Mathematisch argumentieren [K1]

Einführungsphase

erkunden mathematische Situationen und stellen Vermutungen auf. begründen die Plausibilität von Vermutungen oder widerlegen diese durch Angabe von Beispielen oder Gegenbeispielen. entwickeln ein- oder mehrschrittige, schlüssige Argumentationen zur Begründung mathematischer Aussagen. hinterfragen Argumentationen und Begründungen kritisch, finden und korrigieren Fehler.

Qualifikationsphase Q1

Routineargumentationen (bekannte Sätze, Verfahren, Herleitungen usw.) wiedergeben und anwenden. einfache rechnerische Begründungen geben oder einfache logische Schlussfolgerungen ziehen. Argumentationen auf der Basis von Alltagswissen führen. überschaubare mehrschrittige Argumentationen und logische Schlüsse nachvollziehen, erläutern oder entwickeln.

Probleme mathematisch lösen [K2]

Einführungsphase

untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen und Figuren und finden mögliche mathematische Problemstellungen. geben inner- und außermathematische Problemstellungen in eigenen Worten wieder, strukturieren sie und entnehmen ihnen die relevanten Größen. vereinfachen Probleme, bilden und untersuchen Beispiele. finden und nutzen geeignete Darstellungen und Hilfsgrößen (z. B. Hilfslinien, Strukturierung des Lösungsweges, Variablen). verwenden heuristische Strategien (wie z. B. Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Zeichnen einer informativen Figur, Zurückführen auf Bekanntes). reflektieren Lösungswege und überprüfen die Plausibilität von Ergebnissen.

Qualifikationsphase Q1

einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie, z. B. durch Analogiebetrachtung, finden. einen Lösungsweg zu einer Problemstellung, z. B. durch ein mehrschrittiges, strategiegestütztes Vorgehen, finden.

Mathematisch modellieren [K3]

Einführungsphase

strukturieren und reduzieren den Komplexitätsgrad von Realsituationen, sodass diese mathematisch zugänglich wird, und reflektieren die Vereinfachungen. beschreiben reale Situationen mit mathematischen Modellen (Terme, Funktionen, Figuren, Diagramme, Graphen, Zufallsversuche u. a.). interpretieren und prüfen Ergebnisse einer Modellierung. überprüfen Modelle auf ihre Gültigkeit oder Grenzen und verwerfen oder verbessern sie gegebenenfalls. geben zu einem mathematischen Modell verschiedene Realsituationen, die es beschreibt, an.

Qualifikationsphase Q1

vertraute und direkt erkennbare Modelle anwenden. eine Realsituation direkt in ein mathematisches Modell überführen. ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen. mehrschrittige Modellierungen mit wenigen und klar formulierten Einschränkungen vornehmen. Ergebnisse einer solchen Modellierung interpretieren. ein mathematisches Modell an veränderte Umstände anpassen.

Mathematische Darstellungen verwenden [K4]

Einführungsphase

interpretieren verschiedene mathematische Darstellungen (verbale, nummerische, grafische und symbolische). wählen je nach Situation und Zweck geeignete Darstellungsformen aus oder übersetzen zwischen ihnen. erkennen Beziehungen und reflektieren Unterschiede zwischen ihnen.

Qualifikationsphase Q1

Standarddarstellungen von mathematischen Objekten und Situationen anfertigen und nutzen. gegebene Darstellungen verständig interpretieren oder verändern. zwischen verschiedenen Darstellungen wechseln.

Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen [K5]

Einführungsphase

verwenden Variablen, Terme, Gleichungen zum Strukturieren von Information, zum Modellieren und zum Problemlösen und übersetzen zwischen symbolischer und natürlicher Sprache. führen algorithmische Verfahren aus, reflektieren deren Anwendung und überprüfen die Ergebnisse. setzen mathematische Hilfsmittel und Werkzeuge (wie Formelsammlungen, Taschenrechner, Dynamische Geometriesoftware, Tabellenkalkulation und CAS) zur Darstellung und beim Problemlösen ein.

Qualifikationsphase Q1

elementare Lösungsverfahren verwenden. Formeln und Symbole direkt anwenden. mathematische Hilfsmittel und digitale Mathematikwerkzeuge direkt nutzen. formale mathematische Verfahren anwenden. mit mathematischen Objekten im Kontext umgehen. mathematische Hilfsmittel und digitale Mathematikwerkzeuge je nach Situation und Zweck gezielt auswählen und effizient einsetzen.

Mathematisch kommunizieren [K6]

Einführungsphase

erfassen und reflektieren mathematische Informationen in mathematikhaltigen Darstellungen und in nicht aufbereiteten, authentischen Texten (z. B. aus Zeitungen). stellen Zusammenhänge adressatengerecht mit eigenen Worten dar und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen. erläutern eigene Problembearbeitungen und Einsichten sowie mathematische Prozesse. dokumentieren Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse, stellen diese verständlich dar und präsentieren sie auch unter Nutzung geeigneter Medien. organisieren die gemeinsame Arbeit an mathematischen Problemen.

Qualifikationsphase Q1

einfache mathematische Sachverhalte darlegen. Informationen aus kurzen Texten mit mathematischem Gehalt identifizieren und auswählen, wobei die Ordnung der Informationen im Text die Schritte der mathematischen Bearbeitung nahelegt. mehrschrittige Lösungswege, Überlegungen und Ergebnisse verständlich darlegen. Äußerungen (auch fehlerhafte) anderer Personen zu mathematischen Aussagen interpretieren. mathematische Informationen aus Texten identifizieren und auswählen, wobei die Ordnung der Informationen nicht unmittelbar den Schritten der mathematischen Bearbeitung entsprechen muss.

Algorithmus und Zahl [L1]

Einführungsphase

stellen Zahlen der Situation angemessen als Brüche, Dezimalzahlen, Prozentzahlen und in Zehnerpotenzschreibweise dar, runden Dezimalzahlen sachgerecht und verwenden Darstellungen irrationaler Anteile (z. B. 5π, 3 ⋅ 7 ). verwenden natürliche, ganze, gebrochene und reelle Zahlen zur Darstellung mathematischer Situationen und wenden diese zur Lösung von Problemen an. führen Rechnungen und Überschlagsrechnungen im Kopf durch und nutzen Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen. erläutern und reflektieren die Verwendung von negativen Zahlen und die Eigenschaften von irrationalen Zahlen an Beispielen. beschreiben und reflektieren ein Verfahren zur Einschachtelung einer irrationalen Zahl (z. B. 2 oder π ). lösen Potenz- und Wurzelgleichungen unter Nutzung der entsprechenden Gesetze.

Qualifikationsphase Q1/Q2

einen propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen, Q1/2 geeignete Verfahren zur Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen auswählen, Q1/3 ein algorithmisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme erläutern und es anwenden, Q3 einfache Sachverhalte mit Tupeln (Listen, Vektoren) bzw. Matrizen (Koeffizientenmatrizen, Tabellen) beschreiben. Q3

Messen [L2]

Einführungsphase

messen Strecken und Winkel. berechnen Flächeninhalt und Umfang von zusammengesetzten Figuren, Volumen und Oberfläche von Prismen, Pyramiden, Kegeln und Kugeln sowie von zusammengesetzten Körpern. bestimmen Flächeninhalt und Umfang von krummlinig begrenzten Figuren näherungsweise (Vergleich mit geometrischen Grundfiguren, Ausschöpfung o. a.). bestimmen und deuten mittlere Änderungsraten in Tabellen und Graphen sowie lokale Änderungsraten zeichnerisch. beschreiben und interpretieren qualitativ das Änderungsverhalten eines Funktionsgraphen durch eine Skizze des Graphen der zugehörigen lokalen Änderungsraten und begründen den Verlauf.

Qualifikationsphase Q1

Sekanten- und Tangentensteigungen zu Funktionsgraphen bestimmen, Q1 Änderungsraten berechnen und deuten, Q1 Bestände aus Änderungsraten und Anfangsbestand berechnen, Q2 Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen (von Potenzfunktionen f mit f(x) = xn, n ∈ ZZ , n ≠ −1 , ganzrationalen und Exponentialfunktionen) begrenzt sind, mithilfe bestimmter Integrale ermitteln, Q2 Lage- und Streumaße einer Stichprobe bestimmen und deuten, Q2 Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung bestimmen und deuten, Q4 Streckenlängen und Winkelgrößen im Raum (auch mithilfe des Skalarprodukts) bestimmen, Q3 Abstände (Punkt-Punkt, Punkt-Ebene, Gerade-Ebene, Ebene-Ebene) bestimmen. Q3

Raum und Form [L3]

Einführungsphase

klassifizieren geometrische Objekte unter Verwendung von Ober- und Unterbegriffen und den definierenden Eigenschaften. berechnen Größen und begründen Eigenschaften von Figuren mithilfe von Symmetrie, einfachen Winkelsätzen, Kongruenz, Ähnlichkeit, trigonometrischen Beziehungen, dem Satz des Thales und dem Satz des Pythagoras. nutzen das Prinzip von Cavalieri (Scherung), um Flächen- und Volumenformeln zu

Qualifikationsphase Q3

geometrische Sachverhalte in Ebene und Raum koordinatisieren (geometrische Interpretation von Gleichungssystemen und ihrer Lösungen) und im Koordinatensystem darstellen, Q3 elementare Operationen mit geometrischen Vektoren ausführen und Vektoren auf Kollinearität untersuchen, Q3 Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig bzw. ebenflächig begrenzten geometrischen Objekten anwenden, Q3

Funktionaler Zusammenhang [L4]

Einführungsphase

wechseln zwischen unterschiedlichen Darstellungen quadratischer Funktionen, u.a. als Produkt von Linearfaktoren. charakterisieren und interpretieren die Verläufe der Funktionen f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = ax, f(x) = loga x und beschreiben Anwendungssituationen für diese Funktionen. beschreiben qualitativ das Änderungsverhalten einer Funktion durch eine Skizze des Graphen der Änderungsfunktion und begründen den Verlauf. verwenden Winkelmaße in Grad- und Bogenmaß und interpretieren diese auch über den Vollwinkel hinaus. geben zeichnerisch und rechnerisch Umkehrfunktionen zu linearen, quadratischen, Potenz- und Exponentialfunktionen an und beschreiben damit reale Situationen. identifizieren proportionale, umgekehrt proportionale, lineare und quadratische Zusammenhänge in tabellarischer, grafischer und symbolischer Darstellung, wechseln zwischen den Darstellungsformen und verwenden sie zur Lösung von Anwendungsproblemen. verwenden Prozentdarstellungen, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen zur Lösung inner- und außermathematischer Probleme. bestimmen charakteristische Punkte (z. B. Achsenschnittpunkte, Hochpunkte, Tief-

Qualifikationsphase Q1

Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten, ganzrationale und Exponentialfunktionen zur Beschreibung und Untersuchung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen (z. B. in Fragestellungen zu Sachsituationen, die auf Rekonstruktion von Funktionsgleichungen, Extremalprobleme etc. führen), Q1 in einfachen Fällen Verknüpfungen (additiv und multiplikativ) und Verkettungen von ganzrationalen und Exponentialfunktionen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen, Q1 Eingangsvoraussetzungen und abschlussorientierte Standards die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate deuten, Q1 Änderungsraten funktional beschreiben (Ableitungsfunktion) und interpretieren, Q1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten, ganzrationale und Exponentialfunktionen ableiten, auch unter Verwendung der Konstanten-, Potenz-, Faktor- und Summenregel, Q1 die Produktregel und die Kettenregel (mit linearer bzw. quadratischer innerer Funktion) zum Ableiten verwenden, Q1 die Ableitung zur Bestimmung von Monotonie, Extrema und Wendepunkten (notwendige Bedingung und inhaltliche Begründungen für die Existenz) von Funktionen nutzen, Q1 Ableitungsgraphen aus Funktionsgraphen entwickeln und umgekehrt, Q1/2 das bestimmte Integral deuten, insbesondere als (re-) konstruierten Bestand, Q2 geometrisch anschaulich den Hauptsatz als Beziehung zwischen Ableiten und Integrieren begründen, Q2 Integrale von Funktionen (Potenzfunktionen f mit f(x) = xn, n ∈ ZZ , n ≠ −1, ganzrationalen und Exponentialfunktionen) mittels Stammfunktionen bestimmen, Q2 die Binomialverteilung zur Beschreibung stochastischer Situationen nutzen. Q4 Wurzelfunktionen, gebrochenrationale Funktionen und Funktionen wie ln, sin, cos zur Beschreibung und Untersuchung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen, Q1/2 in einfachen Fällen Verknüpfungen und Verkettungen (zwei Funktionsklassen) sowie Scharen von Funktionen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen, Q1 die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen deuten und

Daten und Zufall [L5]

Einführungsphase

planen statistische Erhebungen, nutzen Methoden der Erfassung und Darstellung von Daten (Säulen- und Kreisdiagramme) und bewerten Darstellungen kritisch. bestimmen relative Häufigkeiten, Mittelwerte (arithmetisches Mittel, Median, Modalwert) sowie Streumaße (z. B. Spannweite) und interpretieren diese. wenden das empirische Gesetz der großen Zahlen an. bestimmen Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Laplace-Regel, Baumdiagrammen sowie Pfadregeln und wenden diese an. nutzen Häufigkeiten zum Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeiten zur Vorhersage von Häufigkeiten.

Qualifikationsphase Q2

exemplarisch statistische Erhebungen planen und auswerten, Q2 Sachverhalte mithilfe von Baumdiagrammen oder Vierfeldertafeln untersuchen und damit Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten lösen, Q2 Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit anhand einfacher Beispiele untersuchen, Q2 Anwendungssituationen mithilfe des Urnenmodells (mit und ohne Zurücklegen) untersuchen, Q2 Simulationen zur Untersuchung stochastischer Situationen verwenden, Q2 die Binomialverteilung und ihre Kenngrößen (n, p) nutzen, Q4 in einfachen Fällen aufgrund von Stichproben auf die Gesamtheit schließen