) und wechseln zwischen den Darstellungsformen.
ordnen, vergleichen und zerlegen natürliche Zahlen im nach links erweiterten Stellenwertsystem über eine Milliarde hinaus und zählen in verschiedenen Schritten vor- und rückwärts.
analysieren Zahlenfolgen, die durch Addition, Subtraktion oder Multiplikation gleichbleibender natürlicher Zahlen gebildet wurden (z. B. Hunderter- oder Tausenderschritte vorwärts und rückwärts oder andere Summanden 980, 995, 1010, 1025 …), führen diese fort und nutzen ihre Erkenntnisse sowie das so gefestigte Stellenwertverständnis zur Erstellung eigener Folgen.
schätzen und runden große Anzahlen auch in Bildern sowie in Sachzusammenhängen und begründen das verwendete Verfahren.
entnehmen Informationen aus unterschiedlichen Darstellungen (Zahlenstrahl, Diagramm, Schaubild) und deuten diese kritisch. Darüber hinaus ordnen sie Daten und stellen sie grafisch in geeigneten Schaubildern dar (z. B. auch am Computer).
1.2 Grundrechenarten im Bereich der natürlichen Zahlen
überschlagen und berechnen Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von natürlichen Zahlen im Kopf, sodass sie schnell und ohne Hilfsmittel Berechnungen anstellen sowie schriftliche Rechenverfahren durch größere Schnelligkeit und Sicherheit unterstützen können.
führen Grundrechenarten für natürliche Zahlen automatisiert mit den in der Grundschule erlernten halbschriftlichen und schriftlichen Rechenverfahren (Addition, Subtraktion: Abziehverfahren mit Entbündeln, Multiplikation: ein Faktor höchstens zweistellig, Division: Divisor höchstens zweistellig) aus. Dabei verwenden sie Fachbegriffe (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Summe, Differenz, Produkt, Quotient) für die Beschreibung der Operationen und ihrer Ergebnisse.
überprüfen die Richtigkeit eigener Lösungen durch Überschlagsrechnungen und durch das Anwenden von einfachen Umkehraufgaben. Sie finden Fehler, erklären und korrigieren diese, um so eigene Denkwege zu überprüfen und Ergebnisse sicher zu vertreten.
wenden Rechengesetze (Punkt-vor-Strich-Rechnung, Assoziativ- und Kommutativgesetz, Rechnen mit Klammern) bei den Grundoperationen an und nutzen Rechenvorteile.
strukturieren vertraute Sachsituationen, übersetzen diese in mathematische Modelle und lösen diese nachvollziehbar. Dabei überprüfen sie die gewonnenen Lösungen an der Realsituation und versprachlichen ihren Lösungsweg.
Lernbereich 2: Ganze Zahlen
beschreiben und interpretieren einfache, anschauliche Situationen und Modelle aus dem Alltag mit ganzen Zahlen (z. B. geographische Höhen, Analogthermometer).
lesen, ordnen und vergleichen ganze Zahlen am erweiterten Zahlenstrahl bzw. an der Zahlengeraden (positive und negative Zahlen) und nutzen ihre Kenntnisse, um die Kleiner-Größer-Relation zu begründen.
stellen Zustandsänderungen (z. B. durch Pfeildarstellung) aus vorgegebenen und selbst formulierten Sachsituationen im jeweiligen Modell dar (z. B. Thermometer, Zahlengerade), um Operationen mit ganzen Zahlen nachzuvollziehen.
wenden ihr Verständnis für die Unterscheidung eines Zustands (erkenntlich am Vorzeichen) und der Zustandsänderung (erfolgt durch entsprechendes Rechenzeichen) für die Lösung von Aufgaben, auch in einfachen Sachzusammenhängen, an und begründen ihr Vorgehen.
lösen Sachaufgaben zu Zustandsänderungen (a + b; a - b mit a ∈ ℤ, b ∈ ℕ) anschaulich (z. B. Zahlenstrahl, Analogthermometer), bearbeiten selbst formulierte Problemstellungen, überprüfen die Plausibilität der Ergebnisse und reflektieren ihre Lösungswege.
Lernbereich 3: Geometrische Figuren und Lagebeziehungen
zeichnen Punkte und Figuren in Koordinatensysteme (1. Quadrant) ein, lesen die Koordinaten von Punkten ab und verwenden dabei Fachbegriffe (Ursprung, Rechtswert, Hochwert), um sich in der Ebene zu orientieren.
klassifizieren Linien (Strecke, Gerade) und erkennen zueinander senkrechte und parallele Linien, auch in ihrer Umwelt. Sie zeichnen entsprechende Linien unter Verwendung von Geodreieck und Lineal und beschreiben ihr Vorgehen. Dabei benutzen sie Fachbegriffe und ‑zeichen (Punkt, Gerade, Strecke, Senkrechte, Parallele, senkrecht, parallel, rechter Winkel, Abstand).
identifizieren und beschreiben Winkel in ihrer Umwelt, erzeugen Winkel mithilfe unterschiedlicher Hilfsmittel (z. B. Meterstab, Zirkel) und verwenden dabei Fachbegriffe (Scheitelpunkt, Schenkel).
messen und zeichnen Winkel (bis 180°) und klassifizieren diese in spitze, rechte, stumpfe und gestreckte Winkel, um Winkel in ihrer Umwelt sowie in Zeichnungen zu bestimmen und durch den Vergleich mit den Bezugsgrößen 45°, 90° und 180° abzuschätzen.
messen die Umfänge von Dreiecken und Vierecken sowie daraus zusammengesetzten Figuren und beschreiben ihr Vorgehen, um den Begriff Umfang sicher zu verwenden.
berechnen die Umfänge von Dreiecken und Vierecken sowie daraus zusammengesetzten Figuren.
lösen entsprechende Sachaufgaben, um einem realen Anwendungsbereich zu begegnen, und vergleichen verschiedene Lösungswege.
verwenden Fachbegriffe (Umfang, Länge) sowie Längeneinheiten (m, dm, cm, mm) überlegt und rechnen diese bei Bedarf in die Nachbareinheit um, damit die Plausibilität des Zahlenmaterials gewährleistet bleibt.
Lernbereich 4: Flächeninhalt – Rechtecke
vergleichen, messen und schätzen Flächeninhalte unterschiedlicher geometrischer Figuren ihrer Lebenswelt, indem sie verschiedene Problemlösestrategien (z. B. Zerlegen, Auslegen mit ungenormten und genormten Flächeneinheiten) durchführen. Dabei verwenden sie den Begriff Flächeninhalt sicher.
begründen die Flächeninhaltsberechnung von Rechtecken und Quadraten dadurch, dass sie mit Einheitsquadraten auslegen und die Abhängigkeit des Flächeninhalts von Länge und Breite des jeweiligen Rechtecks aufzeigen.
berechnen Flächeninhalte von Rechtecken, Quadraten und einfachen daraus zusammengesetzten Figuren, auch in alltagsrelevanten Sachaufgaben.
wenden Maßeinheiten bei Flächeninhalten (m², dm², cm², mm²) überlegt an und rechnen diese bei Bedarf in die Nachbareinheit um, damit die Plausibilität des Zahlenmaterials gewährleistet bleibt.
Lernbereich 5: Größen im Alltag
vergleichen und messen Größen in ihrer Umwelt und verwenden dabei geeignete Maßeinheiten aus den Bereichen Längen (km, m, dm, cm, mm), Volumina (l, ml), Massen/„Gewichte“ (t, kg, g, mg), Zeitspannen (Jahr, Monat, Woche, Tag, h, min, s) und Geldwerte (€, ct).
schätzen Größen aus dem Alltag begründet mithilfe von Vorstellungen über Bezugsgrößen ab, um realistische Größenangaben zu erhalten.
lösen alltagsnahe Sachaufgaben aus den Größenbereichen, gebrauchen dabei sinnvolle Maßeinheiten und rechnen diese ggf. in benachbarte Einheiten um. Dabei runden sie Größen, um diese in sinnvoller Genauigkeit anzugeben, und bewerten Lösungswege sowie Ergebnisse.
verwenden zur genauen Größenangabe aus dem Alltag gebräuchliche, einfache Bruchzahlen (1/4; 1/2; 3/4; 1 1/2 …), bei den Größenbereichen Geldwerte und Längen auch die Kommaschreibweise.
Lernbereich 6: Daten
Jahrgangsstufe 5
fassen Daten aus gemeinsam geplanten und durchgeführten Datenerhebungen (z. B. Umfragen zu Verbraucherverhalten, Verkehrszählung) mithilfe geeigneter Zählverfahren (z. B. Ur- und Strichlisten) zusammen, um größere Datenmengen aus ihrem Alltag sinnvoll zu bündeln.
strukturieren (z. B. in Tabellen, Diagrammen) und interpretieren gewonnene Daten und schließen auf Zusammenhänge, um Sachfragen zu beantworten.
entnehmen Informationen aus Datendarstellungen und werten die Daten im Hinblick auf die absolute Häufigkeit aus.
Jahrgangsstufe 6
entnehmen, ordnen und vergleichen Daten aus verschiedenen Quellen (z. B. Texte, Schaubilder, Tabellen), um Datendarstellungen kritisch zu betrachten, und schließen auf weitere Aussagen von Diagrammen, die nicht direkt dargestellt werden (z. B. Zunahme, Verlust).
stellen Daten auf verschiedene Arten situations- und adressatengerecht (z. B. in Tabellen, Diagrammen) dar und präsentieren sie.
bestimmen aus Daten ihrer Lebenswelt (z. B. Körpergröße, Alter, Temperatur) das arithmetische Mittel als Durchschnittswert und reflektieren im Sachzusammenhang dessen Bedeutung und Aussagekraft.
Lernbereich 7: Gleichungen und Formeln
Jahrgangsstufe 5
lösen Zahlenrätsel und Aufgaben zu den Themenkomplexen Umfang und Flächeninhalt von Quadraten und Rechtecken durch systematisches Probieren und Durchführen von Umkehraufgaben, um mit Variablen und Gleichungen Erfahrungen zu gewinnen.
Jahrgangsstufe 6
lösen Zahlenrätsel und Aufgaben zum Themenkomplex Volumen von Quadern durch systematisches Probieren und Durchführen von Umkehraufgaben, um ihr Verständnis für Variablen und Gleichungen zu vertiefen.
1.1 Erweiterung des Zahlbereichs auf Bruchzahlen
stellen Bruchteile handelnd her, zeichnen diese in verschiedenen Flächenformen und markieren sie am Zahlenstrahl. Zu verschiedenartigen Darstellungen nennen sie passende Brüche.
beschreiben Anteile (Teil vom Ganzen, Teil von mehreren Ganzen), Operatoren, Divisionen sowie Maßzahlen in Verbindung mit Größen durch positive rationale Zahlen.
benutzen die verschiedenen Aspekte von Bruchzahlen in Situationen aus ihrer Lebenswelt fachgerecht.
vergröbern und verfeinern Bruchteile, indem sie diese erweitern und kürzen, um Bruchzahlen gleichnamig und damit auch vergleichbar zu machen. Sie tragen positive rationale Zahlen (echte und gemischte Brüche) an einem vorstrukturierten Zahlenstrahl an, vergleichen und ordnen sie. Dabei begründen sie die Größer-Kleiner-Relation.
stellen Brüche mit Zehnerpotenzen im Nenner als Dezimalbrüche dar und umgekehrt, indem sie das nach rechts auf Tausendstel erweiterte Stellenwertsystem nutzen. Sie kennzeichnen und vergleichen Dezimalbrüche am Zahlenstrahl und überprüfen die Größer-Kleiner-Relation anhand der Nachkommastellen.
wechseln die Darstellungsformen Bruch, Dezimalbruch und Prozentsatz, indem sie Brüche auf Zehnerpotenzen im Nenner erweitern und ggf. Zähler durch Nenner dividieren.
1.2 Rechnen mit Bruchzahlen
addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren schriftlich positive Bruchzahlen (a + b; a – b; a • b mit a, b ∈ ℚ⁺ und a : b mit a ∈ ℚ⁺, b ∈ ℕ) und Dezimalbrüche. Beim Rechnen mit diesen Zahlen entscheiden sie, welche Darstellung (Bruch oder Dezimalzahl) vorteilhaft ist, setzen diese ein, nutzen die Rechengesetze (Punkt-vor-Strich-Rechnung, Assoziativ- und Kommutativgesetz, Rechnen mit Klammern) und wenden die Rundungsregeln an.
setzen in Sachaufgaben (z. B. aus dem Schulalltag) die verschiedenen Grundrechenarten auch kombiniert ein. Zu Sachsituationen stellen sie selbst mathematische Fragen und beantworten diese nachvollziehbar. Sie überprüfen die gewonnenen Lösungen an der Realsituation und versprachlichen ihren Lösungsweg.
2.1 Erweiterung des Zahlbereichs auf rationale Zahlen
beschreiben und interpretieren anschauliche Situationen und Modelle aus dem Alltag (z. B. Temperaturen, Kontostände) mit negativen Dezimalbrüchen und ggf. Bruchzahlen, um den bekannten Zahlenraum ℤ auf ℚ zu erweitern.
ordnen rationale Zahlen auf der Zahlengeraden, um Größenvergleiche begründet anzustellen.
2.2 Grundrechenarten im Bereich der rationalen Zahlen
stellen Zustandsänderungen (Addition und Subtraktion ganzer und rationaler Zahlen) aus ihrer Lebenswelt als Pfeile nach rechts bzw. links an der Zahlengeraden dar, beschreiben ihr Vorgehen und geben die Rechnung an (a + b; a – b mit a ∈ ℚ, b ∈ ℚ⁺).
stellen die Multiplikation rationaler Zahlen als wiederholte Addition und die Division rationaler Zahlen als Umkehrung der Multiplikation an der Zahlengeraden durch Pfeile dar, beschreiben ihr Vorgehen und geben die Rechnung an (a • b; a : b mit a ∈ ℚ, b ∈ ℕ).
ordnen Sachsituationen aus ihrer Lebenswelt sowie Rechenrätsel den passenden Grundrechenaufgaben zu und erstellen dazu eigene Rechenaufgaben. Sie formulieren zu gegebenen Rechenaufgaben passende Texte und lösen Aufgaben anschaulich, um die rechnerische Operation zu verstehen und den Bezug der Mathematik zu ihrer Lebenswelt zu erkennen.
lösen einfache Aufgaben zu den Grundrechenarten mit rationalen Zahlen, auch im Kopf (a + b; a – b; a • b mit a, b ∈ ℚ⁺ und a : b mit a ∈ ℚ⁺, b ∈ ℕ).
Lernbereich 3: Geometrische Figuren, Körper und Lagebeziehungen
Jahrgangsstufe 6
beschreiben, bestimmen und ordnen unterschiedliche Vierecke (allgemeines Viereck, Trapez, Parallelogramm, Raute, Rechteck, Quadrat, Drachenviereck) in ihrem Lebensraum nach vorgegebenen Kriterien (z. B. Winkel, Achsensymmetrie, parallele Seiten). Sie erläutern die Einordnung und beschreiben spezielle Vierecke als Sonderformen anderer Vierecke (z. B. Rechteck als Sonderform des Parallelogramms).
zeichnen Parallelogramme, Rechtecke, Quadrate und Kreise sachgerecht mit mathematischen Werkzeugen. Sie beschriften und beschreiben diese Figuren mit Fachbegriffen (Eckpunkte, Seiten, Winkel, Kreislinie, Mittelpunkt, Radius, Durchmesser).
zeichnen Punkte und Figuren in erweiterte Koordinatensysteme (I. – IV. Quadrant) und lesen darin Koordinaten von Punkten ab, um sich in der Ebene zu orientieren.
benennen und identifizieren Körper (Würfel, Quader, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel) in ihrer Umwelt. Sie unterscheiden diese nach geometrischen Kriterien und verwenden dabei Fachbegriffe: Seitenfläche, Kante, Ecke, Seite, Diagonale, Strecke, rechter Winkel, senkrecht, parallel, Radius. Sie beschreiben einen Würfel als Sonderform eines Quaders.
zeichnen Würfel und Quader als Netze und Schrägbildskizzen, wechseln zwischen diesen Darstellungsformen und erkennen sowie erläutern mögliche fehlerhafte Darstellungen.
Jahrgangsstufe 7 (Regelklasse)
zeichnen Mittelsenkrechte zu vorgegebenen Strecken sowie Senkrechte zu Geraden durch vorgegebene Punkte, um in alltagsnahen Sachzusammenhängen Abstände zu ermitteln und Lagebeziehungen zu beschreiben.
vergrößern und verkleinern Figuren maßstäblich, auch in Koordinatensystemen. Sie bestimmen aus Zeichnungen und Karten Längen bzw. Entfernungen und beschreiben ihr Vorgehen, um grundlegende Vorstellungen zum Maßstab zu entwickeln, die für den Alltagsgebrauch notwendig sind.
beschreiben die Eigenschaften verschiedener Dreiecke, auch in ihrer Umwelt, und ordnen diese begründet in allgemeine und spezielle (rechtwinklige, gleichschenklige, gleichseitige) Dreiecke. Sie beschriften Dreiecke fachgerecht.
zeichnen Dreiecke aus gegebenen Winkel- und Seitenmaßen (sss, sws, wsw) unter Verwendung angemessener Hilfsmittel (Zirkel, Lineal, Geodreieck).
begründen die Innenwinkelsumme im Dreieck mithilfe einer Problemlösestrategie (z. B. Messen, Abreißen der Ecken) und nutzen diese Erkenntnis zur Berechnung fehlender Winkel.
identifizieren und benennen Prismen (Grundfläche: Rechteck, Parallelogramm, Dreieck) auch in ihrer Umwelt, unterscheiden diese nach geometrischen Kriterien und verwenden dabei Fachbegriffe (Seitenfläche, Kante, Ecke, Seite, Diagonale, rechter Winkel, senkrecht, parallel).
zeichnen Prismen (Grundfläche: Rechteck, Parallelogramm, Dreieck) als Netze sowie Schrägbildskizzen. Diese beschriften sie mit gegebenen Werten sowie gesuchten Größen. Sie wechseln zwischen diesen Darstellungsformen, erkennen und erläutern mögliche fehlerhafte Darstellungen.
Jahrgangsstufe 7 (Mittlere-Reife-Klasse)
zeichnen Mittelsenkrechte zu vorgegebenen Strecken sowie Senkrechte zu Geraden durch vorgegebene Punkte, um in alltagsnahen Sachzusammenhängen Abstände zu ermitteln und Lagebeziehungen zu beschreiben. Darüber hinaus zeichnen sie Winkelhalbierende in vorgegebene Winkel ein.
vergrößern und verkleinern Figuren maßstäblich, auch in Koordinatensystemen. Sie bestimmen aus Zeichnungen und Karten Längen bzw. Entfernungen und beschreiben ihr Vorgehen, um grundlegende Vorstellungen zum Maßstab zu entwickeln, die für den Alltagsgebrauch notwendig sind.
beschreiben die Eigenschaften verschiedener Dreiecke, auch in ihrer Umwelt, und ordnen diese begründet in allgemeine und spezielle (rechtwinklige, gleichschenklige, gleichseitige) Dreiecke. Sie beschriften Dreiecke fachgerecht.
zeichnen Dreiecke aus gegebenen Winkel- und Seitenmaßen (sss, sws, wsw) unter Verwendung angemessener Hilfsmittel (Zirkel, Lineal, Geodreieck).
begründen die Innenwinkelsumme im Dreieck mithilfe einer Problemlösestrategie (z. B. Messen, Abreißen der Ecken) und nutzen diese Erkenntnis zur Berechnung fehlender Winkel.
identifizieren und benennen Prismen (Grundfläche: Rechteck, Parallelogramm, Dreieck) auch in ihrer Umwelt, unterscheiden diese nach geometrischen Kriterien und verwenden dabei Fachbegriffe (Seitenfläche, Kante, Ecke, Seite, Diagonale, rechter Winkel, senkrecht, parallel).
zeichnen Prismen (Grundfläche: Rechteck, Parallelogramm, Dreieck) als Netze sowie Schrägbildskizzen. Diese beschriften sie mit gegebenen Werten sowie gesuchten Größen. Sie wechseln zwischen diesen Darstellungsformen, erkennen und erläutern mögliche fehlerhafte Darstellungen.
Jahrgangsstufe 8 (Regelklasse)
zeichnen Kreisornamente sowie Kreise und setzen hierbei den Zirkel fachmännisch ein. Sie zeichnen Radius sowie Durchmesser ein und verwenden Fachbegriffe (Radius, Durchmesser, Kreislinie, Kreisumfang, Kreisfläche).
messen Kreisumfänge und Durchmesser verschiedener Kreise, um über den Quotienten aus Umfang und Durchmesser den Näherungswert 3,14 der Kreiszahl π zu bestimmen und somit die Formel für die Berechnung des Kreisumfangs herzuleiten. Sie berechnen Kreisumfänge und lösen Umkehr- sowie Sachaufgaben, auch aus dem berufsbezogenen Bereich.
berechnen Umfänge zusammengesetzter Figuren, die auch Halbkreise und Viertelkreise enthalten.
beschreiben Eigenschaften von Zylindern an Körpern im Alltag, Modellen und Schrägbildern, um ihre Raumvorstellung zu schulen.
zeichnen Zylinder als Netze sowie Schrägbildskizzen und beschriften diese mit gegebenen Werten und gesuchten Größen. Sie wechseln zwischen den Darstellungsformen und erkennen sowie erläutern mögliche fehlerhafte Darstellungen.
Jahrgangsstufe 8 (Mittlere-Reife-Klasse)
zeichnen mithilfe des Zirkels Kreisornamente und Kreise, um den fachmännischen Umgang mit dem Zirkel zu beherrschen. Sie zeichnen Radius, Durchmesser, Mittelpunktswinkel, Kreisbögen sowie Kreisausschnitte ein und verwenden Fachbegriffe (Radius, Durchmesser, Kreislinie, Kreisumfang, Kreisbogen, Kreisfläche, Mittelpunktswinkel, Kreisring, Kreissektor bzw. ‑ausschnitt).
messen Kreisumfänge und Durchmesser verschiedener Kreise, um über den Quotienten aus Umfang und Durchmesser den Näherungswert 3,14 der Kreiszahl π zu bestimmen und somit die Formel für die Berechnung des Kreisumfangs herzuleiten. Sie berechnen Kreisumfänge und lösen Umkehr- sowie Sachaufgaben, auch aus dem berufsbezogenen Bereich.
berechnen Kreisbögen auch in Sachaufgaben und lösen Umkehraufgaben.
berechnen Umfänge zusammengesetzter Figuren, die auch Halbkreise und Viertelkreise enthalten.
beschreiben Eigenschaften von Zylindern an Körpern im Alltag, Modellen und Schrägbildern, um ihre Raumvorstellung zu schulen.
zeichnen Zylinder als Netze sowie Schrägbildskizzen und beschriften diese mit gegebenen Werten und gesuchten Größen. Sie wechseln zwischen den Darstellungsformen und erkennen sowie erläutern mögliche fehlerhafte Darstellungen.
Jahrgangsstufe 9 (Regelklasse)
beschreiben rechtwinklige Dreiecke unter Verwendung von Fachbegriffen (Hypotenuse, Kathete) und erkennen diese in ihrer Umwelt sowie als Teilfiguren bereits bekannter geometrischer Figuren (Quadrat, Rechteck, Trapez, Drachen, Parallelogramm). Sie zeichnen rechtwinklige Dreiecke unter fachgerechtem Gebrauch des Geodreiecks.
erläutern den Satz des Pythagoras sowie seine Umkehrung und geben ihn mit verschiedenen Seitenvariablen an, um den Satz in unterschiedlichen Situationen anwenden zu können.
berechnen mithilfe des Satzes des Pythagoras fehlende Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck und überprüfen, ob Dreiecke rechtwinklig sind, auch bei geometrischen Körpern, in Sachzusammenhängen sowie bei berufsbezogenen Aufgaben.
beschreiben Eigenschaften von regelmäßigen Vielecken und zeigen diese an Beispielen. Sie zerlegen regelmäßige Vielecke in deckungsgleiche, gleichschenklige Dreiecke, um jeweils Beziehungen zwischen dem Mittelpunktswinkel und den Basiswinkeln bzw. Winkeln eines Vielecks zu erläutern.
berechnen Mittelpunktswinkel und Umfänge von regelmäßigen Vielecken sowie die Basiswinkel der jeweiligen Bestimmungsdreiecke. Sie zeichnen regelmäßige Vielecke.
beschreiben Eigenschaften von geraden Pyramiden (Grundfläche: Quadrat, Rechteck, Dreieck oder regelmäßiges Vieleck) sowie geraden Kegeln an Modellen, an Schrägbildern und an Körpern im Alltag. Sie lösen dazu kopfgeometrische Aufgaben, um ihre Raumvorstellung zu schulen.
erstellen Schrägbildskizzen von geraden Pyramiden (Grundfläche: Quadrat, Rechteck, Dreieck) sowie geraden Kegeln und beschriften diese mit gegebenen Werten und gesuchten Größen, um ihre Raumvorstellung zu vertiefen und beim Problemlösen strukturiert vorzugehen.
Jahrgangsstufe 9 (Mittlere-Reife-Klasse)
beschreiben rechtwinklige Dreiecke unter Verwendung von Fachbegriffen (Hypotenuse, Kathete) und erkennen diese in ihrer Umwelt sowie als Teilfiguren bereits bekannter geometrischer Figuren (Quadrat, Rechteck, Trapez, Drachen, Parallelogramm). Sie zeichnen rechtwinklige Dreiecke unter fachgerechtem Gebrauch des Geodreiecks und mithilfe des Thaleskreises.
erläutern den Satz des Pythagoras sowie seine Umkehrung und geben ihn mit verschiedenen Seitenvariablen an, um den Satz in unterschiedlichen Situationen anwenden zu können.
berechnen mithilfe des Satzes des Pythagoras fehlende Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck und überprüfen, ob Dreiecke rechtwinklig sind, auch bei geometrischen Körpern, in Sachzusammenhängen sowie bei berufsbezogenen Aufgaben.
beschreiben Eigenschaften von regelmäßigen Vielecken und zeigen diese an Beispielen. Sie zerlegen regelmäßige Vielecke in deckungsgleiche, gleichschenklige Dreiecke, um jeweils Beziehungen zwischen dem Mittelpunktswinkel und den Basiswinkeln bzw. Winkeln eines Vielecks zu erläutern.
berechnen Mittelpunktswinkel und Umfänge von regelmäßigen Vielecken sowie die Basiswinkel der jeweiligen Bestimmungsdreiecke. Sie zeichnen regelmäßige Vielecke.
beschreiben Eigenschaften von geraden und schiefen Pyramiden (Grundfläche: Quadrat, Rechteck, Dreieck oder regelmäßiges Vieleck) sowie geraden und schiefen Kegeln an Modellen, an Schrägbildern und an Körpern im Alltag. Sie lösen dazu kopfgeometrische Aufgaben, um ihre Raumvorstellung zu schulen.
erstellen Schrägbildskizzen von geraden Pyramiden (Grundfläche: Quadrat, Rechteck, Dreieck) sowie geraden Kegeln und beschriften diese mit gegebenen Werten und gesuchten Größen, um ihre Raumvorstellung zu vertiefen und beim Problemlösen strukturiert vorzugehen.
Lernbereich 4: Flächeninhalt – Oberflächeninhalt von Quadern
berechnen Oberflächeninhalte von Quadern und Würfeln auch in Sachsituationen, indem sie mithilfe von Netzen oder Schrägbildskizzen den jeweiligen Oberflächeninhalt als Summe aller Inhalte der Teilfiguren deutlich machen.
berechnen Oberflächeninhalte von aus Quadern und Würfeln zusammengesetzten Körpern.
Lernbereich 5: Rauminhalt – Quader
bauen Würfelbauten nach Schrägbildern oder Ansichten (Seitenansicht, Vorderansicht, Ansicht von oben) und lösen im Kopf Aufgaben mit Körpern, die aus Einheitswürfeln bestehen, um ihre Raumvorstellung zu schulen.
vergleichen, messen und schätzen Rauminhalte von Würfeln und Quadern, indem sie verschiedene Problemlösestrategien (z. B. Umschütten, Auslegen mit Einheitswürfeln) durchführen. Dabei verwenden sie den Begriff Volumen sicher.
begründen die Rauminhaltsberechnung von Würfeln und Quadern dadurch, dass sie diese mit Einheitswürfeln auslegen und die Abhängigkeit des Rauminhalts von Länge, Breite und Höhe des jeweiligen Quaders aufzeigen.
beschreiben auf der Grundlage ihres Verständnisses des Prinzips der Volumenberechnung das Würfelvolumen (V_W = a • a • a; V_W = a³) und entsprechende Maßeinheiten als Potenzen (m³, dm³, cm³, mm³) und erläutern an Beispielen Zusammenhänge zwischen diesen Maßeinheiten sowie zu ml und l.
berechnen Volumina von Quadern, Würfeln oder daraus zusammengesetzten Körpern und lösen alltagsbezogene Sachaufgaben. Sie wandeln Volumeneinheiten bei Bedarf in benachbarte Einheiten um und wählen diese situationsgerecht aus.
Lernbereich 1: Prozentrechnung
Jahrgangsstufe 7 (Regelklasse)
fassen Prozentsätze als vergleichbare Anteile auf und interpretieren sie als Hundertstelbrüche. Sie machen Prozentsätze handelnd auf verschiedene Weise sichtbar.
wenden Prozentsätze als Mittel zum Vergleich von Anteilen in Sachsituationen an.
entnehmen Sachsituationen Zahlenmaterial und ordnen dieses den Begriffen Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz richtig zu. Sie formulieren selbst Sachverhalte aus der eigenen Erfahrungswelt, die mithilfe der Prozentrechnung behandelt werden können, und verwenden Verfahren der Prozentrechnung, um die jeweils fehlende Größe (auch im Überschlag) vorteilhaft zu berechnen.
nutzen einfache funktionale Zusammenhänge zwischen den Grundgrößen der Prozentrechnung und somit die lineare Struktur der Prozentrechnung zum Argumentieren (z. B. „Wie ändert sich …, wenn …“).
bestimmen in Aufgaben, die ein Mischungsverhältnis angeben, den Prozentwert sowie Prozentsatz eines Anteils und bewältigen so problemorientierte Aufgaben aus Alltag und Beruf.
entnehmen Säulen-, Balken-, Streifen- und Kreisdiagrammen Informationen und geben diese mit eigenen Worten wieder. Sie setzen sich kritisch mit grafisch aufbereiteten Daten auseinander, um diese zu bewerten.
wenden die grundlegenden Verfahren der Prozentrechnung in berufsbezogenen Aufgaben an.
Jahrgangsstufe 7 (Mittlere-Reife-Klasse)
fassen Prozentsätze als vergleichbare Anteile auf und interpretieren sie als Hundertstelbrüche. Sie machen Prozentsätze handelnd auf verschiedene Weise sichtbar.
wenden Prozentsätze als Mittel zum Vergleich von Anteilen in Sachsituationen an.
entnehmen Sachsituationen Zahlenmaterial und ordnen dieses den Begriffen Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz richtig zu. Sie formulieren selbst Sachverhalte aus der eigenen Erfahrungswelt, die mithilfe der Prozentrechnung behandelt werden können, und verwenden Verfahren der Prozentrechnung, um die jeweils fehlende Größe (auch im Überschlag) vorteilhaft zu berechnen. Sie arbeiten auch mit der Formel Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert (p = P : G) und verwenden Prozentsätze als Faktoren.
nutzen einfache funktionale Zusammenhänge zwischen den Grundgrößen der Prozentrechnung und somit die lineare Struktur der Prozentrechnung zum Argumentieren (z. B. „Wie ändert sich …, wenn …“).
bestimmen in Aufgaben, die ein Mischungsverhältnis angeben, den Prozentwert sowie Prozentsatz eines Anteils und bewältigen so problemorientierte Aufgaben aus Alltag und Beruf.
entnehmen Säulen-, Balken-, Streifen- und Kreisdiagrammen Informationen und geben diese mit eigenen Worten wieder. Sie setzen sich kritisch mit grafisch aufbereiteten Daten auseinander, um diese zu bewerten.
wenden die grundlegenden Verfahren der Prozentrechnung in berufsbezogenen Aufgaben an.
Jahrgangsstufe 8 (Regelklasse)
wenden in einem breiten Spektrum von Themen die Prozentrechnung an (Rabatt, Preiserhöhung bzw. ‑senkung, Skonto, Umsatzsteuer; Bruttogewicht, Nettogewicht, Tara). Dabei strukturieren sie komplexe Aufgabenstellungen.
lösen einfache Aufgaben zur Verkaufspreisermittlung mit einem geeigneten Schema. Hier ordnen sie Fachbegriffe (Nettoverkaufspreis, Umsatzsteuer, Bruttoverkaufspreis) den entsprechenden Zahlenangaben zu.
stellen Prozentangaben in grundlegenden Schaubildern dar (Säulen-, Balken-, Streifen- und Kreisdiagramm) und bewerten die Aussagekraft unterschiedlicher Darstellungsformen zu aktuellen Themen kritisch, um Informationen zu entnehmen und mögliche Manipulationen zu durchschauen.
entnehmen Zahlenangaben aus Situationen zur Promillerechnung mit lebenspraktischem Bezug (z. B. Versicherung, Alkoholgehalt im Blut, Wirkstoffe in Medikamenten), ordnen diesen die Begriffe der Promillerechnung (Grundwert, Promillewert, Promillesatz) zu und nutzen die Grundaufgaben der Prozentrechnung (Prozentsätze als Hundertstel) für die Lösung der Aufgaben zur Promillerechnung (Promillesätze als Tausendstel).
Jahrgangsstufe 8 (Mittlere-Reife-Klasse)
wenden in einem breiten Spektrum von Themen mithilfe des Wachstumsfaktors die Prozentrechnung an (Rabatt, Preiserhöhung bzw. ‑senkung, Skonto, Umsatzsteuer; Bruttogewicht, Nettogewicht, Tara). Dabei strukturieren sie komplexe Aufgabenstellungen und verketten Prozentsätze als Faktoren.
lösen Aufgaben zur Verkaufspreiskalkulation mit einem geeigneten Schema. Hier ordnen sie Fachbegriffe (Einkaufspreis, Handlungskosten, Selbstkosten, Gewinn, Verlust, Nettoverkaufspreis, Umsatzsteuer, Bruttoverkaufspreis) den entsprechenden Zahlenangaben zu.
stellen Prozentangaben in grundlegenden Schaubildern dar (Säulen-, Balken-, Streifen- und Kreisdiagramm, Plus-Minus-Darstellung, Halbkreisdarstellung) und bewerten die Aussagekraft unterschiedlicher Darstellungsformen zu aktuellen Themen kritisch, um Informationen zu entnehmen und mögliche Manipulationen zu durchschauen.
entnehmen Zahlenangaben aus Situationen zur Promillerechnung mit lebenspraktischem Bezug (z. B. Versicherung, Alkoholgehalt im Blut, Wirkstoffe in Medikamenten), ordnen diesen die Begriffe der Promillerechnung (Grundwert, Promillewert, Promillesatz) zu und nutzen die Grundaufgaben der Prozentrechnung (Prozentsätze als Hundertstel) für die Lösung der Aufgaben zur Promillerechnung (Promillesätze als Tausendstel).
Lernbereich 2: Rationale Zahlen – Rechenregeln
Jahrgangsstufe 7 (Regelklasse)
veranschaulichen realitätsnahe Situationen als Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionsaufgaben (z. B. an der Zahlengeraden durch Pfeile) und erstellen eigene Aufgaben zu vorgegebenen Darstellungen, um den Zusammenhang zwischen Sachkontext und mathematischem Modell zu erklären (a + b; a - b; a • b; a : b mit a ∈ ℚ, b ∈ ℚ⁺).
erklären ausgehend von einem Sachbezug (z. B. Guthaben oder Schulden, Temperaturschwankungen, Höhenunterschiede) Regeln der Addition und Subtraktion bei rationalen Zahlen, sodass sie diese in weiteren Kontexten anwenden können (a + b; a - b mit a, b ∈ ℚ).
erklären an Sachsituationen und Aufgabenreihen, ausgehend von ihren grundlegenden Kenntnissen (Multiplikation als wiederholte Addition sowie Division als Umkehrung der Multiplikation), die Regeln der Multiplikation und Division bei rationalen Zahlen, sodass sie diese in weiteren Kontexten anwenden können (a • b; a : b mit a, b ∈ ℚ).
wenden die Rechenregeln der Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division (Divisor in Dezimalschreibweise) rationaler Zahlen an, auch in Überschlagsrechnungen und Sachkontexten. Sie nutzen die Rechenregeln zum vorteilhaften Rechnen, sodass sie Sicherheit im sinnvollen Rechnen mit rationalen Zahlen erlangen (a + b; a - b; a • b; a : b mit a, b ∈ ℚ).
Jahrgangsstufe 7 (Mittlere-Reife-Klasse)
veranschaulichen realitätsnahe Situationen als Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionsaufgaben (z. B. an der Zahlengeraden durch Pfeile) und erstellen eigene Aufgaben zu vorgegebenen Darstellungen, um den Zusammenhang zwischen Sachkontext und mathematischem Modell zu erklären (a + b; a - b; a • b; a : b mit a ∈ ℚ, b ∈ ℚ⁺).
erklären ausgehend von einem Sachbezug (z. B. Guthaben oder Schulden, Temperaturschwankungen, Höhenunterschiede) Regeln der Addition und Subtraktion bei rationalen Zahlen, sodass sie diese in weiteren Kontexten anwenden können (a + b; a - b mit a, b ∈ ℚ).
erklären an Sachsituationen und Aufgabenreihen, ausgehend von ihren grundlegenden Kenntnissen (Multiplikation als wiederholte Addition sowie Division als Umkehrung der Multiplikation), die Regeln der Multiplikation und Division bei rationalen Zahlen, sodass sie diese in weiteren Kontexten anwenden können (a • b; a : b mit a, b ∈ ℚ).
wenden die Rechenregeln der Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division (Divisor in Dezimal- und Bruchschreibweise) rationaler Zahlen an, auch in Überschlagsrechnungen und Sachkontexten. Sie nutzen die Rechenregeln zum vorteilhaften Rechnen, sodass sie Sicherheit im sinnvollen Rechnen mit rationalen Zahlen erlangen (a + b; a - b; a • b; a : b mit a, b ∈ ℚ).
Lernbereich 4: Flächeninhalt – Parallelogramme und Dreiecke
Jahrgangsstufe 7 (Regelklasse)
erklären die Flächeninhaltsberechnung von Parallelogrammen anschaulich, indem sie Parallelogramme in flächengleiche Rechtecke zerlegen.
erklären die Flächeninhaltsberechnung von Dreiecken anschaulich, indem sie Dreiecke zerlegen bzw. zu Parallelogrammen ergänzen und dabei jeweils die Grundseite sowie die zugehörige Höhe als ausschlaggebende Größen erkennen.
berechnen Flächeninhalte von Parallelogrammen, Dreiecken und zusammengesetzten Figuren. Darüber hinaus lösen sie dazu Umkehraufgaben sowie sachbezogene Aufgaben.
berechnen Oberflächeninhalte von geraden Dreieckprismen und einfachen zusammengesetzten Körpern auch in Sachsituationen, indem sie mithilfe deren Netze oder Schrägbilder die jeweilige Oberfläche als Summe der Teilflächen deutlich machen.
Jahrgangsstufe 7 (Mittlere-Reife-Klasse)
erklären die Flächeninhaltsberechnung von Parallelogrammen anschaulich, indem sie Parallelogramme in flächengleiche Rechtecke zerlegen.
erklären die Flächeninhaltsberechnung von Dreiecken anschaulich, indem sie Dreiecke zerlegen bzw. zu Parallelogrammen ergänzen und dabei jeweils die Grundseite und die zugehörige Höhe als ausschlaggebende Größen erkennen.
berechnen Flächeninhalte von Parallelogrammen, Dreiecken und zusammengesetzten Figuren. Darüber hinaus lösen sie dazu Umkehraufgaben sowie sachbezogene Aufgaben.
zeichnen und beschriften Trapeze, Drachenvierecke sowie Rauten fachgerecht, ermitteln dazugehörige Bestimmungsgrößen und erklären die Flächeninhaltsberechnung dieser Figuren anschaulich, indem sie bekannte Problemlösungsstrategien einsetzen.
berechnen Flächeninhalte von Trapezen, Drachenvierecken, Rauten und zusammengesetzten Figuren. Darüber hinaus lösen sie dazu Umkehraufgaben sowie sachbezogene Aufgaben.
berechnen Oberflächeninhalte von geraden Prismen mit verschiedenen Grundflächen und von aus Prismen zusammengesetzten Körpern auch in Sachsituationen, indem sie mithilfe ihrer Netze oder Schrägbilder die jeweilige Oberfläche als Summe der Teilflächen deutlich machen.
Lernbereich 5: Rauminhalt – gerade Prismen
Jahrgangsstufe 7 (Regelklasse)
erklären die Volumenberechnung gerader Prismen (Grundfläche: Rechteck, Parallelogramm, Dreieck) anschaulich.
lösen Aufgaben zu Volumina gerader Prismen (Grundfläche: Rechteck, Parallelogramm, Dreieck) und daraus zusammengesetzter Körper sowie Sachaufgaben, um mögliche Anwendungsgebiete der späteren beruflichen Praxis kennenzulernen.
Jahrgangsstufe 7 (Mittlere-Reife-Klasse)
erklären die Volumenberechnung gerader Prismen (Grundfläche: Rechteck, Parallelogramm, Drache, Trapez, Dreieck) anschaulich.
lösen Aufgaben zu Volumina gerader Prismen (Grundfläche: Rechteck, Parallelogramm, Drache, Trapez, Dreieck) und daraus zusammengesetzter Körper sowie Sachaufgaben, um mögliche Anwendungsgebiete der späteren beruflichen Praxis kennenzulernen.
Lernbereich 6: Diagramme und statistische Kennwerte
Jahrgangsstufe 7 (Regelklasse)
entwerfen und vergleichen unterschiedliche Darstellungen von Daten (z. B. Textform, Tabelle, Diagramm). Sie begründen, welche Form der Darstellung jeweils situations- und adressatenbezogen ist, auch um manipulative Darstellungen zu erkennen.
beurteilen die Qualität von Datenerhebungen und ‑darstellungen hinsichtlich ihrer Aussagekraft (z. B. Anzahl der Stichproben, unterschiedliche Skalierung, falsche Aussagen).
nutzen im Vergleich zum arithmetischen Mittel weitere statistische Kennwerte (Spannweite, Zentralwert), um Daten noch exakter zu interpretieren (z. B. Notenschwankungen – gleichbleibende Noten, Temperaturschwankungen – gleichbleibende Temperatur), und begründen im Sachzusammenhang die Notwendigkeit, unterschiedliche Kennwerte zu ermitteln.
Jahrgangsstufe 7 (Mittlere-Reife-Klasse)
entwerfen und vergleichen unterschiedliche Darstellungen von Daten (z. B. Textform, Tabelle, Diagramm). Sie begründen, welche Form der Darstellung jeweils situations- und adressatenbezogen ist, auch um manipulative Darstellungen zu erkennen.
beurteilen die Qualität von Datenerhebungen und ‑darstellungen hinsichtlich ihrer Aussagekraft (z. B. Anzahl der Stichproben, unterschiedliche Skalierung, falsche Aussagen).
nutzen im Vergleich zum arithmetischen Mittel weitere statistische Kennwerte (Spannweite, Zentralwert), um Daten noch exakter zu interpretieren (z. B. Notenschwankungen – gleichbleibende Noten, Temperaturschwankungen – gleichbleibende Temperatur), und begründen im Sachzusammenhang die Notwendigkeit, unterschiedliche Kennwerte zu ermitteln.
Lernbereich 7: Gleichungen
Jahrgangsstufe 7 (Regelklasse)
erstellen zu Sachsituationen Terme (auch mit einer Variablen) aus dem Bereich der ganzen Zahlen. Sie vereinfachen Terme, indem sie Rechengesetze anwenden (Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz) und formulieren zu gegebenen Termen Sachzusammenhänge.
berechnen den Wert von Termen mit einer Variablen durch Einsetzen verschiedener Variablenwerte, um jeweils die Abhängigkeit des Wertes des Terms vom Wert der Variablen zu beschreiben.
stellen Sachsituationen aus ihrer Lebenswelt mit Gleichungen dar und lösen diese Gleichungen (z. B. durch systematisches Probieren). Sie formulieren zu Gleichungen Sachsituationen.
erläutern den Gleichungsbegriff und Äquivalenzumformungen anschaulich mithilfe eines geeigneten Modells (z. B. Balkenwaage, Zeichnung).
lösen Gleichungen der Form ax + b = c mit x, a, b, c ∈ ℤ durch Äquivalenzumformungen und überprüfen jeweils die Lösung mithilfe der Durchführung der Probe. Sie erkennen und verbessern Fehler in vorgegebenen Umformungen.
Jahrgangsstufe 7 (Mittlere-Reife-Klasse)
erstellen zu Sachsituationen Terme (auch mit einer Variablen) aus dem Bereich der ganzen Zahlen. Sie vereinfachen Terme, indem sie Rechengesetze anwenden (Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz) und formulieren zu gegebenen Termen Sachzusammenhänge.
berechnen den Wert von Termen mit einer Variablen durch Einsetzen verschiedener Variablenwerte, um jeweils die Abhängigkeit des Wertes des Terms vom Wert der Variablen zu beschreiben.
stellen Sachsituationen aus ihrer Lebenswelt mit Gleichungen dar und lösen diese Gleichungen (z. B. durch systematisches Probieren). Sie formulieren zu Gleichungen Sachsituationen.
erläutern den Gleichungsbegriff und Äquivalenzumformungen anschaulich mithilfe eines geeigneten Modells (z. B. Balkenwaage, Zeichnung).
lösen Gleichungen der Form ax + b = c mit x, a, b, c ∈ ℤ durch Äquivalenzumformungen und überprüfen jeweils die Lösung mithilfe der Durchführung der Probe. Sie erkennen und verbessern Fehler in vorgegebenen Umformungen.
Jahrgangsstufe 8 (Regelklasse)
stellen Gleichungen mit einer Variablen zu Alltagssituationen aus dem Bereich der rationalen Zahlen auf und überprüfen diese auf Plausibilität. In der Umkehrung formulieren und ergänzen sie zu gegebenen Termen und Gleichungen Sachzusammenhänge.
vereinfachen Terme mit rationalen Zahlen, indem sie die Rechenregeln und ‑gesetze sinnvoll anwenden (Klammerregel, Punkt-vor-Strich-Regel, Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz) und berechnen Termwerte. Sie begründen und bewerten ihr Vorgehen.
lösen Gleichungen mit Klammern sowie mehrmals auftretender Variablen aus dem Bereich der rationalen Zahlen in dezimaler Schreibweise durch Äquivalenzumformungen und überprüfen die Lösung (z. B. mittels Durchführen der Probe). Sie berichtigen Fehler in vorgegebenen Umformungen und begründen dabei ihr Vorgehen.
schließen von einem Gleichungsergebnis bei gegebenen Umformungsschritten auf die ursprüngliche Gleichung zurück.
mathematisieren eingekleidete Aufgaben (z. B. Knobelaufgaben, Textgleichungen, Mischungsaufgaben) und Realsituationen im Bereich der rationalen Zahlen durch Gleichungen und lösen diese Gleichungen. Sie interpretieren und überprüfen die Lösung einer Gleichung in Bezug auf die Realsituation.
Jahrgangsstufe 8 (Mittlere-Reife-Klasse)
stellen Gleichungen mit einer Variablen zu Alltagssituationen aus dem Bereich der rationalen Zahlen auf und überprüfen diese auf Plausibilität. In der Umkehrung formulieren und ergänzen sie zu gegebenen Termen und Gleichungen Sachzusammenhänge.
vereinfachen Terme (auch mit mehreren Variablen) mit rationalen Zahlen, indem sie die Rechenregeln und ‑gesetze sinnvoll anwenden (Klammerregel, Punkt-vor-Strich-Regel, Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz) und berechnen Termwerte. Sie begründen und bewerten ihr Vorgehen.
lösen Gleichungen mit Klammern sowie mehrmals auftretender Variablen aus dem Bereich der rationalen Zahlen durch Äquivalenzumformungen, wechseln dabei situationsangemessen zwischen Bruch- und Dezimaldarstellung und überprüfen die Lösung (z. B. mittels Durchführen der Probe). Sie berichtigen Fehler in vorgegebenen Umformungen und begründen dabei ihr Vorgehen.
schließen von einem Gleichungsergebnis bei gegebenen Umformungsschritten auf die ursprüngliche Gleichung zurück.
mathematisieren eingekleidete Aufgaben (z. B. Knobelaufgaben, Textgleichungen, Mischungsaufgaben) und Realsituationen im Bereich der rationalen Zahlen durch Gleichungen und lösen diese Gleichungen. Sie interpretieren und überprüfen die Lösung einer Gleichung in Bezug auf die Realsituation.
Jahrgangsstufe 9 (Regelklasse)
setzen aus Sachzusammenhängen und Zahlenrätseln komplexe Gleichungen mit einer Variablen (z. B. Gleichungen mit Klammern, Brüchen, mehrmals auftretender Variablen) an, lösen diese mithilfe von Äquivalenzumformungen und begründen ihre Lösungswege.
lösen lineare Gleichungen mit Brüchen (Variable nur im Zähler), auch zu Sachsituationen (z. B. Mischungsaufgaben). Sie wechseln dabei situationsangemessen zwischen Bruch- sowie Dezimaldarstellung und begründen ihr Vorgehen.
setzen Werte in mathematische Formeln ein (z. B. Flächeninhalts- und Volumenformeln, Formeln aus den Naturwissenschaften), finden fehlende Werte durch Äquivalenzumformungen, überprüfen ihre Ergebnisse in Sachzusammenhängen und begründen ihr Vorgehen.
Jahrgangsstufe 9 (Mittlere-Reife-Klasse)
setzen aus Sachzusammenhängen und Zahlenrätseln komplexe Gleichungen mit ein und zwei Variablen an (z. B. Gleichungen mit Klammern, Brüchen, mehrmals auftretender Variablen, Produkte aus Summen und Differenzen), lösen diese Gleichungen bzw. Gleichungssysteme mithilfe von Äquivalenzumformungen und bewerten verschiedene Lösungsverfahren.
lösen lineare Gleichungen mit Brüchen (Variable im Zähler oder im Nenner), auch zu Sachsituationen (z. B. Mischungsaufgaben). Sie wechseln situationsangemessen zwischen Bruch- sowie Dezimaldarstellung und begründen ihr Vorgehen. Sie legen dabei ggf. die Definitionsbereiche fest und geben Lösungsmengen an.
bestimmen Lösungsmengen von reinquadratischen Gleichungen, auch zu Sachsituationen, und formulieren zu gegebenen Lösungsmengen passende reinquadratische Gleichungen.
setzen Werte in mathematische Formeln ein (z. B. Formeln zur Prozent- oder Zinsrechnung, Formeln aus den Naturwissenschaften), finden fehlende Werte durch Äquivalenzumformungen, überprüfen ihre Ergebnisse in Sachzusammenhängen und begründen ihr Vorgehen.
Lernbereich 8: Proportionalität
Jahrgangsstufe 7 (Regelklasse)
erkennen und beschreiben Zuordnungen von Größen im Alltag (z. B. Menge – Preis, Kilometer – Stunden), stellen diese mit eigenen Worten (Je-desto-Sätze) sowie in Tabellen, Diagrammen und Graphen dar.
nutzen verschiedene Darstellungsformen (z. B. Tabellen, Diagramme, Graphen) von Funktionen, um lineare und nicht lineare Zusammenhänge eindeutig und begründet zu unterscheiden.
ergänzen bei proportionalen Zuordnungen Wertepaare in Tabellen (z. B. mithilfe des Dreisatzes) und vergleichen rechnerische mit zeichnerischen Lösungen, um Ergebnisse zu kontrollieren.
erkennen in Sachzusammenhängen Eigenschaften proportionaler Zuordnungen und ermitteln Wertepaare (z. B. mithilfe des Dreisatzes) rechnerisch. Sie prüfen und interpretieren Ergebnisse innerhalb der entsprechenden Situation.
Jahrgangsstufe 7 (Mittlere-Reife-Klasse)
erkennen und beschreiben Zuordnungen von Größen im Alltag (z. B. Menge – Preis, Kilometer – Stunden), stellen diese mit eigenen Worten (Je-desto-Sätze) sowie in Tabellen, Diagrammen und Graphen dar.
nutzen verschiedene Darstellungsformen (z. B. Tabellen, Diagramme, Graphen) von Funktionen, um lineare und nicht lineare Zusammenhänge eindeutig und begründet zu unterscheiden.
ergänzen bei proportionalen Zuordnungen Wertepaare in Tabellen (z. B. mithilfe des Dreisatzes) und vergleichen rechnerische mit zeichnerischen Lösungen, um Ergebnisse zu kontrollieren.
erkennen in Sachzusammenhängen Eigenschaften proportionaler Zuordnungen und ermitteln Wertepaare (z. B. mithilfe des Dreisatzes) rechnerisch. Sie prüfen und interpretieren Ergebnisse innerhalb der entsprechenden Situation.
Lernbereich 2: Quadratzahlen und Quadratwurzeln
Jahrgangsstufe 8 (Regelklasse)
erklären am funktionalen Zusammenhang zwischen Seitenlängen und Flächeninhalten von Quadraten das Quadrieren und Radizieren als Umkehrung des jeweils anderen Vorgangs und erläutern den Begriff Quadratwurzel.
bestimmen Quadrate von positiven Zahlen sowie näherungsweise Quadratwurzeln mit dem Taschenrechner, um Aufgaben zum Themenkomplex Flächeninhalte von Quadraten und Kreisen zu lösen.
Jahrgangsstufe 8 (Mittlere-Reife-Klasse)
erklären am funktionalen Zusammenhang zwischen Seitenlängen und Flächeninhalten von Quadraten das Quadrieren und Radizieren als Umkehrung des jeweils anderen Vorgangs und erläutern den Begriff Quadratwurzel.
bestimmen Quadrate von positiven Zahlen sowie näherungsweise Quadratwurzeln mit dem Taschenrechner, um Aufgaben zum Themenkomplex Flächeninhalte von Quadraten und Kreisen zu lösen.
überschlagen Quadratzahlen positiver sowie negativer Zahlen und in der Umkehrung Wurzelwerte.
Lernbereich 4: Flächeninhalt – Kreise
Jahrgangsstufe 8 (Regelklasse)
begründen die Flächeninhaltsberechnung von Kreisen anschaulich, indem sie die ihnen bekannten Problemlösestrategien zur Flächeninhaltsmessung durchführen (z. B. Auslegen mit Einheitsquadraten, Annäherung durch Außenquadrat und Innenquadrat, Zerlegen von Kreisen in Sektoren, die näherungsweise zu Rechtecken zusammengelegt werden).
lösen alltagsrelevante Sachaufgaben basierend auf der Fähigkeit der Flächeninhaltsberechnung von Kreisen und dazugehörige Umkehraufgaben, indem sie das Radizieren als Umkehrung des Quadrierens anwenden.
ermitteln Flächeninhalte zusammengesetzter Figuren in sach- und berufsbezogenen Aufgaben.
begründen die Oberflächeninhaltsberechnung von Zylindern anschaulich, indem sie Netze oder Schrägbilder nutzen. Sie ermitteln Oberflächeninhalte von Zylindern auch in Sachsituationen.
Jahrgangsstufe 8 (Mittlere-Reife-Klasse)
begründen die Flächeninhaltsberechnung von Kreisen anschaulich, indem sie die ihnen bekannten Problemlösestrategien zur Flächeninhaltsmessung durchführen (z. B. Auslegen mit Einheitsquadraten, Annäherung durch Außenquadrat und Innenquadrat, Zerlegen von Kreisen in Sektoren, die näherungsweise zu Rechtecken zusammengelegt werden).
lösen alltagsrelevante Sachaufgaben basierend auf der Fähigkeit der Flächeninhaltsberechnung von Kreisen und dazugehörige Umkehraufgaben, indem sie das Radizieren als Umkehrung des Quadrierens anwenden.
berechnen Flächeninhalte von Kreisringen sowie Kreissektoren und lösen Umkehraufgaben, auch in sach- und berufsbezogenen Aufgaben.
ermitteln Flächeninhalte zusammengesetzter Figuren in sach- und berufsbezogenen Aufgaben.
begründen die Oberflächeninhaltsberechnung von Zylindern anschaulich, indem sie Netze oder Schrägbilder nutzen. Sie ermitteln Oberflächeninhalte von Zylindern auch in Sachsituationen.
Lernbereich 5: Rauminhalt – Zylinder
Jahrgangsstufe 8 (Regelklasse)
beschreiben die Volumenberechnung gerader Zylinder und gerader Prismen (Grundfläche: Quadrat, Rechteck, Dreieck), indem sie die Analogie V = G • hₖ nutzen.
berechnen Volumina gerader Zylinder sowie zusammengesetzter Körper und lösen Sachaufgaben, insbesondere berufsorientierende Aufgaben, um realistische Anwendungsbereiche kennenzulernen.
Jahrgangsstufe 8 (Mittlere-Reife-Klasse)
beschreiben die Volumenberechnung gerader Zylinder und gerader Prismen (Grundfläche: Quadrat, Rechteck, Dreieck), indem sie die Analogie V = G • hₖ nutzen.
berechnen Volumina gerader Zylinder sowie zusammengesetzter Körper und lösen Sachaufgaben, insbesondere berufsorientierende Aufgaben, um realistische Anwendungsbereiche kennenzulernen.
berechnen Volumina von Kreisringzylindern und lösen entsprechende Sachaufgaben.
Lernbereich 6: Zufallsexperimente
Jahrgangsstufe 8 (Regelklasse)
führen Zufallsexperimente aus ihrer Lebenswelt (z. B. Würfeln, Münzwurf, Glücksraddrehen, Reißzweckenwurf) durch und halten ihre Ergebnisse in geeigneter Form (z. B. Strichliste, Tabelle, Diagramm) fest. Sie vergleichen die Zufallsexperimente mit Experimenten aus den Naturwissenschaften, um den Begriff Zufallsexperiment mathematisch zu erklären. Dabei verbalisieren sie die Besonderheiten der Laplace-Experimente.
nutzen Ergebnislisten und Diagramme, um Aussagen zu absoluten Häufigkeiten zu treffen (z. B „Wer hat öfter getroffen?“).
ermitteln die relative Häufigkeit rechnerisch und stellen diese in Bruch- und Prozentschreibweise sowie in Diagrammen dar.
beschreiben und begründen das Gesetz der Großen Zahl, d. h. die Veränderung der relativen Häufigkeit bei zunehmender Anzahl an Versuchen (z. B. mithilfe von Computerprogrammen).
treffen begründete Aussagen (z. B. mithilfe der Bruchrechnung oder der Darstellung in Diagrammen) zu Gewinnchancen bei einstufigen Zufallsexperimenten.
vergleichen und bewerten Ergebnisse zu Zufallsexperimenten, die bei unterschiedlichen Bedingungen durchgeführt wurden, um Rückschlüsse auf die Veränderung der Gewinnchancen zu ziehen.
Jahrgangsstufe 8 (Mittlere-Reife-Klasse)
führen Zufallsexperimente aus ihrer Lebenswelt (z. B. Würfeln, Münzwurf, Glücksraddrehen, Reißzweckenwurf) durch und halten ihre Ergebnisse in geeigneter Form (z. B. Strichliste, Tabelle, Diagramm) fest. Sie vergleichen die Zufallsexperimente mit Experimenten aus den Naturwissenschaften, um den Begriff Zufallsexperiment mathematisch zu erklären. Dabei verbalisieren sie die Besonderheiten der Laplace-Experimente.
nutzen Ergebnislisten und Diagramme, um Aussagen zu absoluten Häufigkeiten zu treffen (z. B „Wer hat öfter getroffen?“).
ermitteln die relative Häufigkeit rechnerisch und stellen diese in Bruch- und Prozentschreibweise sowie in Diagrammen dar.
beschreiben und begründen das Gesetz der Großen Zahl, d. h. die Veränderung der relativen Häufigkeit bei zunehmender Anzahl an Versuchen (z. B. mithilfe von Computerprogrammen).
treffen begründete Aussagen (z. B. mithilfe der Bruchrechnung oder der Darstellung in Diagrammen) zu Gewinnchancen bei einstufigen Zufallsexperimenten.
vergleichen und bewerten Ergebnisse zu Zufallsexperimenten, die bei unterschiedlichen Bedingungen durchgeführt wurden, um Rückschlüsse auf die Veränderung der Gewinnchancen zu ziehen.
Lernbereich 8: Funktionale Zusammenhänge
Jahrgangsstufe 8 (Regelklasse)
erkennen und unterscheiden begründet nicht lineare, lineare und proportionale Abhängigkeiten in Sachzusammenhängen, stellen die Abhängigkeiten in Tabellen sowie Koordinatensystemen dar und berechnen fehlende Werte bzw. lesen diese ab.
wechseln zwischen den verschiedenen Darstellungsformen (Sachzusammenhang, Wertetabelle, Graph) von Zuordnungen, indem sie eine adäquate Darstellung auswählen, um eine Lösung für die jeweilige Problemstellung zu finden.
stellen die Graphen derselben Zuordnungen in verschiedenen Maßstäben dar und bewerten diese kritisch, um einen dem jeweiligen Problem angemessenen Maßstab auszuwählen.
Jahrgangsstufe 8 (Mittlere-Reife-Klasse)
erkennen und unterscheiden begründet nicht lineare, lineare und proportionale Abhängigkeiten in Sachzusammenhängen, stellen die Abhängigkeiten in Tabellen sowie Koordinatensystemen dar und berechnen fehlende Werte bzw. lesen diese ab.
wechseln zwischen den verschiedenen Darstellungsformen (Sachzusammenhang, Wertetabelle, Graph) von Zuordnungen, indem sie eine adäquate Darstellung auswählen, um eine Lösung für die jeweilige Problemstellung zu finden.
stellen die Graphen derselben Zuordnungen in verschiedenen Maßstäben dar und bewerten diese kritisch, um einen dem jeweiligen Problem angemessenen Maßstab auszuwählen.
stellen ausgehend von Sachsituationen lineare Funktionen jeweils durch Wertetabelle, Graph und Funktionsgleichung (y = mx + t) dar. Sie beschreiben Zusammenhänge zwischen Funktionsgleichung und Graph.
entnehmen graphischen Darstellungen linearer Funktionen den y-Achsenabschnitt t und mithilfe des Steigungsdreiecks die Steigung m, um die Funktionsgleichung aufzustellen.
Jahrgangsstufe 9 (Regelklasse)
erkennen und unterscheiden begründet nicht lineare, lineare, proportionale und umgekehrt proportionale Abhängigkeiten in Sachzusammenhängen. Sie stellen die Abhängigkeiten in Tabellen sowie Koordinatensystemen dar und wechseln zwischen den verschiedenen Darstellungsformen.
ermitteln rechnerisch und zeichnerisch fehlende Werte in linearen und umgekehrt proportionalen Sachzusammenhängen (z. B. auch mithilfe von Tabellenkalkulationsprogrammen).
Jahrgangsstufe 9 (Mittlere-Reife-Klasse)
erkennen und unterscheiden begründet nicht lineare, lineare, proportionale und umgekehrt proportionale Abhängigkeiten in Sachzusammenhängen. Sie stellen die Abhängigkeiten in Tabellen sowie Koordinatensystemen dar und wechseln zwischen den verschiedenen Darstellungsformen.
ermitteln rechnerisch und zeichnerisch fehlende Werte in linearen und umgekehrt proportionalen Sachzusammenhängen (z. B. auch mithilfe von Tabellenkalkulationsprogrammen).
stellen lineare und umgekehrt proportionale Funktionen durch Funktionsgleichungen (y = mx + t bzw. y = k : x), Graphen, Tabellen und Sachsituationen dar. Sie vergleichen diese miteinander, um jeweils Beziehungen zwischen Funktionsgleichung, Graph und ggf. Steigung eines Funktionsgraphen herzustellen.
zeichnen Graphen linearer Funktionen auf Grundlage der jeweiligen Funktionsgleichung und entscheiden sich für einen geeigneten Maßstab.
bestimmen die Schnittpunkte von Graphen linearer Funktionen durch Zeichnung und Rechnung, vergleichen die unterschiedlichen Lösungsverfahren und interpretieren die Bedeutung der jeweiligen Lösung im Sachzusammenhang.
Lernbereich 1: Prozent- und Zinsrechnung
Jahrgangsstufe 9 (Regelklasse)
ordnen die Begriffe der Zinsrechnung (Kapital, Zinsen, Zinssatz und Zeit) in Kontexten sachgemäß zu. Sie übertragen die Grundaufgaben der Prozentrechnung auf die Zinsrechnung und nutzen so die Verfahren der Prozentrechnung für Berechnungen bei Jahreszinsen. Durch schrittweises Vorgehen ermitteln sie auch Zinseszinsen bei mehrjährigen Geldanlagen.
nutzen den linearen Zusammenhang von Zeit und Zinsen, um Zinsen für Zeiträume innerhalb eines Jahrs (Monats- und Tageszinsen) zu berechnen. In der Umkehrung schließen sie von Monats- und Tageszinsen auf Jahreszinsen (effektiver Jahreszins) und machen so Zinszahlungen und ‑sätze vergleichbar.
stellen unter Verwendung von Grundgrößen der Prozent- und Zinsrechnung (Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz bzw. Kapital, Zinsen, Zinssatz, Zeit) deren funktionalen Zusammenhang sprachlich dar (z. B. „wie ändert sich …, wenn …“, „wenn …, dann …“ oder „je …, desto …“).
stellen zu Schaubildern selbst Fragen mit mathematischem Gehalt, um deren Aussagekraft zu erhöhen. Das zur Berechnung notwendige Zahlenmaterial entnehmen sie den Darstellungen.
wenden die Verfahren sowie Fachbegriffe der Prozent- und Zinsrechnung sachgemäß und automatisiert an.
Jahrgangsstufe 9 (Mittlere-Reife-Klasse)
ordnen die Begriffe der Zinsrechnung (Kapital, Zinsen, Zinssatz und Zeit) in Kontexten sachgemäß zu. Sie übertragen die Grundaufgaben der Prozentrechnung auf die Zinsrechnung und nutzen so die Verfahren der Prozentrechnung für Berechnungen bei Jahreszinsen, dabei rechnen sie mit Faktoren. Sie lösen Aufgaben zur Berechnung von Zinseszinsen iterativ (durch Zerlegung in Einzelschritte) sowie durch Potenzieren und benutzen den Zinsfaktor.
reflektieren über den linearen Zusammenhang von Zeit und Zinsen, um Zinsen, Kapital, Zinssätze und Verzinsungszeiten für Zeiträume innerhalb eines Jahrs (Monats- und Tageszinsen) zu berechnen. In der Umkehrung schließen sie von Monats- und Tageszinsen auf Jahreszinsen (effektiver Jahreszins) und machen so Zinszahlungen und ‑sätze vergleichbar.
stellen unter Verwendung von Grundgrößen der Prozent- und Zinsrechnung (Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz bzw. Kapital, Zinsen, Zinssatz, Zeit) deren funktionalen Zusammenhang sprachlich dar (z. B. „wie ändert sich …, wenn …“, „wenn …, dann …“ oder „je …, desto …“).
stellen zu Schaubildern selbst Fragen mit mathematischem Gehalt, um deren Aussagekraft zu erhöhen. Das zur Berechnung notwendige Zahlenmaterial entnehmen sie den Darstellungen.
wenden die Verfahren sowie Fachbegriffe der Prozent- und Zinsrechnung sachgemäß und automatisiert an.
Lernbereich 2: Potenzen
Jahrgangsstufe 9 (Regelklasse)
stellen Zahlen sowohl in Dezimal- als auch in Zehnerpotenzschreibweise (auch mit negativem Exponenten) dar, vergleichen und ordnen sie.
verwenden Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise zur Lösung von Aufgaben in Sachsituationen (vorwiegend Maßzahlen) unter Anwendung der Grundrechenarten. Wenn nötig, benutzen sie dabei den Taschenrechner fachgerecht.
nutzen Zehnerpotenzen mit positiven und negativen Exponenten sowie die Vorsilben (Nano- bis Peta-) bestimmter Zehnerpotenzen (von 10⁻⁹ bis 10¹⁵) zur Darstellung von konkreten Größen (z. B. Längeneinheiten, Speichervolumina in der Datenverarbeitung).
Jahrgangsstufe 9 (Mittlere-Reife-Klasse)
stellen Zahlen sowohl in Dezimal- als auch in Zehnerpotenzschreibweise (auch mit negativem Exponenten) dar, vergleichen und ordnen sie.
verwenden Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise zur Lösung von Aufgaben in Sachsituationen (vorwiegend Maßzahlen) unter Anwendung der Grundrechenarten. Wenn nötig, benutzen sie dabei den Taschenrechner fachgerecht.
nutzen Zehnerpotenzen mit positiven und negativen Exponenten sowie die Vorsilben (Nano- bis Peta-) bestimmter Zehnerpotenzen (von 10⁻⁹ bis 10¹⁵) zur Darstellung von konkreten Größen (z. B. Längeneinheiten, Speichervolumina in der Datenverarbeitung).
Lernbereich 4: Flächeninhalt – Vielecke
Jahrgangsstufe 9 (Regelklasse)
begründen die Flächeninhaltsberechnung von regelmäßigen Vielecken anschaulich, indem sie die ihnen bekannten Problemlösestrategien zur Flächeninhaltsmessung durchführen (z. B. Zerlegen eines regelmäßigen Vielecks in gleichschenklige Dreiecke).
ermitteln den Flächeninhalt komplexer zusammengesetzter Figuren in sachbezogenen und berufsorientierenden Aufgaben durch Zerlegen und Ergänzen in berechenbare Teilfiguren.
Jahrgangsstufe 9 (Mittlere-Reife-Klasse)
begründen die Flächeninhaltsberechnung von regelmäßigen Vielecken anschaulich, indem sie die ihnen bekannten Problemlösestrategien zur Flächeninhaltsmessung durchführen (z. B. Zerlegen eines regelmäßigen Vielecks in gleichschenklige Dreiecke).
ermitteln den Flächeninhalt komplexer zusammengesetzter Figuren in sachbezogenen und berufsorientierenden Aufgaben durch Zerlegen und Ergänzen in berechenbare Teilfiguren.
begründen die Oberflächeninhaltsberechnung von Kegeln und Pyramiden anschaulich, indem sie Netze oder Schrägbildskizzen nutzen. Sie ermitteln Oberflächeninhalte von Kegeln und Pyramiden auch in Sachsituationen.
Lernbereich 5: Rauminhalt – Prismen, Pyramiden, Kegel
Jahrgangsstufe 9 (Regelklasse)
beschreiben die Volumenberechnung regelmäßiger gerader Prismen (Grundfläche: regelmäßige Vielecke), indem sie die Analogie V = G • hₖ nutzen.
beschreiben den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines spitzen und eines geraden Körpers mit jeweils gleicher Grundfläche und Höhe, um die Formel zur Berechnung des Volumens von Pyramide und Kegel (V = 1/3 • G • hₖ) herzuleiten.
berechnen Volumina gerader Pyramiden (Grundfläche: regelmäßige Vielecke), gerader Kegel und zusammengesetzter Körper. Sie lösen dazu Sachaufgaben und Umkehraufgaben, insbesondere berufsbezogene Aufgaben, um realistische Anwendungsbereiche kennenzulernen.
Jahrgangsstufe 9 (Mittlere-Reife-Klasse)
beschreiben die Volumenberechnung regelmäßiger gerader Prismen (Grundfläche: regelmäßige Vielecke), indem sie die Analogie V = G • hₖ nutzen.
beschreiben den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines spitzen und eines geraden Körpers mit jeweils gleicher Grundfläche und Höhe, um die Formel zur Berechnung des Volumens von Pyramide und Kegel (V = 1/3 • G • hₖ) herzuleiten.
berechnen Volumina gerader Pyramiden (Grundfläche: regelmäßige Vielecke), gerader Kegel und zusammengesetzter Körper. Sie lösen dazu Sachaufgaben und Umkehraufgaben, insbesondere berufsbezogene Aufgaben, um realistische Anwendungsbereiche kennenzulernen.
Lernbereich 6: Wahrscheinlichkeiten
Jahrgangsstufe 9 (Regelklasse)
fassen mögliche Ergebnisse von Laplace-Experimenten in Ergebnismengen zusammen und formulieren mögliche Ereignisse (z. B. Würfeln gerader oder ungerader Zahlen).
bestimmen bei Laplace-Experimenten die Anzahlen günstiger und möglicher Ergebnisse und stellen das Verhältnis der günstigen zu den möglichen Ergebnissen anschaulich (z. B. Baumdiagramme, Strichlisten) und in Bruch- und Prozentschreibweise (Wahrscheinlichkeit) dar.
bestimmen und beschreiben zu Ereignissen Gegenereignisse und berechnen deren Wahrscheinlichkeit.
beurteilen Chancen bei Laplace-Experimenten, indem sie die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis vergleichen.
Jahrgangsstufe 9 (Mittlere-Reife-Klasse)
fassen mögliche Ergebnisse von Laplace-Experimenten in Ergebnismengen zusammen und formulieren mögliche Ereignisse (z. B. Würfeln gerader oder ungerader Zahlen).
bestimmen bei Laplace-Experimenten die Anzahlen günstiger und möglicher Ergebnisse und stellen das Verhältnis der günstigen zu den möglichen Ergebnissen anschaulich (z. B. Baumdiagramme, Tabellen) und in Bruch- und Prozentschreibweise (Wahrscheinlichkeit) dar.
bestimmen und beschreiben zu Ereignissen Gegenereignisse und berechnen deren Wahrscheinlichkeit.
beurteilen Chancen bei anspruchsvolleren Laplace-Experimenten (z. B. gleichzeitiges Werfen mit zwei unterscheidbaren Würfeln, höhere Anzahl an möglichen Ergebnissen), indem sie die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis vergleichen.
Lernbereich 1: Potenzen und Wurzeln
nutzen die Potenzschreibweise als eine andere Darstellung für die Multiplikation mit gleichen Faktoren und stellen Potenzen mit beliebiger Basis dar. Bei der Beschreibung des Potenzierens verwenden sie Fachbegriffe (Potenz, Basis, Exponent).
begründen ausgehend von geeigneten Zahlenbeispielen die Potenzgesetze und nutzen diese für einfache Termumformungen.
stellen Brüche in Potenzschreibweise dar (z. B. b⁷ • c⁻³) und übertragen die Potenzgesetze auf Terme, die auch negative Exponenten enthalten, um diese zu vereinfachen.
erklären das Potenzieren und Radizieren als Umkehrung des jeweils anderen Vorgangs und verwenden den Begriff n-te Wurzel (z. B. 5-te Wurzel, 6-te Wurzel).
wechseln zwischen der Wurzelschreibweise und der Potenzschreibweise mit Stammbrüchen und erläutern die mathematischen Zusammenhänge zwischen den Potenzgesetzen und Wurzelgesetzen mit eigenen Worten sowie geeigneten Fachbegriffen, um in der Sprache der Mathematik zu argumentieren.
verwenden den Logarithmus, um Exponenten von Potenzen zu ermitteln.
Lernbereich 2: Exponentialfunktion
übersetzen Realsituationen mit exponentiellem Wachstum (Zu- und Abnahmeprozesse, z. B. Zinseszins, Bevölkerungsentwicklung, radioaktiver Zerfall) in mathematische Modelle (Tabellen, Graphen, Terme) und geben umgekehrt zu mathematischen Modellen eine passende Realsituation an, um exponentielles Wachstum deutlich von linearem Wachstum abzugrenzen sowie charakterisierende Eigenschaften (z. B. Geschwindigkeit des Wachstums) zu identifizieren.
verwenden die Potenz-, Wurzel- und Logarithmusgesetze beim Umgang mit Wachstumsprozessen, die sie ggf. auch computergestützt darstellen. Dabei ermitteln sie Anfangs- und Endwerte, Wachstumsfaktoren und ‑raten sowie die Dauer des Wachstums und überprüfen die Ergebnisse auf Plausibilität.
Lernbereich 3: Ähnliche Figuren
treffen anhand der jeweils vorliegenden Winkel und Streckenverhältnisse begründete Aussagen über die Ähnlichkeit von Figuren.
verwenden die Begriffe zentrische Streckung, Streckungszentrum und Streckungsfaktor k bei Vergrößerungen und Verkleinerungen geometrischer Figuren fachgerecht, um die Bedeutung einer Maßstabsangabe zu erklären.
berechnen an ähnlichen Figuren und Körpern fehlende Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumina auch in Sachzusammenhängen.
erklären die Strahlensätze basierend auf den Kenntnissen der zentrischen Streckung und wenden sie zur Berechnung unbekannter Strecken auch in Sachzusammenhängen an.
erklären Kathetensatz sowie Höhensatz und geben sie in rechtwinkligen Dreiecken mit verschiedenen Seitenvariablen an. Sie berechnen fehlende Streckenlängen auch in Sachzusammenhängen.
Lernbereich 4: Trigonometrie
beschreiben die Verhältnisse von Seitenlängen an ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken und erläutern jeweils die Beziehung zwischen Winkelgröße und Seitenlängen unter Verwendung von Sinus, Kosinus und Tangens.
berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen unter Nutzung der Winkelfunktionen in rechtwinkligen Dreiecken bei Figuren und Körpern.
lösen Sachaufgaben und berufsorientierende Aufgaben mithilfe der Winkelfunktionen. Dabei erstellen sie ggf. notwendige Skizzen und beschriften diese mit gegebenen Werten und gesuchten Größen.
veranschaulichen Sinus und Kosinus eines Winkels am Einheitskreis und geben deren Wertebereich an. Sie verwenden die Funktion mit der Gleichung y = sin α zur Beschreibung von periodischen Vorgängen (z. B. Schwingung eines Pendels).
Lernbereich 5: Flächeninhalt und Rauminhalt – Kugeln
erklären die Oberflächeninhaltsberechnung sowie die Volumenberechnung bei Kugeln anschaulich. Sie wenden die entsprechenden Formeln sicher an, auch bei Umkehraufgaben.
zerlegen und ergänzen bei komplexeren Sachaufgaben sowie berufsorientierenden Aufgaben (Teil-)Körper und berechnen entsprechende Oberflächeninhalte und Volumina. Dabei erstellen sie ggf. notwendige Skizzen und beschriften diese mit gegebenen Werten und gesuchten Größen.
Lernbereich 6: Beschreibende Statistik und Wahrscheinlichkeiten
erstellen zu mehrstufigen Zufallsexperimenten (mit und ohne Zurücklegen) Baumdiagramme, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten in den verschiedenen Stufen übersichtlich darzustellen.
bestimmen und begründen, ausgehend von Baumdiagrammen, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei mehrstufigen Zufallsexperimenten mithilfe der Pfadregeln (Multiplikations- und Additionsregel).
bestimmen die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten bei kombinatorischen Aufgabenstellungen (Permutationen).
nutzen die Kenntnisse über mehrstufige Zufallsexperimente und kombinatorische Überlegungen, um statistische Aussagen in Texten und Darstellungen zu interpretieren und um Fehldeutungen zu vermeiden.
Lernbereich 7: Funktionale Zusammenhänge
ermitteln durch Rechnung Funktionsgleichungen linearer Funktionen aus verschiedenen Vorgaben (zwei Punkte gegeben, Punkt und Steigung gegeben, Punkt und Steigung der Senkrechten bzw. Parallelen gegeben), um bei der Lösung von inner- und außermathematischen Problemen jeweils die Steigung m, den y-Achsenabschnitt t, mögliche Schnittpunkte sowie fehlende Werte zu bestimmen und die Funktion zu zeichnen.
wandeln Terme zweiten Grades mithilfe der binomischen Formeln um.
bestimmen die Lösungsmengen von reinquadratischen sowie gemischtquadratischen Gleichungen mithilfe verschiedener Verfahren (z. B. quadratische Ergänzung, Lösungsformel, Zeichnung oder Faktorisierung) und bewerten diese Verfahren (z. B. hinsichtlich Einsetzbarkeit, Effizienz). In Sachzusammenhängen überprüfen sie die Plausibilität ihrer Ergebnisse.
geben die Definitions- sowie die Lösungsmengen von Bruchgleichungen (Variable im Zähler und im Nenner) auch in Sachzusammenhängen an.
erkennen und unterscheiden begründet lineare, umgekehrt proportionale und quadratische Abhängigkeiten in Sachsituationen, Tabellen und Graphen.
stellen quadratische Funktionen der Formen y = +/- (x-xₛ)² + yₛ bzw. y = +/- x² + px + q durch Tabellen, Graphen und Funktionsgleichung dar. Darüber hinaus beschreiben und interpretieren sie die Funktionen.
wechseln durch Umformung zwischen Normalform y = +/- x² + px + q und Scheitelpunktform y = +/- (x-xₛ)² + yₛ von quadratischen Funktionen, um die für die Aufgabenstellung geeignete Form zu ermitteln bzw. den Scheitelpunkt (xₛ; yₛ) zu bestimmen.
ermitteln rechnerisch Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen aus zwei jeweils gegebenen Punkten.
bestimmen durch Rechnung und Zeichnung die Achsenschnittpunkte quadratischer Funktionen sowie deren Schnittpunkte mit linearen bzw. quadratischen Funktionen und beschreiben ihre Vorgehensweise.
