Anforderungsbereiche I–III

geben vertraute Argumentationen wieder (wie Rechnungen, Verfahren, Herleitungen, Sätze) und wenden diese an. formulieren typische Fragen, die auf Argumentationen zielen („Wie verändert sich …?“, „Ist das immer so …?“). geben einfache rechnerische Begründungen oder ziehen einfache logische Schlussfolgerungen. begründen angemessen auch auf Basis von Alltagswissen. entwickeln und erläutern überschaubare mehrschrittige Argumentationen. erläutern Lösungswege und prüfen sie u. a. auf Konsistenz. bewerten Ergebnisse und Aussagen auch bzgl. ihres Anwendungskontextes. erläutern mathematische Zusammenhänge, Ordnungen und logische Strukturen. entwickeln und erläutern komplexe Argumentationen – auch Beweise. bewerten verschiedene Argumentationen (z. B. in Texten und Darstellungen aus digitalen Medien). stellen selbstständig Fragen, die für die Mathematik charakteristisch sind, und äußern begründet Vermutungen.

Anforderungsbereiche I–III

formulieren einfache mathematische Sachverhalte mit eigenen Worten und mithilfe mathematischer Begriffe mündlich und schriftlich. entnehmen Informationen aus mathematikhaltigen Texten und Abbildungen. reagieren sach- und adressatengerecht auf Fragen und Kritik zu eigenen Lösungen. stellen Überlegungen, mehrschrittige Lösungswege bzw. Ergebnisse und Verfahren verständlich dar. erfassen, interpretieren und deuten komplexere mathematikhaltige Texte und Abbildungen sinnentnehmend und strukturieren Informationen. verwenden die mathematische Fachsprache situationsangemessen und erklären ihre Bedeutung. gehen fachbezogen auf Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten ein (z. B. konstruktiver Umgang mit Fehlern, Weiterführen mathematischer Ideen). präsentieren sachgerecht komplexe mathematische Sachverhalte mündlich und schriftlich. interpretieren und beurteilen komplexe mathematische Texte sinnentnehmend. vergleichen und bewerten Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten sachlich und fachlich angemessen.

Anforderungsbereiche I–III

geben Heurismen an (z. B. Skizze erstellen, systematisch probieren). lösen einfache Probleme mit bekannten heuristischen Strategien (z.B. systematisches Probieren). formulieren Problemstellungen. wählen geeignete heuristische Strategien zur Lösung entsprechender Probleme aus. überprüfen die Plausibilität von Ergebnissen. lösen anspruchsvolle, komplexe oder offen formulierte Probleme. reflektieren das Finden von Lösungsideen, vergleichen und beurteilen verschiedene Lösungswege.

Anforderungsbereiche I–III

ordnen Realsituationen aus dem Alltag mathematische Objekte zu. nutzen bekannte und direkt erkennbare Modelle. prüfen die Passung der Resultate zur Aufgabenstellung. wählen ein geeignetes mathematisches Modell aus. nehmen Mathematisierungen vor, die mehrere Schritte erfordern. interpretieren Ergebnisse einer Modellierung. prüfen Ergebnisse einer Modellierung auf Plausibilität in Bezug auf die Ausgangssituation. ordnen einem mathematischen Modell passende Situationen zu. modellieren komplexe oder unvertraute Situationen und entwickeln ggf. eigene Modelle. reflektieren und beurteilen verwendete mathematische Modelle kritisch, z. B. in Bezug auf die Realsituation. entscheiden, ob der Modellierungskreislauf erneut durchlaufen werden sollte.

Anforderungsbereiche I–III

nutzen und erzeugen vertraute und geübte Darstellungen von mathematischen Objekten und Situationen. interpretieren vertraute Darstellungen. wählen eine Darstellung passend zur Problemstellung aus. wechseln sachgerecht zwischen mathematischen Darstellungen und erklären, wie sie vernetzt sind. übersetzen symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache – und umgekehrt. entwickeln eigene Darstellungen. analysieren und beurteilen verschiedene Formen der Darstellung entsprechend ihres Zwecks. interpretieren nicht vertraute Darstellungen und beurteilen ihre Aussagekraft.

Anforderungsbereiche I–III

verwenden Routineverfahren. gehen mit vertrauten mathematischen Objekten um. führen komplexere Lösungs- und Kontrollverfahren aus. beschreiben die innere Struktur mathematischer Objekte und gehen flexibel und sicher mit ihnen um. bewerten Lösungs- und Kontrollverfahren hinsichtlich ihrer Effizienz. beschreiben die innere Struktur von Lösungsverfahren, erfassen deren Allgemeingültigkeit und übertragen die Verfahren auf neue Situationen. führen komplexe Verfahren durch.

Anforderungsbereiche I–III

verwenden allgemeine Medien zur Kommunikation (z. B. Recherche in Fachliteratur oder Internet, Nutzung von Lernplattformen) und zur Präsentation mathematischer Inhalte in Situationen, in denen der Einsatz geübt wurde. nutzen analoge und digitale Lernumgebungen zum Lernen von Mathematik. nutzen analoge und digitale Mathematikwerkzeuge (z. B. Tabellenkalkulation, modulares Mathematiksystem, dynamische Geometrie-Software), indem sie mit diesen o Terme faktorisieren und ausmultiplizieren, o Wertetabellen erstellen, o Punkte und Funktionsgraphen anzeigen, o Ableitungsfunktionen, Stammfunktionen und bestimmte Integrale angeben, o Gleichungen und Gleichungssysteme lösen, o mit Matrizen und Vektoren rechnen, Matrixinverse und Skalarprodukte bestimmen, o Zufallszahlen erzeugen, o Werte für Wahrscheinlichkeitsverteilungen finden, o Fakultäten und Binomialkoeffizienten bestimmen. ziehen Informationen aus mathematikhaltigen Darstellungen in Alltagsmedien. nutzen analoge und digitale Mathematikwerkzeuge (z. B. dynamische Geometrie-Software, Tabellenkalkulation, modulares Mathematiksystem, Stochastiktool (Stochastiktools sind dynamische digitale Mathematikwerkzeuge zur interaktiven Datenerfassung undanalyse sowie zur stochastischen Simulation) etc.) zum Problemlösen, Entdecken, Modellieren, Daten-Erarbeiten, Kontrollieren und Darstellungswechseln etc. nutzen weitere mathematikspezifische Medien (z. B. Apps zur Lernstandsbestimmung, Erklärvideos zum Verstehen, Programme zum Üben) zum selbstgesteuerten Lernen und Anwenden von Mathematik. nutzen bekannte Algorithmen mit digitalen Mathematikwerkzeugen. vergleichen mathematikhaltige Informationen und Darstellungen in Alltagsmedien unter mathematischen Gesichtspunkten. wählen analoge und digitale Medien kriteriengeleitet je nach Zielsetzung bewusst aus. gehen mit digitalen Mathematikwerkzeugen flexibel um, indem sie o Objekte der begrenzten Größe des Bildschirms anpassen, o beim Versagen eines Standardvorgehens oder -befehls Alternativen finden und nutzen, o Einstellungen des Werkzeugs situationsadäquat vornehmen, o Fehlermeldungen angemessen deuten. reflektieren Möglichkeiten und Grenzen der Nutzung mathematikspezifischer Medien, auch im Vergleich zwischen analogem und digitalem Medium. konzipieren und erstellen selbst analoge und digitale Medien, um mathematische Sachverhalte darzustellen oder zu bearbeiten, und stellen ihre Ergebnisse vor (z. B. Präsentation, Videos). beurteilen analoge und digitale Medien kriteriengeleitet je nach Zielsetzung. beurteilen mathematikhaltige Informationen und Darstellungen in Alltagsmedien unter mathematischen Gesichtspunkten. setzen bekannte mathematische Verfahren mithilfe digitaler Werkzeuge (z. B. Tabellenkalkulation) als Algorithmus um. nutzen Algorithmen mithilfe digitaler Werkzeuge, um den jeweils zugrundeliegenden mathematischen Inhalt zu untersuchen. reflektieren bei der Arbeit mit digitalen Mathematikwerkzeugen die Ergebnisse, indem sie o die mathematische Konsistenz überprüfen, o Rundungsphänomene erkennen und beurteilen, o technikbedingte falsche oder fehlende Lösungen erkennen und beurteilen.

Digitale Kompetenzen

klären Arbeits- und Suchinteressen und legen diese fest. nutzen Suchstrategien in digitalen Umgebungen und entwickeln diese weiter. identifizieren relevante Quellen und führen diese zusammen. überprüfen die Plausibilität von Vermutungen an Beispielen und suchen Gegenbeispiele. analysieren, Informationsquellen analysieren und bewerten diese kritisch. speichern sicher Informationen und Daten, finden diese wieder und rufen sie von verschiedenen Orten ab. fassen Informationen und Daten zusammen, organisieren und strukturieren diese und bewahren sie auf. kommunizieren mithilfe verschiedener digitaler Kommunikationsmöglichkeiten. wählen zielgerichtet und situationsgerecht digitale Kommunikationsmöglichkeiten aus.

Digitale Kompetenzen

wählen zielgerichtet und situationsgerecht digitale Kommunikationsmöglichkeiten aus. teilen Dateien, Informationen und Links. beherrschen eine Referenzierungspraxis (Quellenangaben). nutzen digitale Werkzeuge für die Zusammenarbeit bei der Zusammenführung von Informationen, Daten und Ressourcen. verwenden digitale Werkzeuge bei der gemeinsamen Erarbeitung von Dokumenten. nutzen öffentliche und private Dienste. geben Medienerfahrungen weiter und bringen sie in kommunikative Prozesse ein. nehmen als selbstbestimmte Bürgerinnen und Bürger aktiv an der Gesellschaft teil.

Digitale Kompetenzen

kennen mehrere technische Bearbeitungswerkzeuge und wenden diese an. planen eine Produktion zur Darstellung von mathematischen Sachverhalten oder Problemlösungen und gestalten, präsentieren, veröffentlichen oder teilen sie in verschiedenen Formaten. bearbeiten Inhalte in verschiedenen Formaten, führen sie zusammen und präsentieren und veröffentlichen oder teilen diese. verarbeiten Informationen, Inhalte und vorhandene digitale Produkte weiter und integrieren sie in bestehendes Wissen. kennen die Bedeutung von Urheberrecht und geistigem Eigentum. berücksichtigen Urheber- und Nutzungsrechte (Lizenzen) bei eigenen und fremden Werken. beachten Persönlichkeitsrechte.

Digitale Kompetenzen

kennen, erkennen, berücksichtigen und reflektieren Risiken und Gefahren in digitalen Umgebungen. entwickeln Strategien zum Schutz und wenden diese an.

Digitale Kompetenzen

kennen eine Vielzahl digitaler Werkzeuge und wenden diese kreativ an. formulieren Anforderungen an digitale Werkzeuge. identifizieren passende Werkzeuge zur Lösung von Problemen. passen die digitalen Umgebungen und Werkzeuge zum persönlichen Gebrauch an. finden, bewerten und nutzen effektive digitale Lernmöglichkeiten. können ein persönliches System von vernetzten digitalen Lernressourcen selbst organisieren. nutzen digitale Werkzeuge, um ihr Repertoire an Lösungsstrategien zu erweitern. erkennen und formulieren algorithmische Strukturen in genutzten digitalen Tools. planen und verwenden eine strukturierte, algorithmische Sequenz zur Lösung eines Problems. beschreiben, wählen und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen.

Digitale Kompetenzen

kennen und bewerten Gestaltungsmittel digitaler Medienangebote. erkennen und beurteilen interessengeleitete Setzung, Verbreitung und Dominanz von Themen in digitalen Umgebungen. analysieren Wirkungen von Medien in der digitalen Welt (z. B. mediale Konstrukte, Computerspiele, mediale Darstellungen von Statistiken) und gehen damit konstruktiv um.

S1/S2 1.1 Von der Änderungsrate zum Bestand

Darstellen und Anwenden funktionaler Zusammenhänge mit den untenstehenden Funktionsklassen, Kennen von Besonderheiten und Nutzen dieser Funktionsklassen in Sachzusammenhängen o ganzrationale Funktionen o einfache gebrochen – rationale Funktionen o einfache Wurzelfunktionen Unter einfachen Funktionen werden Funktionen verstanden, de ren jeweiliger Graph aus dem Graphen zu f ( x ) = bzw. x f ( x ) = x durch Verschieben in x -Richtung und y -Richtung, Strecken in x - oder y -Richtung sowie Spiegeln an Abszissenachse oder Ordinaten achse hervorgehen kann. Beschreibung und Nutzung der Auswirkung von Parametervariatio nen in einer Funktionsvorschrift für den Graphen einer Funktion Erstellung, Interpretation und Beurteilung von Modellen Berechnungen mit Parametern in einer Funktionsvorschrift, insbesondere unter Vorgabe und Einsetzen konkreter Werte, sowie Interpretation der Ergebnisse Erkennung von Achsensymmetrie zur y -Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung anhand der Exponenten der freien Variablen im Funktionsterm ganzrationaler Funktionen, Nutzung dieser Eigenschaft für Argumentationen und Berechnungen Erkennung von Punktsymmetrie zum Ursprung am Funktionsterm einfacher gebrochen-rationaler Funktionen Beschreibung des Verhaltens im Unendlichen Bestimmung von senkrechten und waagerechten Asymptoten Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Auf erhöhtem Anforderungsniveau bearbeiten die Schülerinnen und Schüler auf derselben inhaltlichen Basis komplexere Aufgabenstellungen. Nachweis von Achsensymmetrie zur y -Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung u. a. mithilfe der Zusammenhänge f ( x )= f ( − x ) bzw. f ( x ) =−f ( − x ) Bestimmung der Koeffizienten ganzrationaler Funktionen durch Aufstellen linearer Gleichungssysteme (Steckbriefaufgaben) Gleichungslösen als Hilfsmittel, um Fragestellungen in funktionalen Zusammenhängen zu lösen. o geeignete Verfahren zur Lösung quadratischer Gleichungen o grundlegende algebraische Umformungen, z. B. Ausklammern der Unbekannten o tabellarisches Lösen von Gleichungen o graphisches Lösen von Gleichungen o Lösen biquadratischer Gleichungen mittels Substitution Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Gleichungslösen in Abhängigkeit von Parametern Interpretation der mittleren Änderungsrate in Sachzusammenhängen und als Sekantensteigung Beschreibung der Annäherung der mittleren Änderungsrate an die lokale Änderungsrate Interpretation der lokalen Änderungsrate an einer Stelle in Sachzusammenhängen und als Tangentensteigung Berechnung der Tangentensteigung an einer Stelle mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten an einigen Beispielen Beschreibung der Ableitungsfunktion als Funktion der lokalen Änderungsraten Aufstellung der Tangentengleichung Berechnung von Steigungswinkeln mithilfe des Tangens Anwendung der Ableitungsregeln o Potenzregel o Faktorregel o Summenregel Bestimmung höherer Ableitungen Herleitung des Graphen der Ableitungsfunktion aus dem gegebenen Graphen einer Funktion Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Monotonieuntersuchungen mithilfe der Ableitungsfunktionen Nutzung von erster und zweiter Ableitung sowie dem Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung und Klassifikation von lokalen Extrema von Funktionen Nutzung von zweiter und dritter Ableitung sowie dem Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung von Wendepunkten Untersuchung des Krümmungsverhaltens von Funktionen Entwicklung und Umsetzung von Strategien zum Lösen von Optimierungsproblemen Untersuchung abschnittsweise definierter Funktionen auf Sprung- und Knickfreiheit Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Unterscheidung zwischen lokalen und globalen Extrema Berechnung von Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten von Funktionsscharen in Abhängigkeit von Parametern einfache Fallunterscheidungen bei Funktionsscharen Nutzung von Funktionsscharen in Sachzusammenhängen Deutung der Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen Interpretation von Inhalten von Flächen unter Funktionsgraphen als Bestandsänderung in verschiedenen Sachzusammenhängen Abschätzen von Inhalten von Flächen unter Funktionsgraphen näherungsweise Bestimmung der Inhalte von Flächen unter Funktionsgraphen durch Berechnen von Unter- und Obersummen sowie Beschreibung deren gegenseitiger Annäherung bei steigende Anzahl von Teilintervallen Notation und Interpretation von Integralen Definition und Beschreibung von Bestandsfunktion, Stammfunktion, Integralfunktion und deren Zusammenhang Kenntnis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und des geometrisch-anschaulichen Beweises Anwendung der Potenzregel, der Faktorregel und der Summenregel zur Bestimmung von Stammfunktionen Deutung des bestimmten Integrals, insbesondere als (re-) konstru ierter Bestand Berechnung von Flächeninhalten und die Deutung in Sachsituationen Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Funktionsgraphe Berechnung von Mittelwerten von Funktionen mit dem bestimmten Integral Herleitung der Graphen einer Funktion aus dem gegebenen Graphen einer Ableitungsfunktion Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Bestimmung des Volumens von Körpern, die durch Rotation von Funktionsgraphen um die x-Achse entstehen Begründung der Volumenformel für Körper, die durch Rotation vo Funktionsgraphen um die x-Achse entstehen

S1/S2 1.2 Von der Änderungsrate zum Bestand

Darstellung und Anwendung von funktionalen Zusammenhängen mithilfe der Sinus- und Kosinusfunktion der Form f ( x ) =a ⋅ sin( bx + c ) + d und g( x ) =a ⋅ cos( bx + c ) + d sowie Kenntnis der Besonderheiten und Nutzung in Sachzusammenhängen Beschreibung und Nutzung der Auswirkung von Parametervariatio nen in einer Funktionsvorschrift für den Graphen einer Funktion Erstellung, Interpretation und Beurteilung von Modellen, Berechnungen mit Parametern in einer Funktionsvorschrift, insbesondere unter Vorgabe und Einsetzen konkreter Werte, sowie Interpretatio der Ergebnisse Erkennung von Achsensymmetrie zur y -Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung am Funktionsterm mithilfe des Wissens übe die Symmetrieeigenschaften der Sinus- und der Kosinuskurve, Nutzung dieser Eigenschaft für Argumentationen und Berechnungen Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Auf erhöhtem Anforderungsniveau bearbeiten die Schülerinnen und Schüler auf derselben inhaltlichen Basis komplexere Aufgabenstellungen. Nutzung von Funktionsscharen zum Lösen von Problemen Beschreibung und Untersuchung von Sinus- und Kosinusfunktionen sowie deren Verkettungen und Verknüpfungen mit den Funkt onen aus Modul 1.1 auch in Sachsituationen Nachweis von Achsensymmetrie zur y -Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung u. a. mithilfe der Zusammenhänge f ( x )= f ( − x ) bzw. f ( x ) =−f ( − x ) Kenntnis und Nutzung der Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion Anwendung der Ableitungsregeln o Produktregel o Kettenregel Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Auf erhöhtem Anforderungsniveau bearbeiten die Schülerinnen und Schüler auf derselben inhaltlichen Basis komplexere Aufgabenstellungen. Nutzung von Funktionsscharen, die mithilfe der Sinus- und der Ko sinusfunktion gebildet werden – auch in Sachzusammenhängen, Berechnung von Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten in Abhängigkeit von den Scharparametern, einfache Fallunterscheidungen Bestimmung von Stammfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktio Berechnung von Flächeninhalten und ihre Deutung in Sachsituationen Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Berechnung von Integralen bei Sinus- und Kosinusfunktionen mit linearen Argumenten Anwendung von elementaren Rechenregeln und Nutzung von Symmetriebetrachtungen

S3/S4 4 Änderungsraten und Bestände

Erstellung und Modifizierung mathematischer Modelle zu Wachstums- und Veränderungsprozessen unter Verwendung von e-Funktionen mit linearen Exponenten und Darstellung zugehöriger Funktionsgraphen graphische Darstellung von e-Funktionen und Beschreibung des prinzipiellen Verlaufs, einschließlich ihres asymptotischen Verhaltens Bestimmung der Eulerschen Zahl e mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge Beschreibung und Nutzung der Auswirkung von Parametervariatio nen in einer Funktionsvorschrift für den Graphen einer Funktion Berechnungen mit Parametern in einer Funktionsvorschrift, insbesondere unter Vorgabe und Einsetzen konkreter Werte, sowie Interpretation der Ergebnisse Erstellung, Interpretation und Beurteilung von Modellen Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Auf erhöhtem Anforderungsniveau bearbeiten die Schülerinnen und Schüler auf derselben inhaltlichen Basis komplexere Aufgabenstellungen. Nutzung von Funktionsscharen zum Lösen von Problemen. Beschreibung und Untersuchung von e-Funktionen sowie deren Verkettungen und Verknüpfungen mit den Funktionen aus Modul 1.1 auch in Sachsituationen Beschreibung des charakteristischen Verlaufs von einfachen ln - Funktionen Berechnung von Funktionswerten aus Argumenten und umgekehr zu e -Funktionen, auch mithilfe des natürlichen Logarithmus kontextuale Anwendungen und Interpretation von Ergebnissen Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Lösung von Gleichungen in Abhängigkeit von Parametern Bestimmung von Ableitungsfunktionen der e-Funktion, von deren Verkettungen mit linearen Funktionen sowie von einfachen additiven und multiplikativen Verknüpfungen mit ganzrationalen Funktionen Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: numerische Bestimmung von Nullstellen Bestimmung von Nullstellen von Funktionen, Extrem- und Wende punkte von Funktionsgraphen von Funktionsscharen in Abhängigkeit von Parametern Durchführung von Fallunterscheidungen bei Funktionsscharen de e -Funktionen Nutzung von Zusammenhängen von Ableitung und Integralfunktio auch bei Wachstums- und Veränderungsprozessen Berechnung von bestimmten Integralen als Bestandsänderungen bei e-Funktionen mit linearen Exponenten Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Nutzung der ln-Funktion als Stammfunktion von einfachen gebrochen-rationalen Funktionen

S1/S2 2 Der Zufall steht Modell

Unterscheidung der Begriffe relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit sowie arithmetisches Mittel und Erwartungswe und Kenntnis des Gesetzes der großen Zahlen Darstellung der Häufigkeits- und Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf unterschiedliche Weise (z. B. in Histogrammen), Interpretation und Nutzung dieser Darstellungen und Beurteilung der Angemessenheit Bestimmung und Deutung der Lage- und Streumaße, u. a. Varian und Standardabweichung, zu empirischen Daten und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Beschreibung von Zufallsexperimenten durch Ergebnis- und Ereignismengen und Baumdiagramme Nutzung verschiedener Wahrscheinlichkeitskonzepte (empirisch, subjektiv, theoretisch nach Laplace) Nutzung von Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln, auch zur Bestimmung bedingter Wahrscheinlichkeiten, Satz von Bayes Untersuchung von Ereignissen auf stochastische Unabhängigkeit und Interpretation der Ergebnisse Entnahme von Daten aus Texten und anderen Darstellungsformen Prüfung ihrer Plausibilität mithilfe stochastischer Methoden, Beurteilung wahrscheinlichkeitsbasierter Aussagen und das Ziehe geeigneter Schlüsse Verwendung von Simulationen zur Untersuchung stochastischer Situationen Erstellung, Interpretation und Beurteilung von Modellen. Es ist möglich, dass bereits im Anschluss an das Modul 2 die Binomialverteilung aus dem Modul 5 im ersten Jahr der Studienstufe unterrichtet wird. Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Auf erhöhtem Anforderungsniveau bearbeiten die Schülerinnen und Schüler auf derselben inhaltlichen Basis komplexere Aufgabenstellungen. Wasserbedarf im Haushalt, in einzelnen Ländern bzw. weltweit Energieerzeugung und Energieverbrauch im Haushalt, in der Region, in einzelnen Ländern und weltweit der ökologische Fußabdruck Krisen und Aufschwünge – Daten zu Staatsverschuldungen, ProKopf-Verschuldungen, Bruttosozialprodukten und Arbeitsmärkten Daten und Konsequenzen des demografischen Wandels in Deutschland und weltweit Finanzierung von Sozialsystemen, z. B. Renten- und Arbeitslosenversicherung

S3/S4 5 Anwendungsprobleme der Stochastik

Beschreibung von Zufallsexperimenten mit diskreten Zufallsgröße und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Nutzung charakte ristischer Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Begründung der Formel für die Wahrscheinlichkeitsverteilung eine binomialverteilten Zufallsgröße Nutzung der Binomialverteilung zur stochastischen Modellierung Generierung von Wahrscheinlichkeiten zur Binomialverteilung und zur kumulierten Binomialverteilung mithilfe eines digitalen Werkzeuges oder alternativ deren Entnahme aus Tabellen Berechnung und Nutzung des Erwartungswertes und der Standardabweichungen einer binomialverteilten Zufallsgröße Nutzung der Sigma-Regeln für Wahrscheinlichkeitsaussagen bei binomialverteilten Zufallsgrößen Erstellung, Interpretation und Beurteilung von Modellen in einfachen Fällen Problematisierung des Übertragens von Eigenschaften einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit es ist möglich, dass bereits im Anschluss an das Modul 2 die Binomialverteilung aus dem Modul 5 im ersten Jahr der Studienstufe unterrichtet wird. Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Durchführung von ein- und zweiseitigen Hypothesentests Beurteilung der Unsicherheit und Genauigkeit von Hypothesentests mithilfe der Untersuchung der Wahrscheinlichkeit von Fehler erster und zweiter Art Erstellung von Null- und Alternativhypothese bei ein- und zweiseit gen Hypothesentests und Konzeption der Tests Modellierung mithilfe der Normalverteilung und Nutzung von Erwartungswerten und Standardabweichungen von normalverteilten Zufallsgrößen für Wahrscheinlichkeitsaussagen Generierung von Wahrscheinlichkeiten zur Normalverteilung mithilfe eines digitalen Werkzeuges oder alternativ anhand von Tabe len. Beschreibung des Unterschieds zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen am Beispiel der Binomial- und Normalverteilung Approximation einer Binomialverteilung mithilfe einer Normalverte lung

S1/S2 3 Koordinatengeometrie

Klimadaten und Klimawandel am Beispiel der Erderwärmung Lineare Algebra/Analytische Geometrie rdinatengeometrie Inhalte Beschreibung von Vektoren im zwei- und dreidimensionalen Koordinatensystem als Zahlentupel Deutung von Vektoren als Ortsvektor eines Punktes, Verbindungsvektor zwischen Punkten und als Verschiebungsvektor Modellierung von räumlichen Objekten, Koordinatisieren dieser Objekte durch Modelle Zeichnen mathematischer Objekte mithilfe von Punkten im zwei- und dreidimensionalen Koordinatensystem Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Auf erhöhtem Anforderungsniveau bearbeiten die Schülerinnen und Schüler auf derselben inhaltlichen Basis komplexere Aufgabenstellungen. Berechnung von Streckenlängen und Beträgen von Vektoren Berechnung des Skalarprodukts zweier Vektoren und Nutzung zu Bestimmung von Winkelgrößen geometrische Deutung des Skalarprodukts Addition und Subtraktion von Vektoren Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar geometrische Veranschaulichung von Operationen Untersuchung zweier Vektoren auf Kollinearität Vierecksuntersuchungen mithilfe der Begriffe orthogonal, Betrag, kollinear Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau:

S3/S4 6 Analytische Geometrie

analytische Beschreibung von Geraden und Ebenen mithilfe von Umformung von Ebenengleichungen (Koordinatenform, Parameterform und Normalenform) Bestimmung und Nutzung von Spurpunkten von Geraden und von Spurpunkten von Ebenen Untersuchung, ob ein Punkt auf einer bestimmten Gerade oder in g einer bestimmten Ebene liegt Berechnung des Schnittpunktes zwischen zwei Geraden und zwischen Gerade und Ebene Untersuchung der Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden im Raum und zwischen Gerade und Ebene Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen Gleichungen und Gleichungssystemen sowie deren geometrische Interpretation Bestimmung und Nutzung von Normalenvektoren Berechnung der Größe von Winkeln zwischen Geraden, zwischen Gerade und Ebene sowie zwischen Ebenen Durchführung einer Spiegelung eines Punktes an einer Ebene Erstellung, Interpretation und Beurteilung von Modellen Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Auf erhöhtem Anforderungsniveau bearbeiten die Schülerinnen und Schüler auf derselben inhaltlichen Basis komplexere Aufgabenstellungen. Bestimmung von Abständen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen Untersuchung von Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen Spiegelung von geometrischen Objekten an Ebenen Aufstellung linearer Gleichungssysteme im Anwendungskontext, Auswahl und Anwendung geeigneter Verfahren zu deren Lösung Erläuterung und Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens für lineare Gleichungssysteme Deutung der Endformen des Gaußschen Eliminationsverfahrens im Hinblick auf die Anzahl der Lösungstupel Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau:

S3/S4 7 Lineare Algebra

Aufstellung linearer Gleichungssysteme im Anwendungskontext, Auswahl und Anwendung geeigneter Verfahren zu deren Lösung Erläuterung und Anwendung des Gaußschen Eliminiationsverfahrens für lineare Gleichungssysteme Deutung der Endformen des Gaußschen Eliminiationsverfahrens im Hinblick auf die Anzahl der Lösungstupel Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Auf erhöhtem Anforderungsniveau bearbeiten die Schülerinnen und Schüler auf derselben inhaltlichen Basis komplexere Aufgabenstellungen. Modellierung von Wachstums- und Umverteilungsprozessen sowi Produktionsverflechtungen mithilfe von Übergangsgraphen und Übergangsmatrizen sowie Zustandsvektoren Vergleich und Validierung verschiedener Modelle mithilfe der Interpretation von Übergangsgraphen und Matrixelementen im Sachkontext Modifikation von Modellen auch durch Berücksichtigung zusätzlicher Einflussgrößen Bestimmung von Zustandsvektoren zur Beschreibung von nachfo genden und eindeutig berechenbaren vorausgehenden Zuständen auch mithilfe von Matrixmultiplikation und inversen Matrizen Interpretation von Fixvektoren Berechnung und Nutzung von Matrixpotenzen, auch mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge experimentelle Untersuchung des Langzeitverhaltens von Wachstums- und Umverteilungsprozessen anhand digitaler Mathematikwerkzeuge Erstellung, Interpretation und Beurteilung von Modellen Zusätzlich im erhöhten Anforderungsniveau: Bestimmung von Zustandsvektoren zur Beschreibung von vorausgehenden uneindeutigen Zuständen, Berechnung von Fixvektoren Bestimmung und Interpretation von Grenzmatrizen und Grenzvek toren auch mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge