K1 Mathematisch argumentieren

Mathematisch argumentieren Zu dieser Kompetenz gehören sowohl das Entwickeln eigenständiger, situationsangemessener mathematischer Argumentationen und Vermutungen als auch das Verstehen und Bewerten gegebener mathematischer Aussagen. Das Spektrum reicht dabei von einfachen Plausibilitätsargumenten über inhaltlich-anschauliche Begründungen bis zu formalen Beweisen. Typische Formulierungen, die auf die Kompetenz des Argumentierens hinweisen, sind beispielsweise „Begründen Sie!“, „Widerlegen Sie!“, „Gibt es?“ oder „Gilt das immer?“. Anforderungsbereich I: Die Lernenden können • Routineargumentationen (bekannte Sätze, Verfahren, Herleitungen usw.) wiedergeben und anwenden • einfache rechnerische Begründungen geben oder einfache logische Schlussfolgerungen ziehen • Argumentationen auf der Basis von Alltagswissen führen Anforderungsbereich II: Die Lernenden können • überschaubare mehrschrittige Argumentationen und logische Schlüsse nachvollziehen, erläutern oder entwickeln Anforderungsbereich III: Die Lernenden können • Beweise und anspruchsvolle Argumentationen nutzen, erläutern oder entwickeln • verschiedene Argumente nach Kriterien wie Reichweite und Schlüssigkeit bewerten

K2 Probleme mathematisch lösen

Probleme mathematisch lösen Diese Kompetenz beinhaltet, ausgehend vom Erkennen und Formulieren mathematischer Probleme, das Auswählen geeigneter Lösungsstrategien sowie das Finden und das Ausführen geeigneter Lösungswege. Das Spektrum reicht von der Anwendung bekannter bis zur Konstruktion komplexer und neuartiger Strategien. Heuristische Prinzipien, wie z. B. „Skizze anfertigen“, „systematisch probieren“, „zerlegen und ergänzen“, „Symmetrien verwenden“, „Extremalprinzip“, „Invarianten finden“ sowie „vorwärts und rückwärts arbeiten“, werden gezielt ausgewählt und angewendet. Anforderungsbereich I: Die Lernenden können • einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie, z. B. durch Analogiebetrachtung, finden Anforderungsbereich II: Die Lernenden können • einen Lösungsweg zu einer Problemstellung, z. B. durch ein mehrschrittiges, strategiegestütztes Vorgehen, finden Anforderungsbereich III: Die Lernenden können • eine Strategie zur Lösung eines komplexeren Problems, z. B. zur Verallgemeinerung einer Schlussfolgerung, durch Anwenden mehrerer Heurismen oder zur Beurteilung verschiedener Lösungswege, entwickeln und anwenden

K3 Mathematisch modellieren

Mathematisch modellieren Hier geht es um den Wechsel zwischen Realsituationen und mathematischen Begriffen, Resultaten oder Methoden. Hierzu gehört sowohl das Konstruieren passender mathematischer Modelle als auch das Verstehen oder Bewerten vorgegebener Modelle. Typische Teilschritte des Modellierens sind das Strukturieren und Vereinfachen gegebener Realsituationen, das Übersetzen realer Gegebenheiten in mathematische Modelle, das Interpretieren mathematischer Ergebnisse in Bezug auf Realsituationen und das Überprüfen von Ergebnissen im Hinblick auf Stimmigkeit und Angemessenheit bezogen auf die Realsituation. Das Spektrum reicht von Standardmodellen (z. B. bei linearen Zusammenhängen) bis zu komplexen Modellierungen. Anforderungsbereich I: Die Lernenden können • vertraute und direkt erkennbare Modelle anwenden • eine Realsituation direkt in ein mathematisches Modell überführen • ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen Anforderungsbereich II: Die Lernenden können • mehrschrittige Modellierungen mit wenigen und klar formulierten Einschränkungen vornehmen • Ergebnisse einer solchen Modellierung interpretieren • ein mathematisches Modell an veränderte Umstände anpassen Anforderungsbereich III: Die Lernenden können • eine komplexe Realsituation modellieren, wobei Variablen und Bedingungen festgelegt werden müssen • mathematische Modelle im Kontext einer Realsituation überprüfen, vergleichen und bewerten

K4 Mathematische Darstellungen verwenden

Mathematische Darstellungen verwenden Diese Kompetenz umfasst das Auswählen geeigneter Darstellungsformen, das Erzeugen mathematischer Darstellungen und das Umgehen mit gegebenen Darstellungen. Hierzu zählen Diagramme, Graphen und Tabellen ebenso wie Formeln. Das Spektrum reicht von Standarddarstellungen – wie Wertetabellen – bis zu eigenen Darstellungen, die dem Strukturieren und Dokumentieren individueller Überlegungen dienen und die Argumentation und das Problemlösen unterstützen. Anforderungsbereich I: Die Lernenden können • Standarddarstellungen von mathematischen Objekten und Situationen anfertigen und nutzen Anforderungsbereich II: Die Lernenden können • gegebene Darstellungen verständig interpretieren oder verändern • zwischen verschiedenen Darstellungen wechseln Anforderungsbereich III: Die Lernenden können • mit unvertrauten Darstellungen und Darstellungsformen sachgerecht und verständig umgehen • eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln • verschiedene Darstellungen und Darstellungsformen zweckgerichtet beurteilen

K5 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Diese Kompetenz beinhaltet in erster Linie das Ausführen von Operationen mit mathematischen Objekten wie Zahlen, Größen, Variablen, Termen, Gleichungen und Funktionen sowie Vektoren und geometrischen Objekten. Das Spektrum reicht hier von einfachen und überschaubaren Routineverfahren bis hin zu komplexen Verfahren einschließlich deren reflektierender Bewertung. Diese Kompetenz beinhaltet auch Faktenwissen und grundlegendes Regelwissen für ein zielgerichtetes und effizientes Bearbeiten von mathematischen Aufgabenstellungen, auch mit eingeführten Hilfsmitteln und digitalen Mathematikwerkzeugen. Anforderungsbereich I: Die Lernenden können • elementare Lösungsverfahren verwenden • Formeln und Symbole direkt anwenden • mathematische Hilfsmittel und digitale Mathematikwerkzeuge direkt nutzen Anforderungsbereich II: Die Lernenden können • formale mathematische Verfahren anwenden • mit mathematischen Objekten im Kontext umgehen • mathematische Hilfsmittel und digitale Mathematikwerkzeuge je nach Situation und Zweck gezielt auswählen und effizient einsetzen Anforderungsbereich III: Die Lernenden können • komplexe Verfahren durchführen • verschiedene Lösungs- und Kontrollverfahren bewerten • die Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren

K6 Mathematisch kommunizieren

Mathematisch kommunizieren Zu dieser Kompetenz gehören sowohl das Entnehmen von Informationen aus schriftlichen Texten, mündlichen Äußerungen oder sonstigen Quellen als auch das Darlegen von Überlegungen und Resultaten unter Verwendung einer angemessenen Fachsprache. Das Spektrum reicht von der direkten Informationsentnahme aus Texten des Alltagsgebrauchs bzw. vom Aufschreiben einfacher Lösungswege bis hin zum sinnentnehmenden Erfassen fachsprachlicher Texte bzw. zur strukturierten Darlegung oder Präsentation eigener Überlegungen. Sprachliche Anforderungen spielen bei dieser Kompetenz eine besondere Rolle. Anforderungsbereich I: Die Lernenden können • einfache mathematische Sachverhalte darlegen • Informationen aus kurzen Texten mit mathematischem Gehalt identifizieren und auswählen, wobei die Ordnung der Informationen im Text die Schritte der mathematischen Bearbeitung nahelegt Anforderungsbereich II: Die Lernenden können • mehrschrittige Lösungswege, Überlegungen und Ergebnisse verständlich darlegen • Äußerungen (auch fehlerhafte) anderer Personen zu mathematischen Aussagen interpretieren • mathematische Informationen aus Texten identifizieren und auswählen, wobei die Ordnung der Informationen nicht unmittelbar den Schritten der mathematischen Bearbeitung entsprechen muss Anforderungsbereich III: Die Lernenden können • eine komplexe mathematische Lösung oder Argumentation kohärent und vollständig darlegen oder präsentieren • mathematische Fachtexte sinnentnehmend erfassen • mündliche und schriftliche Äußerungen mit mathematischem Gehalt von anderen Personen miteinander vergleichen, sie bewerten und ggf. korrigieren

Basismodul 1: Grundlagen aus der Algebra

verwenden • die binomischen Formeln • die Potenzgesetze • die Logarithmusgesetze als Rechentechnik und setzen sie bedarfsgerecht ein. lösen folgende Arten von Gleichungen durch Auswahl und Durchführung geeigneter Verfahren: • lineare Gleichungen, • quadratische Gleichungen, • einfache Potenzgleichungen, • einfache Bruchgleichungen, • Wurzelgleichungen, • Exponentialgleichungen, • trigonometrische Gleichungen. führen komplexere Gleichungen gegebenenfalls auf die obigen Arten zurück. lösen Gleichungen näherungsweise und unter Zuhilfenahme digitaler Werkzeuge. lösen Ungleichungen. lösen einfache Gleichungssysteme.

Basismodul 2: Geometrie

stellen elementargeometrische, zweidimensionale Objekte im Koordinatensystem dar. nehmen Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken vor, indem sie die Sinus-, Kosinus- und Tangens-Beziehungen identifizieren und nutzen. deuten die trigonometrischen Zusammenhänge vor dem Hintergrund von Symmetrie.

Basismodul 3: Grundlagen zu Funktionen

sind vertraut mit dem Funktionsbegriff und verfügen über die relevanten Grundvorstellungen (Zuordnungs-, Kovariations- und Objektvorstellung): • verstehen Funktionen als eindeutige Zuordnungen mit Definitionsmenge, Wertebereich und Wertemenge. • beschreiben die Veränderung der abhängigen Variablen bei Variation der unabhängigen Variablen. • stellen Zusammenhänge durch Texte, Diagramme, Graphen, Tabellen und Formeln dar und wechseln situationsgerecht zwischen den Darstellungen bzw. können diese ineinander überführen. ermitteln zu gegebenen Argumenten zugehörige Funktionswerte und umgekehrt zu Funktionswerten zugehörige Argumente. ermitteln Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen (Nullstellen und y-Achsenabschnitt) und anderen Funktionsgraphen. ermitteln Symmetrien von Funktionsgraphen (auch grafisch) und begründen sie mit dem Funktionsterm: • Achsensymmetrie zur y-Achse, • Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung . ermitteln für die folgenden Transformationen von Funktionsgraphen die zugehörigen Funktionsgleichungen aus den ursprünglichen, indem sie entsprechende Parameter und Veränderungen an den Funktionstermen angeben: • Verschiebungen in x- und /oder y-Richtung, • Streckungen/Stauchungen in x- und / oder y-Richtung, • Achsenspiegelungen an den Koordinatenachsen und • Punktspiegelung am Koordinatenursprung. untersuchen das Verhalten von Funktionen im Unendlichen und ermitteln Grenzwerte. bestimmen waagerechte und senkrechte Asymptoten. bilden grafisch und rechnerisch Umkehrfunktionen und bestimmen deren Definitionsmege, Wertebereich und Wertemenge. erkennen in Anwendungssituationen funktionale Zusammenhänge als Zuordnungen zwischen Zahlen bzw. Größen in Tabellen, Graphen, Diagrammen und Sachtexten, beschreiben diese verbal, erläutern und beurteilen sie. wenden entsprechend den obigen Ausführungen die in BM 3.1 bis BM 3.7 genannten Kompetenzen auf folgende Funktionsklassen an: • Ganzrationale Funktionen o kennen für Funktionsterme die Normalform (Polynom) und die faktorisierte Form, führen diese (falls möglich) rechnerisch ineinander über und interpretieren die Bedeutung für die Funktion. • Exponentialfunktionen mit den Funktionstermen a · b^x o deuten die Parameter mit Blick auf Anfangswert, Wachstumsfaktor, Wachstums- und Zerfallsrate, Verdopplungs- und Halbwertszeit. wenden entsprechend den obigen Ausführungen die in BM 3.1 bis BM 3.7 genannten Kompetenzen an auf: • Trigonometrische Funktionen mit den Funktionstermen sin(x) und cos(x) o verwenden Grad- und Bogenmaß. o kennen die Bedeutung der Begriffe Amplitude und Periode. kennen und verwenden die Beziehung sin(x + π/2) = cos(x). wenden entsprechend den obigen Ausführungen die in BM 3.1 bis BM 3.7 genannten Kompetenzen an auf: • die Wurzelfunktion mit dem Funktionsterm √x, • die gebrochenrationale Funktion mit dem Term 1/x. gehen mit abschnittsweise definierten Funktionen um und erkennen Sprungstellen.

Analysis 1: Einführung in die Differentialrechnung

beschreiben und interpretieren bei funktionalen Zusammenhängen durchschnittliche Änderungsraten, berechnen diese mit Hilfe von Differenzenquotienten und veranschaulichen sie als mittlere Steigungen mit Sekanten und Steigungsdreiecken. verfügen über die folgenden, relevanten Grundvorstellungen der Differentialrechnung (lokale Änderungsrate, Tangentensteigung, lokale Linearität): • erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen Änderungsrate zur lokalen Änderungsrate. • deuten die lokale Änderungsrate grafisch als Tangente / Schmiegegerade. erkennen qualitativ die lokale Linearität von Funktionen bzw. die lokale Geradlinigkeit von Kurven. ermitteln an Beispielen die lokale Änderungsrate mit Hilfe des Differentialquotienten als Grenzwert von Differenzenquotienten. definieren die lokale Änderungsrate als die Ableitung an einer Stelle. deuten die Ableitung an einer Stelle grafisch als Steigung der Tangente / Schmiegegeraden an den Graphen im entsprechenden Punkt. definieren aus den Ableitungen an jeder Stelle die Ableitungsfunktion. berechnen Steigungswinkel von Tangenten. stellen die Gleichungen von Tangenten und Normalen auf. verstehen Zusammenhänge zwischen Graphen von Funktionen und ihren Ableitungen und begründen diese unter Verwendung von Begriffen wie Monotonie, Extrem- und Wendepunkt. ordnen Graphen von Funktionen und Ableitungen einander zu. skizzieren zu einem Funktionsgraphen den Graphen der Ableitungsfunktion („grafisches Differenzieren“). ermitteln Funktionsterme für (höhere) Ableitungsfunktionen analytisch unter Verwendung der Potenz-, Summen- und Faktorregel für • ganzrationale Funktionen, • die Wurzelfunktion mit dem Funktionsterm √x, • die gebrochenrationale Funktion mit dem Funktionsterm 1/x, • die Funktionen mit den Funktionstermen sin(x) und cos(x). beschreiben Monotonie und Krümmungsverhalten mithilfe von Ableitungen. begründen notwendige und hinreichende Kriterien für lokale Extrem- und für Wendestellen anschaulich aus der Betrachtung der Graphen zur Ausgangsfunktion und zu den Ableitungsfunktionen. ermitteln analytisch lokale/globale Extrempunkte, Wendepunkte sowie Sattelpunkte als besondere Wendepunkte. betrachten abschnittsweise definierte Funktionen und untersuchen die Übergänge auf Übereinstimmung der Funktionswerte und Ableitungswerte (Sprungfreiheit, Knickfreiheit). nutzen und interpretieren Ableitungen in Anwendungssituationen. ermitteln in Fällen ausgehend von vorgegebenen Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm.

Analysis 2: Einführung in die Integralrechnung

verfügen über die folgenden, relevanten Grundvorstellungen zum Integralbegriff (rekonstruierter Bestand, orientierter Flächeninhalt, Kumulationsvorstellung): • deuten das bestimmte Integral als aus Änderungen (re-)konstruierten Bestand. • interpretieren diesen (re-)konstruierten Bestand geometrisch als Summe orientierter Flächeninhalte. • deuten das bestimmte Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs als kumulierten Gesamteffekt o inhaltlich, indem Änderungen in zunehmend kleinen Intervallen zu einem Gesamteffekt aufsummiert werden, o geometrisch, indem die Flächenbilanz als Summe einer zunehmend großen Zahl schmaler werdender orientierter Flächen entsteht, o analytisch, indem Summen von Produkten aus Funktionswerten und zunehmend kleinen Intervallbreiten gebildet werden. ermitteln bestimmte Integrale mit Hilfe der in A 2.1 genannten Grundvorstellungen an einfachen Beispielen [LK: auch unter Verwendung von Ober- und Untersummen]. bestimmen in einfachen Fällen Integralfunktionen und erkennen den Zusammenhang von Integrieren und Differenzieren. verstehen [LK: und beweisen] den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und wenden ihn an. ermitteln Funktionsterme für Stammfunktionen analytisch unter Verwendung der Potenz-, Summen- und Faktorregel für ganzrationale Funktionen. skizzieren zu einem Graphen einer Funktion den Graphen einer dazugehörigen Stammfunktion („grafisches Integrieren“). ermitteln bestimmte Integrale mithilfe von Stammfunktionen und numerisch unter Verwendung digitaler Werkzeuge. bestimmen Integrationsgrenzen zu vorgegebenen Integralwerten. beherrschen • Rechenregeln für Integrationsgrenzen (Intervalladditivität), • Summen- und Faktorregel (Linearität) für Integrale. ermitteln Flächeninhalte • zwischen Funktionsgraphen und achsenparallelen Geraden und • zwischen Funktionsgraphen mithilfe von bestimmten Integralen. [LK: bestimmen mit Hilfe von Integralen Mittelwerte von Funktionswerten.] [LK: bestimmen Volumina von Rotationskörpern (Rotation nur um die Abszisse).] modellieren realitätsnahe Probleme und interpretieren dabei die Bedeutung des Integrals und der Stammfunktion in der jeweiligen Anwendungssituation.

Analysis 3: Fortführung der Analysis

kennen über die unter BM 3.8 bis BM 3.10 genannten Funktionen hinaus • Natürliche Exponentialfunktionen mit den Funktionstermen a · e^(k·x). o nutzen die besondere Eigenschaft der Zahl e und der natürlichen Exponentialfunktion sowie den Zusammenhang b^x = e^(ln(b)·x) zum Wechseln der Basis. o nutzen den natürlichen Logarithmus zum Lösen von Gleichungen. • Funktionen, deren Funktionsterme sich durch elementare Verknüpfungen (Summe, Produkt) und Verkettungen aus Termen der bekannten Funktionstypen ergeben. • Funktionen mit Parametern. • [LK: Untersuchung des Scharcharakters von Funktionen mit Parametern.] [LK: kennen über die unter BM 3.8 bis BM 3.10 und A 3.1 genannten Funktionen hinaus • die natürliche Logarithmusfunktion mit dem Funktionsterm ln(x), • natürliche Logarithmusfunktionen, die durch die in BM 3.4 beschriebenen Transformationen aus der natürlichen Logarithmusfunktion mit dem Funktionsterm ln(x) hervorgehen, als Umkehrfunktionen von natürlichen Exponentialfunktionen.] nutzen folgende Zusammenhänge zum Differenzieren und Integrieren für • die natürliche Exponentialfunktion: (e^x)' = e^x, • [LK: die natürliche Logarithmusfunktion: (ln(x))' = 1/x], • die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion: (sin(x))' = cos(x) und (cos(x))' = −sin(x), • Potenzfunktionen: (a · x^r)' = r · a · x^(r−1) mit a, r ∈ ℝ, r ≠ 0. wenden über die unter A 1.6 genannten Regeln hinaus die Produktregel und die Kettenregel an, um Funktionsterme für (höhere) Ableitungsfunktionen analytisch zu ermitteln. bilden Stammfunktionen für: • Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten, • verkettete Funktionen, deren innere Funktion linear ist (Lineare Substitution). wenden für die unter A 3.1 [LK: und A 3.2] genannten Funktionen die folgenden Verfahren an: • aus BM 3.2 bis BM 3.7 o einem Argument den zugehörigen Funktionswert zuordnen und umgekehrt; Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen bestimmen; Symmetriebetrachtungen; Transformationen von Funktionsgraphen und zugehörige Parameter; Verhalten im Unendlichen und Asymptoten; funktionale Zusammenhänge in Anwendungssituationen. • aus A 1.4 bis A1.5, A 1.7 bis A 1.12 o Steigungswinkel von Tangenten sowie Tangenten- und Normalengleichungen ermitteln; Monotonie- und Krümmungsverhalten mithilfe von Ableitungen beschreiben; Betrachtungen zu Extrem- und Wendepunkten; Betrachtungen zu abschnittweise definierten Funktionen; Ableitungen in Anwendungssituationen; Bestimmung von Funktionstermen. • aus A 2.5 bis A 2.10 o Bestimmte Integrale unter Beachtung relevanter Rechenregeln ermitteln; Flächeninhalte [LK: sowie Mittelwerte und Volumina von Rotationskörpern] ermitteln; Integrale im Zusammenhang mit Anwendungssituationen. [LK: über die unter A 3.6 genannten Verfahren hinaus: • nutzen die Technik der Substitution zur Lösung biquadratischer Gleichungen. • begründen Achsensymmetrien zu Parallelen zu den Koordinatenachsen. • begründen Punktsymmetrien zu beliebigen Punkten. • führen Spiegelungen an beliebigen waagerechten und senkrechten Achsen durch. • ermitteln Gleichungen von Ortskurven für geeignete parametrisierte Punkte. • bestimmen uneigentliche Integrale.] untersuchen begrenzte Wachstums- und Zerfallsprozesse [LK: und logistische Wachstumsprozesse] in Anwendungssituationen. [LK: kennen Differentialgleichungen zur Untersuchung von exponentiellem, beschränktem und logistischem Wachstum: • stellen passende Differentialgleichungen auf. • weisen die Gültigkeit gegebener Differentialgleichungen nach.]

Stochastik 1: Grundlagen der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung

erweitern Ihr Verständnis für Kombinatorik, indem sie Wahrscheinlichkeiten und Anzahlmöglichkeiten für • Permutationen mit Wiederholungen, • Kombinationen ohne Wiederholung, • Permutationen ohne Wiederholung, • [LK: Kombinationen mit Wiederholung] ggf. mithilfe von Binomialkoeffizienten bestimmen. erweitern ihre Statistik-Kenntnisse, indem sie • den arithmetischen Mittelwert, die empirische Varianz und die empirische Standardabweichung für verschiedene relative und absolute Häufigkeitsverteilungen bestimmen. • verschiedene Häufigkeitsverteilungen mithilfe der eingeführten Kenngrößen und Darstellungen auch mithilfe von Simulationen analysieren und vergleichen, um Chancen und Risiken in stochastischen Sachkontexten zu beurteilen. beschreiben und verwenden Zufallsexperimente. greifen je nach Situation auf angemessene Grundvorstellungen zum Wahrscheinlichkeitsbegriff (z. B. als prognostische Erwartung, als relative Häufigkeit, als relativer Anteil) zurück und erläutern im Rahmen des empirischen Gesetzes der großen Zahlen, dass die bei einer Stichprobe erhobene relative Häufigkeit nur eine Schätzung der unbekannten Wahrscheinlichkeit darstellt. stellen Vereinigungsmengen, Schnittmengen, Differenzmengen, Und-/Oder-Verknüpfungen symbolisch und mit Diagrammen dar. verstehen und nutzen die grundsätzlichen Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten im Sinne der Axiome von Kolmogorow. nutzen die Summenregeln und die Komplementärregel für Ereignisse, um Wahrscheinlichkeiten und Gegenwahrscheinlichkeiten zu ermitteln. untersuchen Ereignisse auf stochastische Abhängigkeit oder stochastische Unabhängigkeit. stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsgrößen mit Histogrammen dar und bestimmen dafür Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung, um Chancen, Risiken und Prognosen in stochastischen Sachkontexten zu beurteilen. erweitern ihre Kenntnisse über mehrstufige Zufallsexperimente mit verschiedenen Anwendungsbezügen, indem sie Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln ggf. mit Parametern darstellen und berechnen. nutzen Baumdiagramme und Vierfeldertafeln, um bedingte Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu erkennen, zu deuten und zu berechnen. nutzen Baumdiagramme und Vierfeldertafeln, um stochastische Abhängigkeit und stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen zu erkennen, zu deuten und nachzuweisen. [LK: nutzen auch formal den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und den Satz von Bayes. ] entnehmen Daten aus Texten, Histogrammen, Tabellen und anderen Darstellungsformen, prüfen ihre Plausibilität mithilfe stochastischer Methoden, beurteilen wahrscheinlichkeitsbasierte Aussagen und ziehen selbst geeignete Schlüsse. erkennen, erläutern und beurteilen in Anwendungssituationen stochastische Zusammenhänge und wenden die in S 1.1 bis S 1.8 genannten Kompetenzen an.

Stochastik 2: Die Binomialverteilung als spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

beurteilen die Anwendbarkeit der Binomialverteilung mit dem Stichprobenumfang (n) und der Trefferwahrscheinlichkeit (p) zur Modellierung von Zufallsexperimenten zur Übertragung von Eigenschaften einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit und umgekehrt von Eigenschaften der Grundgesamtheit auf eine Stichprobe. berechnen Wahrscheinlichkeiten und kumulierte Wahrscheinlichkeiten von binomialverteilten Zufallsgrößen auch mithilfe digitaler Werkzeuge und deuten die Faktoren im Term ∑_{k=a}^{b} (n über k) · p^k · (1 − p)^(n−k). stellen Wahrscheinlichkeiten von Binomialverteilungen mit Histogrammen dar und visualisieren deren kumulierte Wahrscheinlichkeiten auch mit digitalen Mathematikwerkzeugen. bestimmen anhand von Bedingungen Stichprobenumfang, Trefferwahrscheinlichkeit, Erwartungswert (μ), Standardabweichung (σ) einer Binomialverteilung. vergleichen Binomialverteilungen miteinander in Bezug auf die Kenngrößen auch unter Verwendung von Sigma-Regeln. beurteilen damit Chancen, Risiken und Prognosen in stochastischen Sachkontexten. Alternative SP (Schätzung von Parametern) [LK: können in Sachkontexten für binomialverteilte Zufallsgrößen Aussagen über die unbekannte Wahrscheinlichkeit sowie Unsicherheit und Genauigkeit dieser Aussagen begründen, d.h.: grenzen Punktschätzungen von Intervallschätzungen ab. bestimmen Konfidenzintervalle von Sicherheitswahrscheinlichkeiten auch unter Verwendung von Sigma-Regeln, um von der Gesamtheit auf die Stichprobe zu schließen. erstellen Prognose über zu erwartende relative Häufigkeiten auch mithilfe der Regeln über X/n-Umgebungen von p.] Alternative HY (Hypothesentests) [LK: beherrschen in Sachkontexten einseitige und zweiseitige Signifikanztests (Hypothesentests) für binomialverteilte Zufallsgrößen, d.h.: formulieren Hypothesen (H₁) und entsprechende Nullhypothesen (H₀). bestimmen Annahme- und Verwerfungsbereiche für vorgegebene Signifikanzniveaus auch unter Verwendung von Sigma-Regeln, geben begründet Entscheidungsregeln an und untersuchen Entscheidungsfragen. erläutern den Fehler 1. Art (α-Fehler) und den Fehler 2. Art (β-Fehler) im Kontext und berechnen deren Wahrscheinlichkeiten.] entnehmen Daten aus Texten, Histogrammen, Tabellen und anderen Darstellungsformen, prüfen ihre Plausibilität mithilfe stochastischer Methoden, beurteilen wahrscheinlichkeitsbasierte Aussagen und ziehen selbst geeignete Schlüsse. erkennen, erläutern und beurteilen in Anwendungssituationen stochastische Zusammenhänge und wenden die in S 2.1 bis S 2.6 genannten Kompetenzen an.

Stochastik 3: Normalverteilungen als Beispiel für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

[LK: stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen stetiger Zufallsgrößen mit stetigen Funktionen dar und bestimmen dafür • Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung, um Chancen, Risiken und Prognosen in stochastischen Sachkontexten zu beurteilen. • Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mithilfe von Integralen.] [LK: stellen die Gaußsche Glockenkurve grafisch dar, interpretieren sie als Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung. verwenden Normalverteilungen der Form 1/√(2πσ²) · e^(−(x−μ)²/(2σ²)) mit ihren Kenngrößen als mathematisches Modell zur Beschreibung stetiger Zufallsgrößen.] [LK: beurteilen die Approximierbarkeit der Binomialverteilung durch die Normalverteilung auf Basis der Laplace-Bedingung.] [LK: nutzen σ-Umgebungen oder die Dichtefunktion der Normalverteilung zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei • Konfidenzintervallen (Alternative S 2.4 SP) oder • Signifikanztests (Alternative S 2.5 HY).] [LK: entnehmen Daten aus Texten, Histogrammen, Tabellen und anderen Darstellungsformen, prüfen ihre Plausibilität mithilfe stochastischer Methoden, beurteilen wahrscheinlichkeitsbasierte Aussagen und ziehen selbst geeignete Schlüsse. erkennen, erläutern und beurteilen in Anwendungssituationen stochastische Zusammenhänge und wenden die in S 3.1 bis S 3.5 genannten Kompetenzen an.]

Lineare Algebra 1: Vektoren in geometrischen Zusammenhängen für den Schwerpunkt LA

definieren Vektoren als reelles Zahlentupel und verfügen im zwei- bzw. dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem über geometrische Vorstellungen von Vektoren in folgenden Kontexten: • Ortsvektor eines Punktes, • Verbindungsvektor zwischen Punkten, • Verschiebungspfeil mit Richtung, Länge und Orientierung (Pfeilklasse) und interpretieren Vektoren als gerichtete Größen. zeichnen mathematische Objekte mit Hilfe von Punkten im zwei- und dreidimensionalen Koordinatensystem und interpretieren gezeichnete Objekte. addieren und subtrahieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar. nutzen und deuten Linearkombinationen von Vektoren zur Lösung geometrischer Problemstellungen. untersuchen zwei Vektoren auf Kollinearität und deuten diese geometrisch. berechnen den Betrag eines Vektors und deuten diesen geometrisch. berechnen das Skalarprodukt zweier Vektoren und nutzen dies, um • Winkel als spitz, stumpf oder rechten Winkel zu identifizieren. • Winkelgrößen zu berechnen. erkennen, erläutern und beurteilen in Anwendungssituationen geometrische Zusammenhänge und wenden die in LA 1.1 bis LA 1.6 genannten Kompetenzen an.

Lineare Algebra 2: Lineare Gleichungssysteme (LGS) und Matrizenkalkül für den Schwerpunkt LA

ermitteln Lösungsmengen für LGS (auch mit Parametern) mit keiner, einer oder unendlich vielen Lösungen, nutzen dabei verschiedene Lösungsverfahren. wenden als systematisches Verfahren den Gauß-Algorithmus an und erläutern die zugrunde liegenden Äquivalenzumformungen. erkennen unter- und überbestimmte LGS und reduzieren diese gegebenenfalls. fassen m × n-Matrizen als Tabellen mit n Zeilen und m Spalten und Vektoren als Matrizen mit nur einer Spalte auf. addieren und subtrahieren Matrizen, multiplizieren Matrizen mit einem Skalar. beherrschen die Multiplikation von Matrizen, erkennen diese als nicht kommutativ und bestimmen Inverse zu m × n-Matrizen. multiplizieren Matrizen mit Vektoren. fassen Matrizen und Vektoren als Datenspeicher auf. nutzen LGS auch in Form von Matrix-Vektor Gleichungen zur Lösung von Problemstellungen in einfachen Anwendungssituationen. bestimmen zu gegeben Eigenwerten die passsenden Eigenvektoren von n × n-Matrizen. bestimmen zu gegeben Eigenvektoren die passsenden Eigenwerte von n × n-Matrizen. [LK: bestimmen charakteristische Polynome von 2 × 2-Matrizen. bestimmen Eigenwerte von n × n-Matrizen mithilfe gegebener charakteristischer Polynome und erkennen den dominanten Eigenwert.] stellen Produktionsverflechtungen in Verflechtungsdiagrammen (Gozintographen) dar, beschreiben diese mithilfe von Übergangsmatrizen und deuten die Matrizenelemente sachgerecht als Ressourcenmengen. untersuchen Produktionsverflechtungen mit Matrix-Vektorgleichungen.

Lineare Algebra 3: Iterative Prozesse: Umverteilungen

modellieren Umverteilungen als iterative Prozesse: • stellen diese in Übergangsdiagrammen dar. • beschreiben diese mithilfe von stochastischen Matrizen. • deuten Matrizenelemente sachgerecht als Übergangswahrscheinlichkeiten. bestimmen, überprüfen und deuten Vektoren, die nachfolgende und vorausgehende Zustände beschreiben unter Verwendung von • Matrix-Multiplikationen, • Matrix-Potenzen, • Inversen, • Gleichungssystemen. bestimmen, überprüfen und deuten Vektoren, die prozentuale Zustandsverteilungen beschreiben. bestimmen, überprüfen und deuten Fixvektoren, die stationäre Zustände beschreiben. untersuchen das Langzeitverhalten für Umverteilungen. bestimmen und deuten Grenzvektoren und Grenzmatrizen für Umverteilungen. vergleichen, validieren und modifizieren Modelle auch unter Berücksichtigung zusätzlicher Einflussgrößen und operieren sachgerecht mit zusätzlichen Parametern.

Lineare Algebra 4: Iterative Prozesse: Populationsentwicklungen

modellieren Populationsentwicklungen als iterative Prozesse: • stellen diese in Übergangsdiagrammen dar. • beschreiben diese mithilfe von Populationsmatrizen. • deuten Matrizenelemente sachgerecht als Überlebens- und Reproduktionsraten. bestimmen, überprüfen und deuten Vektoren, die nachfolgende und vorausgehende Zustände beschreiben unter Verwendung von • Matrix-Multiplikationen, • Matrix-Potenzen, • Inversen, • Gleichungssystemen. bestimmen, überprüfen und deuten Vektoren, die prozentuale Zustandsverteilungen beschreiben. bestimmen, überprüfen und deuten Fixvektoren, die stationäre Zustände beschreiben. bestimmen, überprüfen und deuten Wachstumsfaktoren sowie Wachstumsraten, die die (prozentuale) Zunahme oder Abnahme zwischen verschiedenen Zuständen beschreiben. untersuchen das Langzeitverhalten für Populationsentwicklungen. beschreiben zerfallende, konvergierende und expandierende Populationsentwicklungen. unterscheiden zyklische und stabile Populationsentwicklungen. bestimmen und deuten zyklische Wachstumsfaktoren für zyklische Populationsmatrizen. Deuten Eigenwerte von stabilen Populationsmatrizen als stabile Wachstumsfaktoren und die zugehörigen Eigenvektoren als stabile Zustände. berechnen und deuten stabile prozentuale Zustandsverteilungen. [LK: stellen beliebige Zustände als Linearkombination aus Eigenvektoren von stabilen Populationsmatrizen dar. untersuchen das Langzeitverhalten für Populationsentwicklungen ausgehend von beliebigen Zuständen mithilfe von Eigenwerten und Linearkombinationen aus Eigenvektoren. überprüfen und deuten die Existenz von Grenzvektoren und Grenzmatrizen für stabile Populationsmatrizen.] beschreiben und untersuchen Populationsentwicklungen mit einfachen Exponentialfunktionen der Form a · b^x im Vergleich zur Betrachtung mit Vektoren und Matrizen. vergleichen, validieren und modifizieren Modelle auch unter Berücksichtigung zusätzlicher Einflussgrößen und operieren sachgerecht mit zusätzlichen Parametern.

Analytische Geometrie 1: Lineare Gleichungssysteme (LGS) und Matrizenkalkül für den Schwerpunkt AG

ermitteln Lösungsmengen für LGS (auch mit Parametern) mit keiner, einer oder unendlich vielen Lösungen, nutzen dabei verschiedene Lösungsverfahren. wenden als systematisches Verfahren den Gauß-Algorithmus an und erläutern die zugrunde liegenden Äquivalenzumformungen. vergleichen Lösungsverfahren für LGS in verschiedenen Schreibweisen (als einzelne Gleichungen, als Gleichungssystem, als erweiterte Koeffizientenmatrix). erkennen unter- und überbestimmte LGS und reduzieren überbestimmte LGS gegebenenfalls.

Analytische Geometrie 2: Vektoren in geometrischen Zusammenhängen für den Schwerpunkt AG

definieren Vektoren als reelles Zahlentupel und verfügen im zwei- bzw. dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem über geometrische Vorstellungen von Vektoren in folgenden Kontexten: • Ortsvektor eines Punktes, • Verbindungsvektor zwischen Punkten, • Verschiebungspfeil mit Richtung, Länge und Orientierung (Pfeilklasse) und interpretieren Vektoren als gerichtete Größen. zeichnen mathematische Objekte mit Hilfe von Punkten im zwei- und dreidimensionalen Koordinatensystem und interpretieren gezeichnete Objekte. addieren und subtrahieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar. nutzen und deuten Linearkombinationen von Vektoren zur Lösung geometrischer Problemstellungen. untersuchen zwei Vektoren auf Kollinearität und deuten diese geometrisch. [LK: untersuchen Vektoren auf lineare Abhängigkeit und deuten diese geometrisch.] berechnen den Betrag eines Vektors und deuten diesen geometrisch. normieren einen Vektor zu einem Einheitsvektor. berechnen das Skalarprodukt zweier Vektoren und nutzen dies, um • Winkel als spitz, stumpf oder rechten Winkel zu identifizieren. • Winkelgrößen zu berechnen. • [LK: die Länge der Projektion eines dieser Vektoren auf den anderen zu berechnen.] berechnen das Vektorprodukt zweier Vektoren und nutzen dies, um • einen zu den ursprünglichen Vektoren orthogonalen Vektor zu ermitteln, • Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken zu bestimmen. erkennen, erläutern und beurteilen in Anwendungssituationen geometrische Zusammenhänge und wenden die in AG 2.1 bis AG 2.7 genannten Kompetenzen an.

Analytische Geometrie 3: Geraden

stellen Geraden und Strecken vektoriell mittels Stütz- und Richtungsvektor mit Gleichungen in Parameterform bzw. in Form parametrisierter Punkte dar. stellen Geradenscharen mit Gleichungen dar. veranschaulichen Geraden und Strecken mittels Stütz- und Richtungsvektor. geben Geraden- und Streckenpunkte an und führen Punktproben durch. berechnen und erkennen Spurpunkte von Geraden und erkennen besondere Lagen von Geraden im Koordinatensystem. untersuchen die Lagebeziehung zweier Geraden: • identisch, • echt parallel, • windschief, • sich schneidend und berechnen gegebenenfalls den Schnittpunkt. nutzen Geraden und Geradenscharen zur Darstellung von Flächen und Körpern. erkennen, erläutern und beurteilen in Anwendungssituationen geometrische Zusammenhänge und wenden die in AG 3.1 bis AG 3.3 genannten Kompetenzen an.

Analytische Geometrie 4: Ebenen

stellen Ebenen mit Gleichungen in Koordinatenform, in Parameterform [LK: und in Normalenform] dar. überführen Gleichungsformen von Ebenen ineinander. stellen Ebenenscharen mit Gleichungen dar. veranschaulichen Ebenen mittels • (Spur-)Punkten, • Stützvektor und Spannvektoren, • Stützvektor und Normalenvektor. geben Punkte in Ebenen, Flächen und Körpern an und führen Punktproben durch. erkennen und berechnen Spurpunkte [LK: und Spurgeraden] von Ebenen und erkennen besondere Lagen von Ebenen im Koordinatensystem. untersuchen die Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und einer Ebene: • echt parallel, • die Gerade liegt in der Ebene, • die Gerade durchstößt die Ebene und berechnen gegebenenfalls den Durchstoßpunkt. untersuchen die Lagebeziehungen zweier Ebenen: • identisch, • echt parallel, • sich schneidend. stellen Gleichungen von Geraden und Ebenen auf, die parallel oder orthogonal zu gegebenen Geraden oder Ebenen sind. nutzen Ebenen und Ebenenscharen zur Darstellung von Flächen und Körpern. erkennen, erläutern und beurteilen in Anwendungssituationen geometrische Zusammenhänge und wenden die in AG 4.1 bis AG 4.5 genannten Kompetenzen an.

Analytische Geometrie 5: Projektionen, Spiegelungen, Abstände und Winkel

führen Projektionen von Punkten und Geraden auf Koordinatenebenen durch. führen Spiegelung von Punkten [LK: und Geraden] an Ebenen durch. berechnen Abstände • zwischen zwei Punkten, • von einem Punkt zu einer Ebene mit Hilfsgerade [LK: und Abstandsformel], [LK: • von einer Geraden zu einer Ebene mit Hilfsgerade, • von einer Ebene zu einer Ebene mit Hilfsgerade, • von einem Punkte zu einer Geraden mit Hilfsebene, • von einer Geraden zu einer Geraden mit Hilfsebene.] berechnen Winkelgrößen zwischen • zwischen zwei Geraden, • zwischen einer Geraden und einer Ebene, • zwischen zwei Ebenen. erkennen, erläutern und beurteilen in Anwendungssituationen geometrische Zusammenhänge und wenden die in AG 5.1 bis AG 5.5 genannten Kompetenzen an.