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M5 1.1 Natürliche Zahlen im Dezimalsystem
beschreiben die Menge der natürlichen Zahlen als Zahlenmenge ohne größtes Element und erweitern so ihren eingeschränkten Zahlenbereich.
stellen natürliche Zahlen mithilfe von Stufenzahlen dar und erklären damit den Aufbau des Dezimalsystems als Stellenwertsystem.
lesen natürliche Zahlen am Zahlenstrahl ab, verknüpfen sie mit den Beziehungen kleiner als bzw. größer als und tragen zur Visualisierung natürliche Zahlen am Zahlenstrahl unter Verwendung einer geeigneten Skalierung an.
runden natürliche Zahlen und begründen, in welchen Sachzusammenhängen dies sinnvoll ist.
M5 1.2 Andere Zahlensysteme
wandeln Zahlen aus einem anderen Zahlensystem (z. B. Dualsystem, römisches Zahlensystem) ins Dezimalsystem und umgekehrt um und begründen Vor- und Nachteile der verschiedenen Zahlensysteme.
M5 1.3 Grundrechenarten und Rechengesetze
wenden automatisiert die in der Grundschule erlernten schriftlichen Verfahren der Addition, Subtraktion (Abziehverfahren mit Entbündeln), Multiplikation und Division unter Verwendung der Fachbegriffe für die entsprechenden Terme an.
lösen Sachaufgaben, vergleichen und bewerten unterschiedliche Rechenwege und begründen, ob Ergebnisse plausibel sind.
führen Berechnungen, bei denen die vier Grundrechenarten miteinander verbunden sind, sicher durch, beachten dabei die Rechenregeln und wenden die Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen an.
stellen insbesondere große Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise dar, um so eine der jeweiligen Situation angemessene Darstellung zu erhalten.
verwenden die Fachbegriffe von Potenzen, lösen – auch mithilfe ihres automatisierten Wissens über Quadratzahlen bis 400 – Aufgaben zu Potenzen und beschreiben so Phänomene mit exponentiellem Wachstum (z. B. Kettenmails, Zellteilung, Bakterienwachstum).
wenden Teilbarkeitsregeln an und ermitteln damit Teiler und Teilermengen, zerlegen Zahlen in ihre Primfaktoren und bestimmen bei einfachen Zahlenbeispielen den größten gemeinsamen Teiler (ggT) sowie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV).
M5 1.4 Kombinatorik
bestimmen die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten bei kombinatorischen Aufgabenstellungen (z. B. mögliche Kleidungskombinationen) durch systematisches Vorgehen (auch durch Anwenden des Zählprinzips) und stellen ihre Ergebnisse strukturiert dar (z. B. Baumdiagramm, Zeichnung, Tabelle).
M5 1.4 Kombinatorik
erläutern anhand geeigneter Beispiele die Notwendigkeit der Erweiterung des Zahlenbereichs auf die Menge der ganzen Zahlen und beschreiben Situationen, in denen negative Zahlen von Bedeutung sind.
verwenden zutreffend die Begriffe positive ganze Zahl, negative ganze Zahl, Gegenzahl, Vorzeichen und Betrag .
lesen ganze Zahlen an der Zahlengeraden ab, verknüpfen sie mit den Beziehungen kleiner als bzw. größer als und tragen zur Visualisierung ganze Zahlen an der Zahlengeraden unter Verwendung einer geeigneten Skalierung an.
addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren ganze Zahlen sowohl schriftlich als auch im Kopf. Dabei wenden sie die Vorzeichenregeln an und setzen die Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen ein.
führen Berechnungen, bei denen die vier Grundrechenarten miteinander verbunden sind, sicher durch, beachten dabei die Rechenregeln und lösen einfache alltagsbezogene Aufgaben.
M5 Lernbereich 3: Geometrische Grundvorstellungen und Grundbegriffe (ca. 30 Std.)
nutzen geometrische Begriffe (Punkt, Strecke, Gerade, Halbgerade (Strahl), Kreislinie, Kreisfläche, Kreissektor), deren Eigenschaften (Länge einer Strecke, Entfernung, Abstand, Radius und Durchmesser des Kreises) und Schreibweisen zum Zeichnen und Beschreiben der Lagebeziehungen von Punkt zu Gerade und Gerade zu Gerade (sich schneidend, parallel, senkrecht).
erzeugen (z. B. durch Zeichnen, Einsatz dynamischer Geometriesoftware, Falten, Spannen am Geobrett etc.) und beschreiben ebene Figuren (insbesondere Dreiecke und Vierecke) auf Grundlage ihrer charakteristischen Eigenschaften.
verwenden das Koordinatensystem zur Orientierung in der Ebene und stellen geometrische Figuren darin dar.
messen, zeichnen und beschreiben Winkel von 0° bis 360° mit Fachbegriffen und nutzen die Winkelbeziehungen an sich schneidenden Geraden zum Bestimmen von Winkelmaßen (Scheitel- und Nebenwinkel).
identifizieren und beschreiben Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel sowie Kugel anhand der Anzahl der Ecken, Kanten sowie der Lage und Form ihrer Begrenzungsflächen.
zeichnen Netze und Schrägbilder von Würfeln und Quadern und wenden Kopfgeometrie zur Lösung geometrischer Aufgaben in der Ebene und im Raum an.
M5 Lernbereich 4: Größen (ca. 20 Std.)
unterscheiden bei Größen die Begriffe Maßzahl und Maßeinheit , verwenden je nach Alltagssituation passende Maßeinheiten und nutzen Größenvorstellungen zum Schätzen von Größen.
rechnen die Einheiten der Größen Geld, Masse, Länge, Zeit und Hohlmaß in größere und kleinere Einheiten situationsgerecht um und lösen damit Aufgaben aus dem Lebensalltag.
nutzen verschiedene Schreibweisen, wie die Kommaschreibweise und Alltagsbrüche, um Größenangaben darzustellen.
ermitteln bei Vergrößerungen und Verkleinerungen den zugrunde liegenden Maßstab, berechnen Längen mithilfe des Maßstabs und führen umgekehrt Zeichnungen maßstabsgetreu aus.
wenden den Dreisatz bei sachbezogenen Aufgaben zur Berechnung fehlender Größen an.
entnehmen relevante Größenangaben aus verschiedenen Quellen (z. B. aus Texten, Bildern und Tabellen) zur Lösung von Sachaufgaben aus dem Alltag unter der Verwendung geeigneter Lösungsstrategien (z. B. Dreisatz) und durch mathematisches Modellieren.
M5 Lernbereich 5: Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren (ca. 15 Std.)
berechnen den Umfang von Rechtecken und Quadraten aus ihren Seitenlängen (und umgekehrt) unter Zuhilfenahme der Formeln.
berechnen den Umfang geeigneter Vielecke und lösen damit alltagsbezogene Sachaufgaben (z. B. zur Umzäunung eines Grundstücks).
vergleichen die Flächeninhalte von Figuren mit ungenormten und genormten Einheiten, indem sie sie in geeignete Teilfiguren zerlegen.
geben Flächeninhalte in passenden Maßeinheiten an, rechnen mithilfe der Umrechnungszahlen in größere und kleinere Einheiten sinnvoll um und lösen Alltagsaufgaben mit Flächeninhalten unter Beachtung der Einheiten.
messen und berechnen den Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten aus ihren Seitenlängen und umgekehrt unter Zuhilfenahme der Formeln.
berechnen den Flächeninhalt geeigneter Vielecke z. B. durch Zerlegung in geeignete Teilfiguren und lösen damit alltagsbezogene Sachaufgaben (z. B. zur Größe einer Wohnung).
M5 Lernbereich 6: Auswertung von Daten (ca. 5 Std.)
entnehmen Informationen aus verschiedenen gängigen Darstellungsformen (z. B. Strichlisten, Diagrammen, Tabellen, Vierfeldertafeln, Texten) und übertragen Daten in geeignete andere Darstellungsformen.
formulieren zu Tabellen und Diagrammen mathematisch sinnvolle Fragestellungen und begründen ihre Antworten.
analysieren Daten kritisch, um Fehler bzw. Verzerrungen in Diagrammen zu erkennen und zu korrigieren.
M6 Lernbereich 1: Rationale Zahlen (ca. 68 Std.)
beschreiben Situationen, in denen Brüche von Bedeutung sind und erläutern damit die Notwendigkeit der Erweiterung des Zahlenbereichs auf die Menge der rationalen Zahlen.
interpretieren einen Bruch je nach Situation mithilfe verschiedener Grundvorstellungen und verwenden dabei die Fachbegriffe (Zähler, Nenner, gemischter Bruch, echter/unechter Bruch).
berechnen Bruchteile von Größen und bestimmen das Ganze.
erzeugen durch Erweitern und Kürzen wertgleiche Brüche.
stellen Brüche in dezimaler Schreibweise dar, benennen die Stellenwerte nach dem Komma und runden sie der Situation angemessen. Dabei unterscheiden sie zwischen endlichen und nicht endlichen periodischen Dezimalzahlen.
wechseln situationsgerecht zwischen den Darstellungsformen für positive rationale Zahlen: Bruch, Dezimalzahl, Prozent sowie grafischer Darstellung (z. B. als Kreissektor oder Rechtecksanteil).
vergleichen die Größe von rationalen Zahlen sowohl in Bruch- als auch in Dezimalzahldarstellung.
lesen rationale Zahlen an der Zahlengeraden ab und tragen zur Visualisierung rationale Zahlen an der Zahlengeraden unter Verwendung einer geeigneten Skalierung an.
rechnen mit rationalen Zahlen (sowohl in Bruch- als auch in Dezimalzahldarstellung) in den vier Grundrechenarten auch im Kopf und wenden hierbei die Vorzeichen-, Rechenregeln und zum vorteilhaften Rechnen die Rechengesetze an.
rechnen mit Größen und lösen Sachaufgaben.
M6 Lernbereich 2: Achsenspiegelung und Symmetrie (ca. 13 Std.)
identifizieren die Achsenspiegelung als Kongruenzabbildung und beschreiben ihre Eigenschaften (Längen-, Geraden-, Winkel-, Parallelen- und Kreistreue, Umkehrbarkeit, Umlaufsinn, Lage von Ur- und Bildgeraden, Fixelemente).
bilden mithilfe der Abbildungsvorschrift der Achsenspiegelung Punkte und ebene Figuren ab, um geometrische Problemstellungen auch mit Unterstützung geeigneter Geometriesoftware zu lösen.
wenden historische mathematische Arbeitsweisen an, indem sie Fundamentalkonstruktionen (Senkrechte, Mittelsenkrechte, Lot, Winkelhalbierende) mit Zirkel und Lineal durchführen.
identifizieren achsensymmetrische Figuren und bestimmen deren Symmetrieachsen.
identifizieren besondere Dreiecke (gleichschenklig und gleichseitig) und Vierecke (Drachenviereck, Raute, gleichschenkliges Trapez, Rechteck, Quadrat) als achsensymmetrische Figuren.
M6 Lernbereich 3: Flächeninhalt ebener Figuren (ca. 18 Std.)
vergleichen die Flächeninhalte von Figuren durch Zerlegung in paarweise kongruente Teilflächen, um damit den Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Drachenviereck und Raute auf bekannte Flächeninhalte zurückzuführen.
berechnen den Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Drachenviereck und Raute auch mithilfe der Formeln und bestimmen bei Dreieck, Parallelogramm und Trapez jeweils geeignete Höhen.
berechnen den Flächeninhalt von Vielecken, indem sie diese in geeignete Teilfiguren zerlegen, und lösen dazu auch Sachaufgaben.
berechnen den Oberflächeninhalt von Quadern und Würfeln.
M6 Lernbereich 4: Raumgeometrie (ca. 14 Std.)
ermitteln Rauminhalte von Körpern mit ungenormten und genormten Einheiten und geben Rauminhalte in den passenden Maßeinheiten an. Ferner rechnen sie genormte Raumeinheiten in kleinere und größere Einheiten um und verknüpfen sie mit den bereits bekannten Hohlmaßen.
berechnen das Volumen von Quadern, Würfeln und Körpern, die sich in Quader und Würfel zerlegen lassen, zur Lösung von Sachaufgaben unter Verwendung geeigneter Lösungsstrategien und durch mathematisches Modellieren.
M6 Lernbereich 5: Terme und Gleichungen (ca. 15 Std.)
verwenden Terme mit Variablen, um Sachzusammenhänge zu strukturieren und zu abstrahieren.
nutzen verschiedene Darstellungsformen (numerische und grafische Wertetabellen, Skizzen, Texte) zum Beschreiben, Aufstellen und Interpretieren von Termen.
berechnen Termwerte durch Belegung der Variablen unter Berücksichtigung der Grundmenge.
zeigen die Äquivalenz von Termen durch geeignete Termwertberechnungen und einfache Umformungen mithilfe der Rechengesetze.
verbalisieren Gleichungen, stellen Gleichungen auf und lösen diese durch Anwendung geeigneter Lösungsstrategien (z. B. Probieren, Rückwärtsrechnen, Skizzieren, Zerlegen von Texten).
bestimmen die Lösungsmengen von Gleichungen der Form a ⋅ x = c und x + b = c durch Äquivalenzumformungen unter Berücksichtigung verschiedener Grundmengen.
lösen Sachaufgaben mithilfe von Gleichungen und bewerten dabei gewonnene Ergebnisse.
M6 Lernbereich 6: Direkte Proportionalität (ca. 12 Std.)
beschreiben Zuordnungen in der Mathematik und im Alltag (z. B. Füllgraphen) auch mithilfe verschiedener Darstellungsformen (grafisch und tabellarisch).
erkennen direkt proportionale Zuordnungen aus grafischen und tabellarischen Darstellungen sowie in mathematischen Aussagen und Sachsituationen, begründen die direkte Proportionalität und verwenden dabei die Begriffe verhältnis- bzw. quotientengleich, direkt proportional, Proportionalitätsfaktor und Ursprungshalbgerade .
stellen die direkte Proportionalität grafisch, tabellarisch und sprachlich dar und nutzen den Dreisatz und Verhältnisgleichungen zur Berechnung fehlender Größen auch in Sachverhalten.
identifizieren den Prozentsatz, Grundwert und Prozentwert in Sachverhalten und nutzen den Dreisatz und Verhältnisgleichungen bei der rechnerischen Ermittlung von Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz.
M7 Lernbereich 1: Potenzen (ca. 10 Std.)
Jahrgangsstufe 7 (Wahlpflichtfächergruppe I)
berechnen, aufbauend auf ihrem Wissen über Potenzen, Potenzwerte mit negativen ganzzahligen Exponenten.
wenden insbesondere bei Termen mit Variablen die Potenzgesetze (Potenzen mit gleicher Basis bzw. gleichen Exponenten multiplizieren und dividieren, Potenzen potenzieren) zum vorteilhaften Rechnen an.
nutzen Zehnerpotenzen mit positiven und negativen Exponenten sowie die Vorsilben bestimmter Zehnerpotenzen (von 10 -18 bis 10 18 ) zur Darstellung von Größen aus dem Alltag.
Jahrgangsstufe 7 (Wahlpflichtfächergruppe II/III)
berechnen, aufbauend auf ihrem Wissen über Potenzen, Potenzwerte mit negativen ganzzahligen Exponenten.
wenden insbesondere bei Termen mit Variablen die Potenzgesetze (Potenzen mit gleicher Basis bzw. gleichen Exponenten multiplizieren und dividieren, Potenzen potenzieren) zum vorteilhaften Rechnen an.
nutzen Zehnerpotenzen mit positiven und negativen Exponenten sowie die Vorsilben bestimmter Zehnerpotenzen (von 10 -18 bis 10 18 ) zur Darstellung von Größen aus dem Alltag.
M7 Lernbereich 2: Parallelverschiebung (ca. 23 Std.)
identifizieren die Parallelverschiebung als eine Kongruenzabbildung und beschreiben ihre Eigenschaften.
bilden mithilfe der Abbildungsvorschrift der Parallelverschiebung Punkte und ebene Figuren ab und nutzen dazu auch geeignete Geometriesoftware.
geben zu Vektoren die zugehörigen Gegenvektoren an und führen die Umkehrabbildung der Parallelverschiebung durch.
berechnen die Koordinaten von Vektoren und Punkten (u. a. Eckpunkte von Parallelogrammen, Mittelpunkt einer Strecke) auch mithilfe der Vektoraddition.
berechnen den Flächeninhalt von Dreiecken, Parallelogrammen und weiteren Vielecken mithilfe zweireihiger Determinanten.
begründen Winkelmaße an parallelen Geraden mithilfe von Stufen-, Wechsel- und Ergänzungswinkel und umgekehrt die Parallelität von Geraden.
nutzen die Summe der Innenwinkelmaße im Dreieck, um den Außenwinkelsatz des Dreiecks sowie die Innenwinkelsumme im Viereck und weiteren Vielecken zu begründen. Damit berechnen sie die Winkelmaße in ebenen Figuren.
M7 Lernbereich 3: Dreiecke (ca. 14 Std.)
begründen mithilfe der Beziehungen zwischen den Seitenlängen sowie zwischen Seitenlängen und Winkelmaßen die Existenz von Dreiecken.
beschreiben Dreieckskonstruktionen und führen diese mit Zirkel und Geodreieck und auch mithilfe dynamischer Geometriesoftware durch.
verwenden die Kongruenzsätze, um Dreiecke auf Kongruenz zu überprüfen, und führen damit auch Kongruenzbeweise durch.
verwenden ihr Wissen über Kongruenz, um geometrische Sachverhalte zu begründen.
M7 Lernbereich 4: Raumgeometrie (ca. 10 Std.)
beschreiben für Geraden und Ebenen die möglichen Lagebeziehungen im Raum, u. a. um Winkel zwischen Gerade und Ebene und zwischen zwei Ebenen zu identifizieren.
zeichnen Schrägbilder von Prismen und Pyramiden und beachten dabei das Maß des Verzerrungswinkels, den Verzerrungsmaßstab und die Lage der Schrägbildachse.
ermitteln Streckenlängen und Winkelmaße zu Schrägbildern in wahrer Größe.
M7 Lernbereich 5: Geometrische Ortslinien und Ortsbereiche (ca. 12 Std.)
zeichnen geometrische Ortslinien (Kreislinie, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Parallelenpaar, Thaleskreis) und die zur Kreislinie, zur Mittelsenkrechten und zum Parallelenpaar gehörigen geometrischen Ortsbereiche und verbalisieren die besonderen Eigenschaften der jeweiligen Punkte.
unterscheiden die möglichen Lagebeziehungen von Kreis und Gerade auch anhand geeigneter Zeichnungen, stellen die besonderen Eigenschaften der Tangente an einen Kreis heraus und konstruieren die Tangenten an einen Kreis durch einen Punkt außerhalb des Kreises.
lösen geometrische Probleme auch zu realen Situationen, setzen dabei Formulierungen wie höchstens, mindestens, mehr als, weniger als in entsprechende Zeichnungen um und formulieren umgekehrt auch zu vorgegebenen bildlichen Darstellungen die entsprechenden Eigenschaften der jeweiligen Punkte.
lösen geometrische Probleme auch bei Verknüpfungen von Ortslinien bzw. Ortsbereichen zeichnerisch und formulieren umgekehrt zu vorgegebenen Zeichnungen die Eigenschaften der jeweiligen Punkte.
nutzen Umkreis, Inkreis und Schwerpunkt des Dreiecks zur Lösung geometrischer Probleme.
M7 Lernbereich 6: Terme, Gleichungen und Ungleichungen (ca. 22 Std.)
fassen Terme (z. B. x + 2x; 2 ⋅ x ⋅ x 2 ; 5x 2 : 2x) zur Vereinfachung und Überprüfung ihrer Äquivalenz zusammen und wenden dabei auch die Potenzgesetze an.
kombinieren die Äquivalenzumformungen aus der Jahrgangsstufe 6 zur Lösung von Gleichungen der Form ax + b = c sowie von Gleichungen, bei denen Rechts- und Linksterm zuerst zusammengefasst werden müssen.
lösen Ungleichungen der Form ax + b ⋚ c und stellen die Lösungsmenge in Intervall- und Mengenschreibweise dar.
bearbeiten Sachaufgaben durch Aufstellen von Gleichungen und Ungleichungen und verwenden dabei auch Begriffe wie höchstens, mindestens, weniger als, mehr als .
M7 Lernbereich 7: Proportionalitäten (ca. 12 Std.)
wenden das um den verminderten und vermehrten Grundwert erweiterte Wissen über die Prozentrechnung auch in Alltagssituationen (z. B. Berechnung von Preisen ohne MwSt., Preissteigerung bzw. -reduzierung) an.
übertragen ihre Kenntnisse und Fertigkeiten aus der Prozentrechnung auf die Zinsrechnung und nutzen dabei die Begriffe Kapital, Zinssatz und Zinsen .
erkennen indirekt proportionale Zuordnungen aus grafischen und tabellarischen Darstellungen sowie in mathematischen Aussagen und Sachsituationen, begründen die indirekte Proportionalität und verwenden dabei die Begriffe produktgleich, indirekt proportional und Hyperbelast .
stellen indirekt proportionale Zuordnungen grafisch, tabellarisch und sprachlich dar und nutzen die Produktgleichheit sowie den Dreisatz zur Berechnung fehlender Größen auch in Sachverhalten.
unterscheiden direkt, indirekt und nicht proportionale Zuordnungen in Sachverhalten und berechnen ggf. fehlende Größen.
M7 Lernbereich 8: Auswertung von Daten (ca. 9 Std.)
ermitteln bei Daten die statistischen Kenngrößen arithmetisches Mittel, Zentralwert, Modalwert und Spannweite .
interpretieren Daten mithilfe von Kenngrößen und beschreiben dabei die Aussagekraft der verschiedenen Kenngrößen.
beurteilen, ob bei einer Umfrage eine Stichprobe sinnvoll ist und unter welchen Umständen diese repräsentativ ist.
interpretieren Diagramme aus dem Alltag (z. B. Werbung), in denen die Daten verfälscht bzw. manipulativ dargestellt werden, und finden eine angemessenere Darstellung.
M7 Lernbereich 2: Parallelverschiebung (ca. 21 Std.)
identifizieren die Parallelverschiebung als eine Kongruenzabbildung und beschreiben ihre Eigenschaften.
bilden mithilfe der Abbildungsvorschrift der Parallelverschiebung Punkte und ebene Figuren ab und nutzen dazu auch geeignete Geometriesoftware.
geben zu Vektoren die zugehörigen Gegenvektoren an und führen die Umkehrabbildung der Parallelverschiebung durch.
berechnen die Koordinaten von Vektoren und Punkten (u. a. Eckpunkte von Parallelogrammen, Mittelpunkt einer Strecke).
berechnen den Flächeninhalt von Dreiecken und Vierecken mithilfe zweireihiger Determinanten.
begründen Winkelmaße an parallelen Geraden mithilfe von Stufen-, Wechsel- und Ergänzungswinkel und umgekehrt die Parallelität von Geraden.
berechnen die Winkelmaße in ebenen Figuren auch mithilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck bzw. Viereck sowie des Außenwinkelsatzes des Dreiecks.
M7 Lernbereich 3: Geometrische Ortslinien und Ortsbereiche (ca. 10 Std.)
zeichnen geometrische Ortslinien (Kreislinie, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Parallelenpaar, Thaleskreis) und die zur Kreislinie, zur Mittelsenkrechten und zum Parallelenpaar gehörigen geometrischen Ortsbereiche und verbalisieren die besonderen Eigenschaften der jeweiligen Punkte.
unterscheiden die möglichen Lagebeziehungen von Kreis und Gerade auch anhand geeigneter Zeichnungen und stellen die besonderen Eigenschaften der Tangente an einen Kreis heraus.
lösen geometrische Probleme auch zu realen Situationen, setzen dabei Formulierungen wie höchstens, mindestens, mehr als, weniger als, und zugleich in entsprechende Zeichnungen um und formulieren umgekehrt auch zu vorgegebenen bildlichen Darstellungen die entsprechenden Eigenschaften der jeweiligen Punkte.
nutzen die Eigenschaften von In- und Umkreis des Dreiecks zur Bearbeitung einfacher geometrischer Sachverhalte.
M7 Lernbereich 4: Terme, Gleichungen und Ungleichungen (ca. 22 Std.)
fassen Terme (z. B. x + 2x; 2 ⋅ x ⋅ x 2 ; 5x 2 : 2x) zur Vereinfachung und Überprüfung ihrer Äquivalenz zusammen und wenden dabei auch die Potenzgesetze an.
kombinieren die Äquivalenzumformungen aus der Jahrgangsstufe 6 zur Lösung von Gleichungen der Form ax + b = c sowie von Gleichungen, bei denen Rechts- und Linksterm zuerst zusammengefasst werden müssen.
lösen Ungleichungen der Form ax + b ⋚ c und stellen die Lösungsmenge in Intervall- und Mengenschreibweise dar.
bearbeiten Sachaufgaben durch Aufstellen von Gleichungen und Ungleichungen und verwenden dabei auch Begriffe wie höchstens, mindestens, weniger als, mehr als .
M7 Lernbereich 5: Proportionalitäten (ca. 12 Std.)
wenden das um den verminderten und vermehrten Grundwert erweiterte Wissen über die Prozentrechnung auch in Alltagssituationen (z. B. Berechnung von Preisen ohne MwSt., Preissteigerung bzw. reduzierung) an.
übertragen ihre Kenntnisse und Fertigkeiten aus der Prozentrechnung auf die Zinsrechnung und nutzen dabei die Begriffe Kapital, Zinssatz und Zinsen sachgerecht.
erkennen indirekt proportionale Zuordnungen aus grafischen und tabellarischen Darstellungen sowie in mathematischen Aussagen und Sachsituationen, begründen die indirekte Proportionalität und verwenden dabei die Begriffe produktgleich, indirekt proportional und Hyperbelast .
stellen indirekt proportionale Zuordnungen grafisch, tabellarisch und sprachlich dar und nutzen die Produktgleichheit sowie den Dreisatz zur Berechnung fehlender Größen auch in Sachverhalten.
unterscheiden direkt, indirekt und nicht proportionale Zuordnungen in Sachverhalten und berechnen ggf. fehlende Größen.
M7 Lernbereich 6: Auswertung von Daten (ca. 9 Std.)
ermitteln bei Daten die statistischen Kenngrößen arithmetisches Mittel, Zentralwert, Modalwert und Spannweite .
interpretieren Daten mithilfe von Kenngrößen und beschreiben dabei die Aussagekraft der verschiedenen Kenngrößen.
beurteilen, ob bei einer Umfrage eine Stichprobe sinnvoll ist und unter welchen Umständen diese repräsentativ ist.
interpretieren Diagramme aus dem Alltag (z. B. Werbung), in denen die Daten verfälscht bzw. manipulativ dargestellt werden, und finden eine angemessenere Darstellung.
M8 Lernbereich 1: Vierecke (ca. 12 Std.)
unterscheiden Trapez, Drachenviereck, Parallelogramm, Raute, Rechteck und Quadrat anhand ihrer charakteristischen Eigenschaften.
konstruieren Vierecke auch mithilfe dynamischer Geometriesoftware und nutzen die charakteristischen Eigenschaften von Trapez, Drachenviereck, Parallelogramm, Raute, Rechteck und Quadrat zur Lösung geometrischer Problemstellungen.
M8 Lernbereich 2: Drehung (ca. 6 Std.)
identifizieren die Drehung als Kongruenzabbildung und beschreiben ihre Eigenschaften.
identifizieren die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung.
bilden mithilfe der Abbildungsvorschrift der Drehung Punkte und ebene Figuren ab und lösen geometrische Problemstellungen auch mit Unterstützung geeigneter Geometriesoftware.
untersuchen dreh- und punktsymmetrische Figuren (auch z. B. aus Alltag, Natur und Kunst) und bestimmen deren Drehzentrum und Drehwinkel.
drehen Vektoren um φ = ± 90° und φ = 180°, geben ihre Koordinaten an und berechnen damit Punktkoordinaten.
M8 Lernbereich 3: Raumgeometrie (ca. 13 Std.)
identifizieren und beschreiben symmetrische Körper (z. B. in Natur, Kunst, bei Alltagsgegenständen) und bestimmen deren Symmetrieebenen, -achsen bzw. -zentren.
zeichnen bzw. skizzieren Axialschnitte von Rotationskörpern und beschreiben die Form von Rotationskörpern aus gegebenen Axialschnitten und umgekehrt.
verwenden das dreidimensionale Koordinatensystem als Orientierungsmöglichkeit im Raum (z. B. Koordinatisierung von Gegenständen) und zeichnen geometrische Elemente (z. B. Punkte, Strecken, Vielecke, einfache Körper) darin ein.
M8 Lernbereich 4: Terme, Gleichungen und Ungleichungen (ca. 40 Std.)
vereinfachen komplexere Terme (auch mit verschiedenen Variablen und mit höheren Potenzen) und addieren, subtrahieren, multiplizieren und faktorisieren Summenterme auch mithilfe der binomischen Formeln.
ermitteln rechnerisch die Extremwerte quadratischer Terme der Form ax 2 + bx + c und lösen Aufgaben mit Extremwertproblemen (z. B. Flächenberechnung).
lösen lineare Gleichungen und Ungleichungen, deren Links- und Rechtsterm aus Termen mit Variablen (auch Produkte von Summentermen und binomischen Formeln) bestehen, und wenden dies bei Text- und Sachaufgaben an.
M8 Lernbereich 5: Bruchterme und Bruchgleichungen (ca. 7 Std.)
erkennen Terme mit Variablen im Nenner als Bruchterme und erläutern die Notwendigkeit der Definitionsmenge.
Bestimmen die Definitionsmenge von Bruchtermen und lösen einfache Bruchgleichungen (Verhältnisgleichungen) der Form .
M8 Lernbereich 6: Funktionen (ca. 26 Std.)
beschreiben funktionale Zusammenhänge und unterscheiden sie von nicht eindeutigen Zuordnungen.
stellen Funktionen durch Funktionsgleichungen und -terme, Graphen und Wertetabellen sowie durch verbale Beschreibung dar, wechseln zwischen diesen Darstellungsformen, berechnen Funktionswerte sowie Nullstellen und verwenden dabei die Definitions- und Wertemengen.
identifizieren Funktionsgleichungen der Form y = mx + t als Gleichungen von Geraden und beschreiben die Bedeutung der Parameter m und t.
zeichnen Graphen von linearen Funktionen auch mithilfe von Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt t, bestimmen Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Graphen und wissen um die Sonderfälle achsenparalleler Geraden.
bestimmen Funktionsgleichungen aus zwei vorgegebenen Bestimmungsstücken und nutzen den Zusammenhang der Steigungsfaktoren bei orthogonalen bzw. parallelen Geraden und untersuchen Parallelenscharen.
verwenden lineare Funktionen auch bei praxisorientierten Aufgaben und berechnen Flächeninhalte von ebenen Figuren im Koordinatensystem mit funktionalen Abhängigkeiten auch unter Zuhilfenahme zweireihiger Determinanten.
M8 Lernbereich 7: Daten und Zufall (ca. 8 Std.)
stellen die möglichen Ergebnisse von Zufallsexperimenten (z. B. mit Baumdiagrammen, Vierfeldertafeln) dar und verwenden dabei sachgerecht die Begriffe Ergebnis und Ereignis .
ermitteln absolute und relative Häufigkeiten von Ereignissen bei Zufallsexperimenten (z. B. zum Einschätzen von Gewinnchancen).
M8 Lernbereich 1: Dreiecke und Vierecke (ca. 16 Std.)
begründen mithilfe der Beziehungen zwischen den Seitenlängen sowie zwischen Seitenlängen und Winkelmaßen die Existenz von Dreiecken.
beschreiben Dreieckskonstruktionen und führen diese mit Zirkel und Geodreieck und auch mithilfe dynamischer Geometriesoftware durch.
verwenden die Kongruenzsätze, um Dreiecke auf Kongruenz zu überprüfen.
unterscheiden Trapez, Drachenviereck, Parallelogramm, Raute, Rechteck und Quadrat anhand ihrer charakteristischen Eigenschaften.
konstruieren Vierecke und nutzen die charakteristischen Eigenschaften von Trapez, Drachenviereck, Parallelogramm, Raute, Rechteck und Quadrat zur Lösung geometrischer Aufgaben.
M8 Lernbereich 2: Raumgeometrie (ca. 7 Std.)
zeichnen Schrägbilder von Prismen und Pyramiden und beachten dabei das Maß des Verzerrungswinkels, den Verzerrungsmaßstab und die Lage der Schrägbildachse.
zeichnen ebene Figuren, die sie aus Schrägbildern entnehmen, in wahrer Größe und ermitteln damit Streckenlängen und Winkelmaße.
M8 Lernbereich 3: Terme und Gleichungen (ca. 40 Std.)
vereinfachen komplexere Terme (auch mit verschiedenen Variablen und mit höheren Potenzen) und addieren, subtrahieren, multiplizieren und faktorisieren Summenterme auch mithilfe der binomischen Formeln.
ermitteln rechnerisch die Extremwerte quadratischer Terme der Form ax 2 + bx + c und lösen Aufgaben mit Extremwertproblemen (z. B. Flächenberechnung).
lösen lineare Gleichungen, deren Links- und Rechtsterm aus Termen mit Variablen (auch Produkte von Summentermen und binomischen Formeln) bestehen, und wenden dies bei Text- und Sachaufgaben an.
M8 Lernbereich 4: Bruchterme und Bruchgleichungen (ca. 5 Std.)
erkennen Terme mit Variablen im Nenner als Bruchterme und erläutern die Notwendigkeit der Definitionsmenge.
Bestimmen die Definitionsmenge von Bruchtermen und lösen einfache Bruchgleichungen (Verhältnisgleichungen) der Form .
M8 Lernbereich 5: Funktionen (ca. 8 Std.)
erfassen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und unterscheiden sie von nicht eindeutigen Zuordnungen.
stellen Funktionen durch Funktionsgleichungen und -terme, Graphen und Wertetabellen sowie durch verbale Beschreibung dar, wechseln zwischen diesen Darstellungsformen, berechnen Funktionswerte sowie Nullstellen und verwenden dabei die Definitions- und Wertemengen.
identifizieren Funktionsgleichungen der Form y = mx als Gleichungen von Ursprungsgeraden und beschreiben die Bedeutung des Parameters m.
zeichnen Graphen von linearen Funktionen auch mithilfe von Steigungsdreiecken und bestimmen Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Graphen.
bestimmen die Steigung orthogonaler Geraden, indem sie den Zusammenhang m 1 ⋅ m 2 = −1 anwenden.
M8 Lernbereich 6: Daten und Zufall (ca. 8 Std.)
stellen die möglichen Ergebnisse von Zufallsexperimenten (z. B. mit Baumdiagrammen, Vierfeldertafeln) dar und verwenden dabei sachgerecht die Begriffe Ergebnis und Ereignis .
ermitteln absolute und relative Häufigkeiten von Ereignissen bei Zufallsexperimenten (z. B. zum Einschätzen von Gewinnchancen).
M9 Lernbereich 1: Reelle Zahlen (ca. 10 Std.)
erläutern die Definition der Quadratwurzel anhand von Beispielen, wissen, dass zum Beispiel keine rationale Zahl ist und begründen damit die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf die Menge der reellen Zahlen.
schätzen den Wert von Quadratwurzeln ab und lösen quadratische Gleichungen der Form x 2 = a.
formen einfache Wurzelterme um, radizieren teilweise und machen den Nenner bei Termen der Form rational.
M9 Lernbereich 2: Zentrische Streckung (ca. 17 Std.)
identifizieren die zentrische Streckung als Ähnlichkeitsabbildung und beschreiben ihre Eigenschaften.
bilden mithilfe der Abbildungsvorschrift der zentrischen Streckung Punkte und ebene Figuren ab und lösen geometrische Problemstellungen auch mit Unterstützung geeigneter Geometriesoftware.
analysieren den Einfluss des Streckungsfaktors auf die Eigenschaften (Lage, Länge, Flächeninhalt) der Bildfigur, erkennen dabei verhältnistreue Vergrößerungen bzw. Verkleinerungen und beschreiben Sonderfälle der zentrischen Streckung.
nutzen die Strahlensätze zum Nachweis der Parallelität von Strecken und zur Berechnung von Streckenlängen insbesondere in anwendungsbezogenen Aufgaben.
multiplizieren eine Zahl mit einem Vektor und berechnen damit die Koordinaten von Urpunkten, Bildpunkten sowie den Wert des Streckungsfaktors.
nutzen das Parameterverfahren, um die Gleichungen zentrisch gestreckter Geraden und Parabeln zu ermitteln.
teilen Strecken in einem vorgegebenem Verhältnis (z. B. Goldener Schnitt) und ermitteln die Koordinaten des Schwerpunkts eines Dreiecks zeichnerisch und rechnerisch.
erläutern den Begriff der Ähnlichkeit anschaulich und überprüfen, ob zwei Figuren, insbesondere Dreiecke, zueinander ähnlich sind.
M9 Lernbereich 3: Rechtwinklige Dreiecke (ca. 20 Std.)
Jahrgangsstufe 9 (Wahlpflichtfächergruppe I)
lösen mithilfe des Satzes des Pythagoras Aufgaben zu rechtwinkligen Dreiecken und anderen ebenen Figuren, die rechtwinklige Teildreiecke enthalten.
verwenden die Umkehrung des Satzes des Pythagoras zum Nachweis der Rechtwinkligkeit von Dreiecken.
nutzen den Satz des Pythagoras, um Streckenlängen im Koordinatensystem sowie den Betrag eines Vektors zu berechnen.
untersuchen mithilfe des Satzes des Pythagoras funktionale Abhängigkeiten und Extremwertprobleme (z. B. variable Streckenlängen).
identifizieren bei Körpern rechtwinklige Dreiecke und berechnen damit Streckenlängen mithilfe des Satzes des Pythagoras.
identifizieren die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck als Sinus, Kosinus und Tangens und lösen damit Aufgaben zu rechtwinkligen Dreiecken und anderen ebenen Figuren und Körpern.
Jahrgangsstufe 9 (Wahlpflichtfächergruppe II/III)
lösen mithilfe des Satzes des Pythagoras Aufgaben zu rechtwinkligen Dreiecken und anderen ebenen Figuren, die rechtwinklige Teildreiecke enthalten.
verwenden die Umkehrung des Satzes des Pythagoras zum Nachweis der Rechtwinkligkeit von Dreiecken.
nutzen den Satz des Pythagoras, um Streckenlängen im Koordinatensystem zu berechnen.
untersuchen mithilfe des Satzes des Pythagoras funktionale Abhängigkeiten und Extremwertprobleme (z. B. variable Streckenlängen).
identifizieren bei Körpern rechtwinklige Dreiecke und berechnen Streckenlängen mithilfe des Satzes des Pythagoras.
identifizieren die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck als Sinus, Kosinus und Tangens und lösen damit Aufgaben zu rechtwinkligen Dreiecken und anderen ebenen Figuren und Körpern.
M9 Lernbereich 4: Kreis (ca. 10 Std.)
Jahrgangsstufe 9 (Wahlpflichtfächergruppe I)
beschreiben den proportionalen Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Kreisdurchmesser bzw. zwischen Inhalt der Kreisfläche und Quadrat des Kreisradius' und wissen um die Irrationalität der Kreiszahl π.
führen Berechnungen an Kreis, Kreissektor, Kreissegment und zusammengesetzten Figuren bei inner- und außermathematischen Anwendungsaufgaben durch.
Jahrgangsstufe 9 (Wahlpflichtfächergruppe II/III)
beschreiben den proportionalen Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Kreisdurchmesser bzw. zwischen Inhalt der Kreisfläche und Quadrat des Kreisradius' und wissen um die Irrationalität der Kreiszahl π.
führen Berechnungen an Kreis, Kreissektor, Kreissegment und zusammengesetzten Figuren bei Anwendungsaufgaben durch.
M9 Lernbereich 5: Raumgeometrie (ca. 20 Std.)
beschreiben beispielhaft das Prinzip von Cavalieri oder geeigneter Grenzwertbetrachtungen zur Volumenbestimmung von Körpern.
beschreiben Oberflächen von Prismen, Pyramiden, geraden Kreiszylindern, geraden Kreiskegeln z. B. anhand geeigneter Netze und Abwicklungen.
lösen Aufgaben im Bereich der Volumen- und Oberflächenberechnung (Prisma, Pyramide, gerader Kreiskegel, gerader Kreiszylinder, Kugel und zusammengesetzte Körper) unter Verwendung geeigneter Lösungsstrategien und durch mathematisches Modellieren.
untersuchen funktionale Abhängigkeiten und Extremwertprobleme bei Körpern (ohne funktionale Abhängigkeit von einem variablen Winkelmaß).
M9 Lernbereich 6: Systeme linearer Gleichungen (ca. 12 Std.)
lösen Systeme linearer Gleichungen mit zwei Variablen grafisch und algebraisch mit dem Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren auch bei geometrischen und sachbezogenen Aufgabenstellungen.
M9 Lernbereich 7: Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen (ca. 42 Std.)
identifizieren Funktionsgleichungen der Form y = ax 2 + bx + c und y = a ( x – x S ) 2 + y S als Parabelgleichungen und beschreiben die Bedeutung der auftretenden Parameter.
bestimmen die Gleichung einer quadratischen Funktion aus vorgegebenen Bestimmungsstücken und Graphen, wechseln durch Termumformung zwischen der allgemeinen Form und der Scheitelpunktsform und nutzen die Vorteile der jeweiligen Form situationsgerecht.
ermitteln die Koordinaten des Scheitelpunkts von Parabeln, bestimmen die Definitions- und Wertemenge und zeichnen die Graphen von quadratischen Funktionen.
lösen Aufgaben zu quadratischen Funktionen (zum Beispiel bei Flug- und Wurfparabeln) und Extremwertprobleme bei Aufgaben mit funktionalen Abhängigkeiten (z. B. bei Flächeninhalten).
analysieren Parabelscharen und ermitteln mit dem Parameterverfahren die Gleichung des Trägergraphen der Scheitelpunkte.
ermitteln die Lösungsmenge von quadratischen Gleichungen auch mithilfe der Lösungsformel, nutzen die Diskriminante, um Voraussagen über die Lösbarkeit bzw. über die Anzahl der Lösungen zu treffen, und berechnen die Nullstellen quadratischer Funktionen.
bestimmen die Lösungsmenge quadratischer Gleichungssysteme auch zur Berechnung der Koordinaten der Schnittpunkte von Parabel und Gerade bzw. zweier Parabeln.
interpretieren die geometrische Bedeutung der Diskriminante für die Lösung von Tangentialproblemen bei Parallelenscharen.
lösen Wurzelgleichungen und beachten dabei die Definitionsmenge.
M9 Lernbereich 8: Daten und Zufall (ca. 9 Std.)
beschreiben das empirische Gesetz der großen Zahlen anhand von durchgeführten oder simulierten Zufallsexperimenten (z. B. Werfen eines Reißnagels, eines Spielwürfels oder einer Münze) auch unter Zuhilfenahme elektronischer Hilfsmittel.
benutzen den Begriff der Wahrscheinlichkeit nach Laplace und grenzen ihn von anderen Wahrscheinlichkeitsbegriffen ab (z. B.: „Die Chance ist eins zu eins.“ bzw. „... fifty-fifty“, „Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer Sechs ist eins zu fünf.“).
bilden den Ergebnisraum als Menge aller möglichen Ergebnisse bei Zufallsexperimenten.
stellen Ereignisse und Gegenereignisse als Teilmengen des Ergebnisraums dar, um damit Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten zu berechnen.
schätzen Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse ab, begründen ihre Einschätzung und vergleichen sie mit der berechneten Wahrscheinlichkeit.
M9 Lernbereich 1: Reelle Zahlen (ca. 7 Std.)
erläutern die Definition der Quadratwurzel anhand von Beispielen, wissen, dass zum Beispiel keine rationale Zahl ist und begründen damit die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf die Menge der reellen Zahlen.
schätzen den Wert von Quadratwurzeln ab und lösen quadratische Gleichungen der Form x 2 = a.
formen einfache Wurzelterme um und vereinfachen Wurzelterme durch teilweises Radizieren.
M9 Lernbereich 2: Zentrische Streckung (ca. 13 Std.)
bilden entsprechend der Abbildungsvorschrift zeichnerisch Punkte und ebene Figuren durch zentrische Streckung ab, geben die Eigenschaften der zentrischen Streckung an und interpretieren sie als verhältnistreue Vergrößerung bzw. Verkleinerung.
beschreiben Sonderfälle (k = ± 1) der zentrischen Streckung und analysieren den Einfluss des Streckungsfaktors auf die Lage und Größe der Bildfigur.
berechnen mithilfe der Strahlensätze fehlende Streckenlängen, insbesondere in anwendungsbezogenen Aufgaben (z. B. aus der Vermessungskunde).
M9 Lernbereich 5: Lineare Funktionen (ca. 15 Std.)
identifizieren Funktionsgleichungen der Form y = mx + t als Gleichungen von Geraden und beschreiben die Bedeutung der Parameter m und t.
zeichnen Graphen von linearen Funktionen auch mithilfe von Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt t und bestimmen Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Graphen und wissen um die Sonderfälle achsenparalleler Geraden.
bestimmen Funktionsgleichungen aus zwei vorgegebenen Bestimmungsstücken und nutzen den Zusammenhang der Steigungsfaktoren bei orthogonalen bzw. parallelen Geraden und untersuchen Parallelenscharen.
verwenden lineare Funktionen auch bei praxisorientierten Aufgaben und berechnen Flächeninhalte von ebenen Figuren im Koordinatensystem mit funktionalen Abhängigkeiten auch unter Zuhilfenahme zweireihiger Determinanten.
M9 Lernbereich 6: Systeme linearer Gleichungen (ca. 10 Std.)
lösen Systeme linearer Gleichungen mit zwei Variablen grafisch und algebraisch mit dem Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren auch bei geometrischen und sachbezogenen Aufgabenstellungen.
M9 Lernbereich 7: Daten und Zufall (ca. 9 Std.)
beschreiben das empirische Gesetz der großen Zahlen anhand von durchgeführten oder simulierten Zufallsexperimenten (z. B. Werfen eines Reißnagels, eines Spielwürfels oder einer Münze) auch unter Zuhilfenahme elektronischer Hilfsmittel.
benutzen den Begriff der Wahrscheinlichkeit nach Laplace und grenzen ihn von anderen Wahrscheinlichkeitsbegriffen ab (z. B.: „Die Chance ist eins zu eins.“ bzw. „ ...fifty-fifty“, „Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer Sechs ist eins zu fünf.“).
bilden den Ergebnisraum als Menge aller möglichen Ergebnisse bei Zufallsexperimenten.
stellen Ereignisse und Gegenereignisse als Teilmengen des Ergebnisraums dar, um damit Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten zu berechnen.
schätzen Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse ab, begründen ihre Einschätzung und vergleichen sie mit der berechneten Wahrscheinlichkeit.
M10 Lernbereich 1: Trigonometrie (ca. 42 Std.)
veranschaulichen den Sinus, den Kosinus und den Tangens eines Winkels am Einheitskreis, geben ihren Wertebereich an und begründen und nutzen die Zusammenhänge sin 2 α + cos 2 α = 1 und .
berechnen Winkelmaße zwischen zwei sich schneidenden Geraden und die Funktionsgleichung von Geraden mithilfe des Zusammenhangs m = tanα.
beschreiben den Verlauf der Graphen der Funktionen mit den Gleichungen y = sinα, y = cosα und y = tanα auch im Zusammenhang mit periodischen Vorgängen.
berechnen mithilfe des Taschenrechners die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens für positive und negative Winkelmaße. Umgekehrt bestimmen sie, unter Beachtung der Supplementbeziehungen, die Winkelmaße für Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte.
nutzen die Komplementbeziehungen für Sinus und Kosinus zur Umformung trigonometrischer Terme.
wenden die Additionstheoreme für sin(α±β) und cos(α±β) an, um trigonometrische Terme zu vereinfachen.
berechnen in beliebigen Dreiecken Seitenlängen und Innenwinkelmaße mithilfe des Sinus- und Kosinussatzes sowie den Flächeninhalt mithilfe des Sinus.
berechnen unter Zuhilfenahme geeigneter Dreiecke Aufgaben aus der ebenen und räumlichen Geometrie und untersuchen dabei auch funktionale Abhängigkeiten und Extremwertprobleme.
lösen Aufgaben zu funktionalen Abhängigkeiten und nutzen dabei verschiedene trigonometrische Zusammenhänge zur Lösung von Gleichungen sowie zur Ermittlung der Gleichung des Trägergraphen von Punkten.
bilden aus zwei Vektoren das Skalarprodukt und nutzen den entstehenden Zahlenwert (Skalar), um deren Orthogonalität zu überprüfen bzw. um das Maß des Winkels zu berechnen, den sie einschließen.
lösen mithilfe des Skalarprodukts Aufgaben aus dem Bereich der ebenen Geometrie (Nachweis der Orthogonalität, Berechnung von Winkelmaßen, Abstand von Punkt und Gerade, Koordinaten von Punkten mit besonderen Eigenschaften).
M10 Lernbereich 2: Abbildungen (ca. 30 Std.)
berechnen die Koordinaten von Punkten und Bestimmungsstücken bei der Parallelverschiebung und der zentrischen Streckung mithilfe von Vektoren und bei der Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden und der Drehung mithilfe von Vektoren und Matrizen.
berechnen für die genannten Abbildungen die Koordinaten von Bild- bzw. Urpunkten unter Berücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten.
bestimmen die Gleichung von Funktionsgraphen, die bei der Parallelverschiebung, der zentrischen Streckung und bei der Achsenspiegelung (Koordinatenachsen und Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten als Spiegelachse) der Graphen zu Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen entstehen.
führen Abbildungen (auch mehrere hintereinander) aus, um damit Aufgaben aus der ebenen Geometrie auch algebraisch zu lösen und ermitteln dabei auch die Gleichungen von Trägergraphen.
M10 Lernbereich 3: Potenzen und Potenzfunktionen (ca. 16 Std.)
berechnen die Werte von Potenzen mit rationalen Exponenten und wenden die Potenzgesetze zur Umformung von Potenztermen an.
übertragen die (a∊IR + ; n∊IN) als nichtnegative Lösung der Gleichung x n = a in die Potenzschreibweise und umgekehrt.
analysieren die Gleichungen und Graphen von Potenzfunktionen der Form y = a(x + b) c + d (auch mit rationalen Exponenten) und bestimmen dabei auch die Definitions- und Wertemenge, ggf. die Gleichungen der Asymptoten sowie die Gleichung der Umkehrfunktion.
lösen anwendungsbezogene Aufgaben auch mit funktionalen Abhängigkeiten.
M10 Lernbereich 4: Exponentialfunktionen, Logarithmen und Logarithmusfunktionen (ca. 22 Std.)
verwenden log a b als Lösung der Gleichung a x = b, vereinfachen Terme mithilfe der Logarithmensätze, um Gleichungen zu lösen, die sich auf die Form k⋅a x - b + c = 0 bringen lassen.
analysieren die Gleichungen und Graphen von Exponential- und Logarithmusfunktionen (in der Form y = k ⋅ a x - b + c bzw. y = k ⋅ log a (x – b) + c), bestimmen dabei auch die Definitions- und Wertemenge, die Gleichung der Asymptote sowie die Gleichung der Umkehrfunktion.
analysieren exponentielle Wachstums- und Abklingprozesse, beschreiben sie mit entsprechenden Funktionsgleichungen und lösen anwendungsbezogene Aufgaben.
M10 Lernbereich 5: Daten und Zufall (ca. 10 Std.)
Jahrgangsstufe 10 (Wahlpflichtfächergruppe I)
veranschaulichen mehrstufige Zufallsexperimente auch mithilfe von Baumdiagrammen und ordnen den einzelnen Pfaden die jeweilige Wahrscheinlichkeit zu.
wenden die Pfadregeln an, um Wahrscheinlichkeiten von einzelnen Ergebnissen bzw. bestimmten Ereignissen zu berechnen.
Jahrgangsstufe 10 (Wahlpflichtfächergruppe II/III)
veranschaulichen mehrstufige Zufallsexperimente auch mithilfe von Baumdiagrammen und ordnen den einzelnen Pfaden die jeweilige Wahrscheinlichkeit zu.
wenden die Pfadregeln an, um Wahrscheinlichkeiten von einzelnen Ergebnissen bzw. bestimmten Ereignissen zu berechnen.
M10 Lernbereich 1: Trigonometrie (ca. 21 Std.)
veranschaulichen den Sinus, den Kosinus und den Tangens eines Winkels am Einheitskreis, geben ihren Wertebereich an und begründen und nutzen die Zusammenhänge sin 2 α + cos 2 α = 1 und .
berechnen Winkelmaße zwischen zwei sich schneidenden Geraden und die Funktionsgleichung von Geraden mithilfe des Zusammenhangs m = tanα.
beschreiben den Verlauf des Graphen der Sinusfunktion mit y = sinα im Zusammenhang mit periodischen Vorgängen.
berechnen mithilfe des Taschenrechners die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens für positive und negative Winkelmaße. Umgekehrt bestimmen sie, unter Beachtung der Supplementbeziehungen, die Winkelmaße für Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte.
berechnen in beliebigen Dreiecken Seitenlängen und Innenwinkelmaße mithilfe des Sinus- und Kosinussatzes sowie den Flächeninhalt mithilfe des Sinus.
berechnen unter Zuhilfenahme geeigneter Dreiecke Aufgaben aus der ebenen und räumlichen Geometrie und untersuchen dabei auch funktionale Abhängigkeiten und Extremwertprobleme (ohne Abhängigkeiten von variablen Winkelmaßen).
M10 Lernbereich 2: Raumgeometrie (ca. 20 Std.)
zeichnen bzw. skizzieren Axialschnitte von Rotationskörpern und beschreiben die Form von Rotationskörpern aus gegebenen Axialschnitten und umgekehrt.
beschreiben beispielhaft das Prinzip von Cavalieri oder geeignete Grenzwertbetrachtungen zur Volumenbestimmung von Körpern.
beschreiben Oberflächen von Prismen, Pyramiden, geraden Kreiszylindern, geraden Kreiskegeln z. B. anhand geeigneter Netze und Abwicklungen.
lösen Aufgaben im Bereich der Volumen- und Oberflächenberechnung (Prisma, Pyramide, gerader Kreiskegel, gerader Kreiszylinder, Kugel und zusammengesetzte Körper) unter Verwendung geeigneter Lösungsstrategien und durch mathematisches Modellieren.
untersuchen funktionale Abhängigkeiten und Extremwertprobleme bei Körpern (ohne funktionale Abhängigkeit von einem variablen Winkelmaß).
M10 Lernbereich 3: Exponentialfunktionen, Logarithmen (ca. 10 Std.)
identifizieren Funktionsgleichungen der Form y = k ⋅ a x als Gleichungen von Exponentialfunktionen, zeichnen die zugehörigen Graphen, beschreiben die Bedeutung der auftretenden Parameter und grenzen Exponentialfunktionen von linearen und quadratischen Funktionen ab.
verwenden Logarithmen zum Lösen von Exponentialgleichungen der Form a x = b.
untersuchen Wachstums- und Abklingprozesse, die sich mit einfachen Exponentialfunktionen beschreiben lassen, und lösen dazu Sachaufgaben.
M10 Lernbereich 4: Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen (ca. 35 Std.)
identifizieren Funktionsgleichungen der Form y = ax 2 + bx + c und y = a ( x – x S ) 2 + y S als Parabelgleichungen und beschreiben die Bedeutung der auftretenden Parameter.
bestimmen die Gleichung einer quadratischen Funktion aus vorgegebenen Bestimmungsstücken und Graphen, wechseln mithilfe von Termumformungen zwischen der allgemeinen Form und der Scheitelpunktsform und nutzen die Vorteile der jeweiligen Form situationsgerecht.
ermitteln die Koordinaten des Scheitelpunkts von Parabeln, bestimmen die Definitions- und Wertemenge und zeichnen die Graphen von quadratischen Funktionen.
lösen Extremwertprobleme bei Aufgaben mit funktionalen Abhängigkeiten (z. B. bei Flächeninhalten).
ermitteln die Lösungsmenge von quadratischen Gleichungen auch mithilfe der Lösungsformel, nutzen die Diskriminante, um Voraussagen über die Lösbarkeit bzw. über die Anzahl der Lösungen zu treffen, und berechnen die Nullstellen quadratischer Funktionen.
bestimmen die Lösungsmenge quadratischer Gleichungssysteme auch zur Berechnung der Koordinaten der Schnittpunkte von Parabel und Gerade bzw. zweier Parabeln.
