Argumentieren und Kommunizieren

Ende Jahrgangsstufe 6

entnehmen Informationen aus einfachen mathematikhaltigen Darstellungen (Text, Bild, Tabelle) und geben sie mit eigenen Worten wieder erläutern schriftlich und mündlich mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und Verfahren mit eigenen Worten und verwenden die Fachsprache Kommunizieren arbeiten bei der Lösung von Problemen im Team mit anderen diskutieren eigene und vorgegebene Rechenwege, Ergebnisse und Darstellungen finden, erklären und korrigieren Fehler auch in mathematischen Begründungszusammenhängen Präsentieren präsentieren Ideen sprachlich, handelnd und bildlich präsentieren Ergebnisse in kurzen Beiträgen (Vortrag mit Tafel, Folie, Plakat, Computer, ...) Begründen begründen intuitiv (Beobachtungen beschreiben, Größenordnungen abschätzen, Beispiele und Gegenbeispiele angeben usw.)

Ende Jahrgangsstufe 8

ziehen Informationen aus mathematikhaltigen Darstellungen (Text, Bild, Tabelle, Graph), strukturieren und bewerten sie Verbalisieren erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und Verfahren (Konstruktionen, Rechenverfahren, Algorithmen) mit eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen Kommunizieren vergleichen und bewerten Lösungswege, Argumentationen und Darstellungen Präsentieren präsentieren Lösungswege in kurzen, vorbereiteten Beiträgen Vernetzen geben Ober- und Unterbegriffe an und führen Beispiele und Gegenbeispiele als Beleg an (z.B. Proportionalität, Viereck) Begründen nutzen mathematisches Wissen für Begründungen auch in mehrschrittigen Argumentationen, führen einfache Beweise durch (z. B. beim Satz des Pythagoras)

Ende Jahrgangsstufe 10

ziehen Informationen aus einfachen authentischen Texten (z.B. Zeitungsberichten) und mathematischen Darstellungen und analysieren die Aussagen Verbalisieren geben Informationen aus einfachen mathematikhaltigen Darstellungen (Text, Bild, Tabelle, Graph) in eigenen Worten wieder, strukturieren und bewerten sie erläutern mathematische Zusammenhänge und Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen Kommunizieren überprüfen und bewerten eigene Problembearbeitungen und die anderer Präsentieren präsentieren Problembearbeitungen in vorbereiteten Vorträgen und wählen dazu geeignete Medien aus (auch elektronische Medien) Vernetzen systematisieren Begriffe und Verfahren (z.B.: Zusammenhänge zwischen formalen Eigenschaften von Funktionstypen; Welche Dreiecksberechnungen können wir durchführen?) Begründen bauen mehrschrittige Argumentationsketten auf, analysieren und bewerten diese kombinieren mathematisches Wissen für Begründungen und Argumentationsketten und nutzen dabei auch formale und symbolische Elemente und Verfahren

Problemlösen

Ende Jahrgangsstufe 6

geben inner- und außermathematische Problemstellungen in eigenen Worten wieder entnehmen auch komplexeren Problemen relevante Größen finden in Sachsituationen mögliche mathematische Fragestellungen und Vermutungen nutzen Medien zur Recherche und Strukturierung von Problemsituationen (Lexikon, Computer, Internet,…) Lösen ermitteln Näherungswerte für erwartete Ergebnisse durch Schätzen und Überschlagen nutzen elementare mathematische Regeln und Verfahren (Messen, Rechnen, Schließen) zum Lösen von anschaulichen Alltagsproblemen wenden Lösungsstrategien an (Beispiele finden, Überprüfen durch Probieren, Skizzen und Tabellen) Reflektieren interpretieren und bewerten Ergebnisse in Bezug auf die ursprüngliche Problemstellung stellen einen Lösungsweg mit eigenen Worten dar und vergleichen unterschiedliche Lösungswege miteinander

Ende Jahrgangsstufe 8

untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen und Figuren und stellen Vermutungen auf Lösen nutzen Algorithmen und Kalküle zum Lösen mathematischer Standardaufgaben und bewerten ihre Praktikabilität planen und beschreiben ihre Vorgehensweise zur Lösung eines Problems überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen oder Lösungswege wenden die Problemlösestrategien „Zurückführen auf Bekanntes“, „Spezialfälle finden“ und „Verallgemeinern“ an nutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung Reflektieren überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibilitätsüberlegungen, Überschlagsrechnungen oder Skizzen überprüfen Lösungswege auf Richtigkeit und Schlüssigkeit vergleichen verschiedene Lösungswege eines Problems

Ende Jahrgangsstufe 10

zerlegen Probleme in Teilprobleme (z. B. beim geschickten Zählen und kombinatorischen Überlegungen) Erkunden mathematische Probleme unter Verwendung mathematischer Werkzeuge (Tabellenkalkulation, Geometriesoftware, evtl. Funktionenplotter und Computeralgebrasysteme) und stellen Vermutungen auf Lösen wenden die Problemlösestrategien „Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten“ an wenden gelernte Standardverfahren und Problemlösestrategien flexibel an Reflektieren vergleichen Lösungswege und Problemlösestrategien und bewerten sie

Modellieren

Ende Jahrgangsstufe 6

strukturieren Sachsituationen und isolieren die für die Fragestellung relevanten mathematisch fassbaren Aspekte Mathematisieren übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Rechenoperationen, Terme, geometrische Darstellungen, Diagramme, Tabellen) Validieren überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation Realisieren ordnen einem mathematischen Modell (Figur, Term, Gleichung) eine passende Realsituation zu

Ende Jahrgangsstufe 8

strukturieren einfache Realsituationen und isolieren die für die Fragestellung relevanten mathematisch fassbaren Aspekte Mathematisieren übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle (Zuordnungen, Terme, lineare und quadratische Funktionen, geometrische Darstellungen, Diagramme, Gleichungen, lineare Gleichungssysteme, Zufallsversuche) Validieren überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell Realisieren ordnen einem mathematischen Modell (geometrische Figur, Tabelle, Graph, Gleichung, lineares Gleichungssystem, lineare und quadratische Funktionen) eine passende Realsituation zu

Ende Jahrgangsstufe 10

übersetzen Realsituationen (z. B. verschiedene Wachstumsprozesse) in mathematische Modelle (Tabellen, Graphen, Terme für Funktionen und Folgen) Validieren analysieren, vergleichen und bewerten verschiedene mathematische Modelle für eine Realsituation variieren Modelle zu gegebener Realsituation Realisieren geben zu einem mathematischen Modell (z. B. lineare und exponentielle Funktionen) eine passende Realsituation an

Arithmetik / Algebra – mit Zahlen und Symbolen umgehen

Ende Jahrgangsstufe 6

stellen natürliche Zahlen (Zahlenraum bis eine Million) und negative Zahlen auf verschiedene Weise dar: handelnd, zeichnerisch an verschiedenen Objekten (Zahlengerade, Stellenwerttafel für natürliche Zahlen, Wortform) und symbolisch (auch durch Zehnerpotenzen) deuten Dezimalzahlen und Prozente als eine Darstellungsform für Brüche und wandeln sie in die jeweils andere Darstellungsform um Beschreiben beschreiben Anteile, relative Anteile (auch Anteile von Anteilen), Größen und Quotienten durch Brüche finden durch Vergröbern und Verfeinern gleichwertige Brüche und nutzen Kürzen und Erweitern als syntaktischen Weg zum Finden gleichwertiger Brüche beschreiben Vorgänge des immer genaueren Messens durch Dezimalzahlen beschreiben Größen relativ zu einer Vergleichsmarke durch negative Zahlen Ordnen ordnen und vergleichen natürliche, negative Zahlen, einfache Brüche und Dezimalzahlen Operieren runden natürliche Zahlen und Dezimalzahlen und führen Überschlagsrechnungen durch führen Grundrechenarten für natürliche Zahlen und Dezimalzahlen aus (Kopfrechnen und schriftliche Rechenverfahren) und nutzen Strategien für Rechenvorteile addieren und subtrahieren einfache Brüche, multiplizieren Brüche mit natürlichen Zahlen, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Dezimalzahlen Anwenden verwenden Größen (Längen, Flächeninhalte, Volumen, Gewichte, Zeit, Währungen) in Sachzusammenhängen und wandeln sie dazu geeignet um nutzen Größenvorstellungen zum Abschätzen und zum Veranschaulichen durch Repräsentanten untersuchen und beschreiben Muster und Beziehungen bei Zahlen untersuchen Eigenschaften von Zahlen, nutzen dabei Teiler und Vielfache und zerlegen in Primfaktoren, und nutzen Teilbarkeitsregeln (2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 25)

Ende Jahrgangsstufe 8

vergleichen rationale Zahlen und ordnen sie verschiedenen Zahlenmenge zu Beschreiben beschreiben inner- und außermathematische Zusammenhänge mit Variablen, Terme, Gleichungen und Gleichungssysteme erfassen Beziehungen zwischen Größen durch Tabellenkalkulation und nutzen dies für Berechnungen Operieren führen Grundrechenarten aus für rationale Zahlen führen verständig Berechnungen mit dem Taschenrechner durch berechnen Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert in Sachzusammenhängen (u.a. Zinsrechnung) und wenden die Prozentrechnung flexibel an ( auch mit Tabellenkalkulation) fassen Terme (auch mit Summen) zusammen, multiplizieren sie aus, faktorisieren sie und nutzen binomische Formeln lösen lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen durch Probieren, algebraisch und graphisch und überprüfen die Ergebnisse berechnen und überschlagen Quadratwurzeln einfacher Zahlen im Kopf Anwenden verwenden ihre Kenntnisse über rationale Zahlen und lineare Gleichungen und –systeme zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme

Ende Jahrgangsstufe 10

lesen und schreiben Zahlen in Zehnerpotenz-Schreibweise und erläutern die Potenzschreibweise mit ganzzahligen Exponenten Beschreiben beschreiben inner- und außermathematische Zusammenhänge und Prozesse mit Variablen, Termen, Gleichungen und Gleichungssystemen Operieren wenden das Radizieren als Umkehren des Potenzierens mit Stammbrüchen an lösen quadratische Gleichungen lösen exponentielle Gleichungen der Form bx=c näherungsweise durch Probieren und verwenden das Logarithmieren als Umkehroperation des Potenzierens unter Einsatz des Taschenrechners Anwenden verwenden ihre Kenntnisse über quadratische und exponentielle Gleichungen zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme Systematisieren unterscheiden rationale und irrationale Zahlen nennen inner- und außermathematische Gründe und Beispiele für die Zahlbereichserweiterung von den rationalen zu den reellen Zahlen erläutern die Approximation von irrationalen Zahlen, z. B. durch Intervallschachtelung und nutzen dazu einen intuitiven Grenzwertbegriff

Geometrie – ebene und räumliche Strukturen nach Maß und Form erfassen

Ende Jahrgangsstufe 6

beschreiben ebene und räumliche Figuren mit den Grundbegriffen Punkt, Strecke, Gerade, Radius, parallel, senkrecht, achsensymmetrisch, punktsymmetrisch benennen und charakterisieren Figuren (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Dreieck, Kreis) und Körper (Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel, Kugel) und identifizieren sie in ihrer Umwelt unterscheiden spitze, rechte, stumpfe und überstumpfe Winkel und bezeichnen Punkte, Strecken und Winkel mit Symbolen erkennen achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren in der Umwelt ordnen Körpern ihre Netze zu und erkennen fehlerhafte Netze Konstruieren zeichnen zueinander senkrechte und parallele Linien, spitze, rechte und stumpfe Winkel , ebene Figuren, Kreise und Muster spiegeln, verschieben und drehen Figuren in der Ebene zeichnen Schrägbilder von Würfel und Quader und bauen diese Körper auf der Grundlage selbst gezeichneter Körpernetze stellen Punkte, Strecken und einfache Figuren im Koordinatensystem dar Messen schätzen und messen Winkel messen und berechnen Umfang und Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck, Oberfläche und Volumen von Würfel und Quader

Ende Jahrgangsstufe 8

benennen und charakterisieren rechtwinklige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke, Parallelogramme, Rauten, Trapeze und regelmäßige Vielecke und identifizieren sie in ihrer Umwelt identifizieren Ähnlichkeitsbeziehungen in geometrischen Konstellationen und nutzen diese zur Berechung von Größen Erkunden verwenden dynamische Geometriesoftware zum Erkunden geometrischer Zusammenhänge, z. B. der Winkelsätze, besonderes Punkte im Dreieck, des Satzes des Thales oder Ähnlichkeitsbeziehungen

Ende Jahrgangsstufe 10

benennen und charakterisieren Körper (Zylinder, Pyramiden, Kegel, Kugeln) und identifizieren sie in ihrer Umwelt Konstruieren skizzieren Schrägbilder, entwerfen Netze von Zylindern, Pyramiden und Kegeln und stellen die Körper her Messen schätzen und bestimmen Umfänge und Flächeninhalte von Kreisen und zusammengesetzten Figuren sowie Oberflächen und Volumina von Zylindern, Pyramiden, Kegeln, Kugeln und zusammengesetzten Körpern Anwenden berechnen geometrische Größen und verwenden dazu die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens

Funktionale Zusammenhänge – Beziehungen und Veränderung beschreiben und erkunden

Ende Jahrgangsstufe 6

stellen Beziehungen zwischen Größen in (Werte-)Tabellen und Diagrammen in Koordinatensystemen dar Interpretieren entnehmen für einfache Sachzusammenhänge Informationen aus Tabellen und Diagrammen Erkunden untersuchen Folgen (in grafischer und arithmetischer Darstellung) auf Veränderungen und Muster Anwenden entnehmen Größen aus einer maßstäblichen Zeichnung und zeichnen Größen maßstabsgerecht rechnen mit maßstäblichen Angaben

Ende Jahrgangsstufe 8

stellen funktionale Zusammenhänge (auch lineare und quadratische) in eigenen Worten, in Wertetabellen, als Graphen und in Termen dar wechseln zwischen diesen Darstellungen und benennen Vor-, Nachteile und Grenzen der einzelnen Darstellungsarten Interpretieren interpretieren Graphen verschiedener funktionaler Zusammenhänge und Terme linearer Funktionen deuten die Parameter der Termdarstellungen von linearen und quadratischen Funktionen in der graphischen Darstellung und nutzen dies in Anwendungssituationen Erkunden erkunden und beschreiben (auch mit Tabellenkalkulationen) proportionale und antiproportionale, lineare und nicht lineare sowie quadratische Sachzusammenhänge (auch mit Tabellenkalkulation) und stellen Vermutungen auf erkunden Eigenschaften von linearen und quadratischen Funktionen (auch mit Tabellenkalkulation) und stellen Vermutungen auf Anwenden nutzen lineare und quadratische Funktionen und ihre Eigenschaften zur Bearbeitung außer- und innermathematischer Problemstellungen grenzen lineare und quadratische Zusammenhänge voneinander ab

Ende Jahrgangsstufe 10

stellen lineare, quadratische, exponentielle und trigonometrische funktionale Zusammenhänge und in eigenen Worten, in Wertetabellen, mit Graphen und in Termen dar wechseln zwischen verschiedenen Darstellungen (auch rechnergestützt) und benennen Vor- und Nachteile sowie Grenzen der einzelnen Darstellungsarten. Interpretieren deuten die Parameter der symbolischen Darstellungen von linearen, quadratischen und exponentiellen Funktionen inhaltlich und in der graphischen Darstellung und nutzen dies (auch rechnergestützt) zur Modellierung in Anwendungssituationen deuten und nutzen mittlere und lokale Änderungsraten in diskreten und kontinuierlichen Prozessen, die als Tabelle, Graph oder Term vorliegen beschreiben und interpretieren die Ableitung als lokale Änderungsrate und als Tangentensteigung, berechnen diese auch rechnergestützt und erläutern sie an Beispielen ermitteln Ableitungsfunktionen durch graphisches Differenzieren und deuten sie in Sachzusammenhängen Erkunden erkunden Wachstumsvorgänge mir Hilfe verschiedener Modelle, auch diskret durch Folgen und stellen Vermutungen auf erkunden rechnergestützt die Eigenschaften von Funktionen (z. B. die Bedeutung von Parametern in Termdarstellungen) und stellen Vermutungen auf

Stochastik – mit Daten und Zufall arbeiten

Ende Jahrgangsstufe 6

erheben Daten und fassen sie in Ur- und Strichlisten zusammen Darstellen ordnen Daten (z. B. Körpergröße, Strecken, Mengen, Anteile) und stellen sie grafisch durch geeignete Säuen- und Kreisdiagramme dar Auswerten / Analysieren bestimmen das arithmetische Mittel und den Zentralwert und erklären ihre Bedeutung untersuchen zufällige Phänomene durch einfache Zufallsexperimente und werten diese aus berechnen Wahrscheinlichkeiten für einstufige Zufallsexperimente bewerten Sachverhalte an Hand von statistischen Darstellungen Anforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 8

Ende Jahrgangsstufe 8

planen Datenerhebungen, führen sie durch und nutzen zur Erfassung der Daten auch Tabellenkalkulationen Darstellen erfassen mehrstufige Zufallsexperimente mit Hilfe von Baumdiagrammen stellen Häufigkeitsverteilungen im Säulen- und Kreisdiagramm und Boxplots dar und lesen sie Auswerten / Analysieren bestimmen absolute und relative Häufigkeiten benutzen relative Häufigkeiten von langen Versuchsreihen zur Schätzung von Wahrscheinlichkeiten bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten mit Hilfe der Laplace-Regel, bei mehrstufigen mit Hilfe der Pfadregeln verwenden Zufallsversuche zur Simulation zufälliger Erscheinungen in alltäglichen Situationen berechnen und interpretieren Mittelwert, Zentralwert und Spannweite, Quartile zu Häufigkeitsverteilungen und verwenden sie zur Darstellung als Boxplots Beurteilen / Interpretieren nutzen Wahrscheinlichkeiten zur Beurteilung von Chancen und Risiken und zur Schätzung von Häufigkeiten (z.B. in Spielsituationen) analysieren graphische statistische Darstellungen kritisch und erkennen Manipulationen

Ende Jahrgangsstufe 10

nutzen Darstellungen wie die Diagramme und Vierfeldertafel zur Strukturierung statistischer Aussagen Auswerten / Analysieren nutzen kombinatorische Überlegungen für geschicktes Zählen nutzen die Kenntnisse über mehrstufige Zufallsexperimente, um statistische Aussagen in authentischen Texten zu interpretieren und zu beurteilen (etwa Gesundheitstests mit Vierfeldertafel oder Pfadregeln)