Eingangsvoraussetzungen: allgemeine mathematische Kompetenzen

erkunden mathematische Situationen und stellen Vermutungen auf, begründen die Plausibilität von Vermutungen oder widerlegen diese durch Angabe von Beispielen oder Gegenbeispielen, entwickeln ein- oder mehrschrittige, schlüssige Argumentationen zur Begründung mathematischer Aussagen, hinterfragen Argumentationen und Begründungen kritisch, finden und korrigieren Fehler untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen und Figuren und finden mögliche mathematische Problemstellungen, geben inner- und außermathematische Problemstellungen in eigenen Worten wieder, strukturieren sie und entnehmen ihnen die relevanten Größen, vereinfachen Probleme, bilden und untersuchen Beispiele, finden und nutzen geeignete Darstellungen und Hilfsgrößen (z. B. Hilfslinien, Strukturierung des Lösungsweges, Variablen), verwenden heuristische Strategien (wie z. B. Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Zeichnen einer informativen Figur, Zurückführen auf Bekanntes), reflektieren Lösungswege und überprüfen die Plausibilität von Ergebnissen. strukturieren und reduzieren den Komplexitätsgrad von Realsituationen, sodass diese mathematisch zugänglich werden, und reflektieren die Vereinfachungen, beschreiben reale Situationen mit mathematischen Modellen (Terme, Funktionen, Figuren, Diagramme, Graphen, Zufallsversuche u. a.), interpretieren und prüfen Ergebnisse einer Modellierung, überprüfen Modelle auf ihre Gültigkeit oder Grenzen und verwerfen oder verbessern sie gegebenenfalls, geben zu einem mathematischen Modell verschiedene Realsituationen, die es beschreibt, an interpretieren verschiedene mathematische Darstellungen (verbale, numerische, graphische und symbolische), wählen je nach Situation und Zweck geeignete Darstellungsformen aus oder übersetzen zwischen ihnen, erkennen Beziehungen und reflektieren Unterschiede zwischen ihnen verwenden Variablen, Terme, Gleichungen zum Strukturieren von Information, zum Modellieren und zum Problemlösen und Übersetzen zwischen symbolischer und natürlicher Sprache, führen algorithmische Verfahren aus, reflektieren deren Anwendung und überprüfen die Ergebnisse, setzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge in geeigneten Zusammenhängen ein erfassen und reflektieren mathematische Informationen in mathematikhaltigen Darstellungen und in nicht aufbereiteten, authentischen Texten (z. B. aus Zeitungen), stellen Zusammenhänge adressatengerecht mit eigenen Worten dar und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen, erläutern eigene Problembearbeitungen und Einsichten sowie mathematische Prozesse, dokumentieren Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse, stellen diese verständlich dar und präsentieren sie auch unter Nutzung geeigneter Medien, organisieren die gemeinsame Arbeit an mathematischen Problemen.

Eingangsvoraussetzungen: inhaltsbezogene Kompetenzen (Leitideen)

stellen Zahlen der Situation angemessen als Brüche, Dezimalzahlen, Prozentzahlen und in Zehnerpotenzschreibweise dar, runden Dezimalzahlen sachgerecht und verwenden Darstellungen irrationaler Anteile (z. B. 5π, 3 7  ), verwenden natürliche, ganze, gebrochene und reelle Zahlen zur Darstellung mathematischer Situationen und wenden diese zur Lösung von Problemen an, führen Rechnungen und Überschlagsrechnungen im Kopf durch und nutzen Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen, erläutern und reflektieren die Verwendung von negativen Zahlen und die Eigenschaften von irrationalen Zahlen an Beispielen, beschreiben und reflektieren ein Verfahren zur Einschachtelung einer irrationalen Zahl, lösen Potenz- und Wurzelgleichungen unter Nutzung der entsprechenden Gesetze, lösen lineare (2,2)- und (3,3)-Gleichungssysteme messen Strecken und Winkel, berechnen Flächeninhalt und Umfang von zusammengesetzten Figuren, Volumen und Oberfläche von Prismen, Pyramiden, Kegeln und Kugeln sowie von zusammengesetzten Körpern, bestimmen Flächeninhalt und Umfang von krummlinig begrenzten Figuren näherungsweise durch Vergleich mit geometrischen Grundfiguren, bestimmen und deuten mittlere Änderungsraten in Tabellen und Graphen sowie lokale Änderungsraten zeichnerisch, beschreiben und interpretieren qualitativ das Änderungsverhalten eines Funktionsgraphen durch eine Skizze des Graphen der zugehörigen lokalen Änderungsraten und begründen den Verlauf, bestimmen Steigungen von beliebigen Funktionsgraphen zeichnerisch klassifizieren geometrische Objekte unter Verwendung von Ober- und Unterbegriffen und den definierenden Eigenschaften, berechnen Größen und begründen Eigenschaften von Figuren mithilfe von Symmetrie, einfachen Winkelsätzen, Kongruenz, Ähnlichkeit, trigonometrischen Beziehungen, dem Satz des Thales und dem Satz des Pythagoras, nutzen das Prinzip von Cavalieri (Scherung), um Flächen- und Volumenformeln zu begründen. wechseln zwischen unterschiedlichen Darstellungen quadratischer Funktionen, u. a. als Produkt von Linearfaktoren, charakterisieren und interpretieren die Verläufe der Funktionen 𝑓(𝑥) = sin(𝑥), 𝑓(𝑥) = cos(𝑥), 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) und beschreiben Anwendungssituationen für diese Funktionen, beschreiben qualitativ das Änderungsverhalten eines Funktionsgraphen durch eine Skizze des Graphen der Änderungsfunktion und begründen den Verlauf, verwenden Winkelmaße in Grad- und Bogenmaß und interpretieren diese auch über den Vollwinkel hinaus, geben zeichnerisch und rechnerisch Umkehrfunktionen zu linearen, quadratischen, Potenz- und Exponentialfunktionen an und beschreiben damit reale Situationen, identifizieren proportionale, umgekehrt proportionale, lineare und quadratische Zusammenhänge in tabellarischer, graphischer und symbolischer Darstellung, wechseln zwischen den Darstellungsformen und verwenden sie zur Lösung von Anwendungsproblemen, verwenden Prozentdarstellungen, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen zur Lösung inner- und außermathematischer Probleme, bestimmen charakteristische Punkte (z. B. Achsenschnittpunkte, Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte) aus Funktionsgraphen ganzrationaler Funktionen und deuten sie in Sachzusammenhängen planen statistische Erhebungen, nutzen Methoden der Erfassung und Darstellung von Daten (Säulen- und Kreisdiagramme) und bewerten Darstellungen kritisch, bestimmen relative Häufigkeiten, Mittelwerte (arithmetisches Mittel, Median, Modalwert) sowie Streumaße (z. B. Spannweite) und interpretieren diese, wenden das empirische Gesetz der großen Zahlen an, nutzen Häufigkeiten zum Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeiten zur Vorhersage von Häufigkeiten, bestimmen Wahrscheinlichkeiten mithilfe der LaplaceRegel, Baumdiagrammen sowie Pfadregeln und wenden diese an, nutzen Binomialkoeffizienten und Fakultäten zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Anwendungskontexten.

Abschlussorientierte Standards zu den allgemeinen mathematischen Kompetenzen

Routineargumentationen (bekannte Sätze, Verfahren, Herleitungen usw.) wiedergeben und anwenden, einfache rechnerische Begründungen geben oder einfache logische Schlussfolgerungen ziehen, Argumentationen auf der Basis von Alltagswissen führen. Beweise erläutern oder entwickeln, anspruchsvolle Argumentationen nutzen oder entwickeln, verschiedene Argumente nach Kriterien wie Reichweite und Schlüssigkeit bewerten. vertraute und direkt erkennbare Modelle anwenden, eine Realsituation direkt in ein mathematisches Modell überführen, ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen. mehrschrittige Modellierungen mit wenigen und klar formulierten Einschränkungen vornehmen, Ergebnisse einer solchen Modellierung interpretieren, ein mathematisches Modell an veränderte Umstände anpassen. eine komplexe Realsituation modellieren, wobei Variablen und Bedingungen festgelegt werden müssen, mathematische Modelle im Kontext einer Realsituation überprüfen, vergleichen und bewerten. gegebene Darstellungen verständig interpretieren oder verändern, zwischen verschiedenen Darstellungen wechseln. mit unvertrauten Darstellungen und Darstellungsformen sachgerecht und verständig umgehen, eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln, verschiedene Darstellungen und Darstellungsformen zweckgerichtet beurteilen elementare Lösungsverfahren verwenden, Formeln und Symbole direkt anwenden, mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge direkt nutzen. formale mathematische Verfahren anwenden, mit mathematischen Objekten im Kontext umgehen, mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge je nach Situation und Zweck gezielt auswählen und effizient einsetzen. komplexe Verfahren durchführen, verschiedene Lösungs- und Kontrollverfahren bewerten, die Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge reflektieren. einfache mathematische Sachverhalte darlegen, Informationen aus kurzen Texten mit mathematischem Gehalt identifizieren und auswählen, wobei die Ordnung der Informationen im Text die Schritte der mathematischen Bearbeitung nahelegt. mehrschrittige Lösungswege, Überlegungen und Ergebnisse verständlich darlegen, Äußerungen (auch fehlerhafte) anderer Personen zu mathematischen Aussagen interpretieren, mathematische Informationen aus Texten identifizieren und auswählen, wobei die Ordnung der Informationen nicht unmittelbar den Schritten der mathematischen Bearbeitung entsprechen muss. eine komplexe mathematische Lösung oder Argumentation widerspruchsfrei und vollständig darlegen oder präsentieren, mathematische Fachtexte sinnentnehmend erfassen, mündliche und schriftliche Äußerungen mit mathematischem Gehalt von anderen Personen miteinander vergleichen, sie bewerten und ggf. korrigieren.

Q1 – Analysis; Lineare Algebra

Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitungen nutzen, geeignete Verfahren zur Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen auswählen und ein algorithmisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme erläutern und anwenden (Fortführung in Q3), Sekanten- und Tangentensteigungen an Funktionsgraphen bestimmen, Änderungsraten berechnen und deuten, Funktionen zur Beschreibung und Untersuchung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen, in einfachen Fällen Verknüpfungen und Verkettungen von Funktionen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate deuten, Änderungsraten funktional beschreiben und interpretieren, Funktionen ableiten, auch unter Verwendung der Konstanten-, Potenz-, Faktor-, Summen-, Produkt- und Kettenregel, die Ableitung zur Bestimmung von Monotonie, Extrem- und Wendepunkten von Funktionen nutzen, den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen entwickeln Funktionen weiterer Funktionsklassen zur Beschreibung und Untersuchung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen, Funktionen unter Verwendung der Kettenregel ableiten, in einfachen Fällen Verknüpfungen und Verkettungen von Scharen von Funktionen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen, die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen deuten.

Q2 – Analysis; Stochastik

Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung des Integrals nutzen, Bestände aus Änderungsraten und Anfangsbestand berechnen, Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenzt sind, bestimmen, Lage- und Streumaße einer Stichprobe bestimmen und deuten, Erwartungswert und Standardabweichung diskreter Zufallsgrößen bestimmen und deuten, das bestimmte Integral deuten, insbesondere als (re-)konstruierten Bestand, geometrisch anschaulich den Hauptsatz als Beziehung zwischen Ableiten und Integrieren begründen, Integrale von Funktionen mittels Stammfunktionen bilden, exemplarisch statistische Erhebungen planen und auswerten, Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Beschreibung stochastischer Situationen nutzen, die Binomialverteilung und ihre Kenngrößen nutzen und die Binomialverteilung zur Beschreibung stochastischer Situationen nutzen, Anwendungssituationen mithilfe von Urnenmodellen untersuchen, Sachverhalte mithilfe von Baumdiagrammen oder Vierfeldertafeln untersuchen und damit Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten lösen, Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit anhand einfacher Beispiele untersuchen, Simulationen zur Untersuchung stochastischer Situationen verwenden die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion von x → 1/x und als Umkehrfunktion der e-Funktion nutzen.

Q3 – Analytische Geometrie

geeignete Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen auswählen und ein algorithmisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme erläutern und anwenden, einfache Sachverhalte mit Tupeln beschreiben, Streckenlängen und Winkelgrößen im Raum auch mithilfe des Skalarprodukts bestimmen, Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen bestimmen, geometrische Sachverhalte in Ebene und Raum koordinatisieren und im Koordinatensystem darstellen, elementare Operationen mit geometrischen Vektoren ausführen und Vektoren auf Kollinearität untersuchen, Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig bzw. ebenflächig begrenzten geometrischen Objekten anwenden, das Skalarprodukt geometrisch deuten, Geraden und Ebenen analytisch beschreiben und Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen untersuchen Abstände zwischen Punkten und Geraden bestimmen, die Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen untersuchen.

Q4 – Analysis; Stochastik; komplexe Aufgabenstellungen

in einfachen Fällen aufgrund von Stichproben auf die Gesamtheit schließen das Volumen von Körpern bestimmen, die durch Rotation um die Abszissenachse entstehen, Hypothesentests bei Binomialverteilungen interpretieren und die Unsicherheit und Genauigkeit der Ergebnisse begründen, exemplarisch diskrete und stetige Zufallsgrößen unterscheiden und die „Glockenform“ als Grundvorstellung von normalverteilten Zufallsgrößen nutzen, stochastische Situationen untersuchen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen führen.