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Natürliche Zahlen — Bestimmung von Anzahlen und Darstellung in Diagrammen
Beispiele aus dem Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler (Sport, Währung, Glücksspiele, Bevölkerungszahlen); Anwendungen auf Zufallsversuche, Häufigkeiten; Diagramme, Tabellen als Darstellungs- und Abzählhilfe; Entwicklung von Vorstellungen zur Multiplikation
Vergleichen, Ordnen, Zahlenstrahl, Runden
Kleinerrelation, Verständnis für Größenordnungen; Lesen und Schreiben von Zahlen im Zahlenraum bis zu einer Billion; Hinweis auf die Unbegrenztheit der natürlichen Zahlen
Grundrechenarten, Rechengesetze
Addition / Subtraktion, Multiplikation / Division als jeweils entgegengesetzte Operationen; Beschränkung bei der schriftlichen Division auf zweistellige und einfache dreistellige Divisoren; Anwendungen (z. B. Einkauf), Überschlagsrechnung, Verbindung der vier Grundrechenarten (Vorrangregeln, Distributivgesetz)
Einfache Gleichungen
Variable, Lösen einfacher Gleichungen durch systematisches Probieren
Teilbarkeit
Teiler einer Zahl, Teilermengen; Vielfache einer Zahl, Vielfachenmengen; Endstellenregeln für Teilbarkeit durch 2, 5, 10, 4, 25, 100; Quersummenregel für Teilbarkeit durch 3 und 9; Primzahlen und Primfaktorzerlegung (einige Beispiele); Bestimmung des ggT, kgV von Zahlen vorwiegend durch systematisches Probieren in Anwendungen
Räumliche Grundformen; Geometrische Körper
Unterschiedliche Körper der Umwelt (z. B. Verpackungen, Gebäude, Gebäudeteile, Möbel); Quader, Würfel, Zylinder, Kegel, Kugel, Pyramide als Idealisierung von Gegenständen; Eigenständiges Entdecken von Eigenschaften wie Ecken, Kanten, Flächen, Krümmung von Kanten und Flächen; Zeichnung von Netzen und Schrägbildern von Quader, Würfel
Ebene Grundformen; Ebene Figuren, Koordinatensystem
Unterschiedliche Flächen der Umwelt (z. B. Grundstücke, Grundfläche von Wohnungen, Fenster, Wandflächen, Seitenflächen von Körpern); Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Trapez, Raute, Dreieck, Kreis; Orientierung im Koordinatensystem; Messen an und von ebenen Figuren; Entwicklung zeichnerischer Fähigkeiten, Handhabung von Geodreieck und Zirkel
Geometrische Grundbegriffe; Lagebeziehung von Geraden zueinander
Punkt, Strecke, Fläche in der Umwelt, an Körpern und an ebenen Figuren; Einführung der Begriffe Gerade, Halbgerade, Ebene und Vergleich mit Strecke, Fläche; Beispiele für zueinander senkrechte bzw. parallele Linien (Schienen, Wände, Möbel, Hefte); zueinander parallele Geraden; zueinander senkrechte Geraden, Abgrenzung zu lotrecht bzw. vertikal, horizontal; Messen des Abstandes eines Punktes von einer Geraden, Messen des Abstandes zweier zueinander paralleler Geraden
Winkel
Winkel in der Umwelt erkennen (Drehwinkel an Uhr und Kompass, Kurse, Dächer, Zäune, Wegkreuzungen, Drehen einer Kurbel, Steigungswinkel); Winkelgrößen messen und schätzen, auch in Figuren; Winkel klassifizieren; Winkel bei vorgegebener Größe zeichnen
Flächen und Flächeninhalte
Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken, Quadraten; Inhalt und Umfang von Flächen, die aus Rechtecken und Quadraten zusammengesetzt sind; Zerlegung von Figuren in Rechtecke und Quadrate; Flächeninhalt, z. B. von Kacheln, Wänden, Grundstücken, Fenster, Türen
Körper, Volumen und Oberflächeninhalt
Volumen und Oberflächeninhalt von Quader und Würfel; Modelle von Körpern, die aus Quadern und Würfeln zusammengesetzt sind (Verpackungen, Möbel, Räume, Gebäude); Volumen und Oberflächeninhalt von Körpern, die aus Quadern und Würfeln zusammengesetzt sind
Sachrechnen
Fortführung der Behandlung von Größen: Messen, Einheiten; Rechnen mit den Größen; Sachaufgaben auch in Alltagssituationen mit Währung und Währungseinheiten, Längen und Längeneinheiten, Flächeninhalte und Flächeneinheiten, Volumina und Volumeneinheiten, Zeitpunkt, Zeitspanne und Zeiteinheiten, Gewicht und Gewichtseinheiten
Gewöhnliche Brüche, Dezimalbrüche und Prozentangaben
Bruchteile (Anteile) und Brüche aus dem Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler; Graphische Darstellung von Bruchteilen an Kreisen, Rechtecken, Strecken; Notieren von Anteilen als gewöhnliche Brüche, Dezimalbrüche und Prozentangaben als Hundertstelbruch; Darstellen von Anteilen mittels Kreisdiagramm
Grundaufgaben der Bruchrechnung und der Prozentrechnung
Bestimmung des Endwertes (Bruchteils), des Anfangswertes (Ganzen), des Bruches (Anteils); Berechnung des Prozentwertes, Prozentsatzes und Grundwertes; Benutzung graphischer Darstellungen zu den Grundaufgaben
Bruchzahlen — Vergleichen und Ordnen von Brüchen
Beschränkung auf Brüche mit kleinem Zähler und kleinem Nenner; Gleichheit von Anteilen; Veranschaulichung am Zahlenstrahl; Kürzen und Erweitern von Brüchen
Rechnen mit Bruchzahlen
Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division von Bruchzahlen, Doppelbruch als Divisionsaufgabe; Anwendungen in Sachaufgaben; Rechengesetze (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz) als Vorbereitung der Algebra (Vorrangregeln, einfache Gleichungen)
Dezimalbrüche, Rechnen mit Dezimalbrüchen
Dezimalschreibweise von Zehnerbrüchen; Die vier Grundrechenarten bei abbrechenden Dezimalbrüchen; Umwandlung gewöhnlicher Brüche in endliche und periodische Dezimalbrüche; Runden von Dezimalbrüchen, Schätzen, Überschlagsrechnen; Anwendungen in Sachaufgaben
Bewegung von Figuren
Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Parallelverschiebung, Drehung von Figuren ausführen; Konstruktionsvorschriften und Eigenschaften der Abbildungen werden durch die Anschauung gewonnen bzw. erarbeitet; Erzeugen von Mustern durch Spiegeln, Drehen, Parallelverschieben; Kongruente Figuren als Figuren mit den gleichen Maßen und gleicher Gestalt / deckungsgleiche Figuren
Symmetrische Figuren
Symmetrie in der Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler, z. B. Verkehrsschilder, Graphiken, Blütenformen, Kristalle, Ornamente, Buchstaben, Ziffern, Zahlen; Ganzheitliches Erkennen und spielerisches Herstellen punktsymmetrischer, achsensymmetrischer, drehsymmetrischer Figuren; Zeichnen von Symmetrieachsen in Figuren
Winkel an Geradenkreuzungen
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel
Winkelsummensätze; Flächeninhaltsberechnungen, Umfangsberechnungen
Dreieck, Viereck; Parallelogramm, Dreieck, Trapez; Flächeninhalt und Umfang von Vielecken in Anwendungssituationen (Zerlegungen, Ergänzungen)
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsversuch, Ausfall (Ergebnis), absolute und relative Häufigkeiten, Gewinnchancen, Vergleich von Gewinnchancen, Mittelwerte, Diagramme, Wahrscheinlichkeit, Ereignis
Ereignisse bei einstufigen Zufallsversuchen
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, Additionssatz, Laplace-Formel
Ereignisse bei mehrstufigen Zufallsversuchen
Wahrscheinlichkeitsbaum, Multiplikationsregel
Zuordnungen
Zuordnungstabellen; Graphische Darstellung im Koordinatensystem; Zuordnungen analysieren: z. B. „Je mehr – desto mehr“, „Je mehr – desto weniger“
Proportionale Zuordnungen
Summen- und Vielfachenregel, Quotientengleichheit, Proportionalitätsfaktor, Zuordnungsvorschrift; Dreisatz; Graphische Darstellung durch Ursprungsgeraden
Antiproportionale Zuordnungen
Vielfachenregel, Produktgleichheit, Zuordnungsvorschrift; Dreisatz; Graphische Darstellung, Vergleich mit Graphen anderer Zuordnungen
Aufgaben aus verschiedenen komplexen Sachzusammenhängen
z. B. Zusammenhang von Weg und Zeit, Geschwindigkeit als Proportionalitätsfaktor; z. B. Zusammenhang von Volumen und Masse, Dichte als Proportionalitätsfaktor; z. B. Auswertung von Messreihen
Prozentuale Änderungen; Zinsrechnung
Vermehrter und verminderter Grundwert; „Änderung um“, „Änderung auf“, Prozentsätze über 100 %; Verknüpfungen von Prozentsätzen; Zinsrechnung als Prozentrechnung, Jahreszinsen; Kapital, Zinsen, Zinssatz; Monats- und Tageszinsen bei jährlicher Verzinsung; Zinsen von Zinsen, Kapitalverdopplung
Taschenrechner und Tabellenkalkulation
Einführung in den Gebrauch des Taschenrechners, Klammern, Termeingabe, Speicherfunktionen, kritische Beurteilung der Ergebnisse durch Überschlagsrechnungen, sinnvolles Runden der Ergebnisse, Problematisieren der %-Taste; Einführung in den Gebrauch der Tabellenkalkulation, Eingabe von Zahlen mit Formatierung, Herstellen von Tabellen, Erstellen von graphischen Darstellungen aus Tabellen, Benutzen von Formeln in den Zellen
Rationale Zahlen — Vergleichen und Ordnen
Hinführung zu den negativen Zahlen anhand anschaulicher Modelle; Zahl und Gegenzahl, Betrag einer Zahl; Zahlengerade, Erweiterung des Koordinatensystems
Rechnen mit rationalen Zahlen
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division; Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze; Klammerregeln / Vorrangregeln
Konstruktion von Dreiecken
Kongruenzsätze für Dreiecke (Begründung und Anwendung beim Konstruieren); Konstruktionen (Arbeiten auch mit Geodreieck); Mittelsenkrechte (Umkreis), Winkelhalbierende (Inkreis), Seitenhalbierende (Schwerpunkt), Höhenschnittpunkt; Vermessungsaufgaben
Kreis und Geraden
Sehne, Sekante, Tangente; Thalessatz
Berechnungen am Kreis
Umfang, Flächeninhalt; Experimentelle Ermittlung eines Näherungswertes der Kreiszahl π als Proportionalitätsfaktor zwischen Umfang und Durchmesser; Bogenlänge und Sektorfläche unter funktionalem Gesichtspunkt (Proportionalität!)
Graphische Darstellungen statistischer Daten
Gesamtheit, Stichprobe, Häufigkeitsdiagramme; Skalen: Nominalskala, Ordinalskala, metrische Skala
Lagemaße; Arbeitsweisen der Statistik
Modalwert (häufigster Wert), Zentralwert (Median), arithmetisches Mittel, Aspekt der Streuung nur qualitativ; Statistische Daten erheben, Erstellen von Häufigkeitsverteilungen und deren graphische Darstellung, Auswertung anhand der erarbeiteten Diagramme sowie mithilfe von Lageparametern; Beurteilung statistischer Angaben im realen Kontext (Aussagekraft von Statistiken und deren Bewertung)
Ganzrationale Terme
Aufstellen von Termen, Umformungsregeln
Lineare Gleichungen
Lösen einfacher linearer Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen; Lösungsmenge (auch leere Menge)
Termumformungen; Lineare Gleichungen
Ausmultiplizieren von Klammern, Faktorisieren, Binomische Formeln; Lösen linearer Gleichungen; Verständnis für die Äquivalenzumformungen; Einfache Ungleichungen; Umstellung von Formeln; Prozentformel, Zinsformel
Proportionale Funktionen / Lineare Funktionen
Darstellung durch Graph und Tabelle; Funktionsgleichung; Nullstelle, Steigungsdreieck, Steigung; Verschiebung, Achsenabschnitt, Parallelität; Gerade als Graph, Punktprobe, Gerade durch zwei Punkte, Funktionsgleichungen zu Graphen angeben; Proportionales und lineares Wachstum
Antiproportionale und andere Funktionen
Funktionsgleichungen und Graph bei antiproportionalen Funktionen; Beispiele für andere nichtlineare Funktionen
Systeme von zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen
Geometrische Lösung, Einsetzungs-, Gleichsetzungs-, Additionsverfahren, sämtliche Lösungsfälle
Anwendungen
Realitätsbezogene Beispiele zu Sach- und Textaufgaben und fachübergreifende und fächerverbindende Problemstellungen
Quadratwurzeln, reelle Zahlen
Begriff der Quadratwurzel einer Zahl a ≥ 0; a als die nichtnegative Zahl, deren Quadrat die Zahl a ist; Lösungen der Gleichung x² = a; Quadrieren und Wurzelziehen als Umkehroperationen zueinander; Anschauliche Argumentation zur Irrationalität von Quadratwurzeln über Endziffern oder Widerspruch
Näherungswerte für Quadratwurzeln; Rechnen mit Quadratwurzeln
Umgang mit Näherungswerten (Rechnerzahlen); Sinnvoller Gebrauch des Taschenrechners; Rechenregeln für Quadratwurzeln; Begründung und Anwendung, Termumformungen
Prismen und Kreiszylinder
Körpermodell, Netz, Schrägbild (Handskizze); Oberflächeninhalt, Volumen
Satz des Pythagoras und dessen Umkehrung
Erarbeiten der mathematischen Zusammenhänge mit Bezügen zur Geschichte der Mathematik und zu praktischen Problemen; Kenntnis des Kathetensatzes und des Höhensatzes
Berechnen von Streckenlängen in ebenen und räumlichen Figuren; Ähnlichkeit und Strahlensätze
Anwenden, Vertiefen und Vernetzen bekannter geometrischer und algebraischer Kenntnisse und Fähigkeiten zur Bearbeitung realitätsbezogener Problemstellungen, Vergleich unterschiedlicher Lösungswege (algebraisch und geometrisch); Erarbeitung, Anwendung und Umstellung von Formeln im Zusammenhang mit der Satzgruppe des Pythagoras (gleichseitiges Dreieck, Raum- und Flächendiagonalen im Würfel und Quader); Ähnlichkeit von Figuren; Ähnlichkeitssätze von Dreiecken; Strahlensatzfiguren und Strahlensätze; Flächeninhalt ähnlicher Figuren
Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen
Graphische und rechnerische Lösungsverfahren, quadratische Ergänzung, Lösungsformel; Sachprobleme, die auf quadratische Gleichungen führen; Faktorisieren durch Ausklammern von x bzw. xⁿ; Einfache Bruchgleichungen und Wurzelgleichungen; Zugang über Realitätsbezüge (z. B. Extremalprobleme, die auf quadratische Funktionen führen); Eigenschaften der Funktion und des Graphen: Normalparabel, Scheitelpunkt, Nullstellen, Verschiebung des Graphen in Richtung der Koordinatenachsen, Strecken und Stauchen in Richtung der y-Achse, Spiegeln an den Koordinatenachsen; Scheitelpunktsform der Parabel; Visualisierung der geometrischen Abbildungen mittels Mathematiksoftware
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten; Potenzgesetze; Potenzen mit rationalen Exponenten
Exponentendarstellung von Zahlen, wissenschaftliche und technische Darstellung; Berechnungen an überschaubaren Termen; Radizieren als Umkehroperation des Potenzierens für nichtnegative Radikanden; n-te Wurzeln als Potenz; Erweiterung des Potenzbegriffs und der Potenzgesetze auf gebrochen rationale Exponenten
Einfache Potenzgleichungen; Potenz- und Wurzelfunktionen
Gleichungen, die auf die Form xⁿ = a zurückgeführt werden können; Typische Repräsentanten: x → xᵏ, k = 2, 3, 4, -1, -2, 1/2, 1/3; Symmetrieeigenschaften der Graphen; Kurvenverläufe für verschiedene Exponenten; Verschieben, Strecken und Stauchen des Graphen in Richtung der y-Achse
Körper
Schrägbild, Ansichten (Grund-, Auf- und Seitenriss), Symmetrien; Herleitung und Begründung der Formeln (angemessene Auswahl treffen, Wiederaufgreifen des Satzes des Pythagoras); Satz von Cavalieri, anschauliche Begründung
Trigonometrie
Darstellung im rechtwinkligen Dreieck, Einheitskreis (Winkel von 0 bis 360°), geometrische Bestimmung von sin (α), cos (α), tan (α); trigonometrische Beziehungen: cos (α) = sin (90° - α), sin² (α) + cos² (α) = 1; tan (α) = sin (α) / cos (α)
Sinus- und Kosinusfunktion; Berechnungen in Dreiecken, Vielecken und räumlichen Figuren
Definition über den Einheitskreis bzw. über die senkrechte Projektion einer Kreisbewegung; Eigenschaften: Symmetrie, Periodizität; Beispiele periodischer Zusammenhänge (z. B. Modelle einfacher zyklischer Prozesse aus den Natur-, Wirtschafts- oder Sozialwissenschaften); Wiederaufgreifen der Grundidee des Umkehrens einer Funktion, sinnvoller Gebrauch des Taschenrechners; Anwendungen aus Technik, Physik und ebener und räumlicher Geometrie; Steigungswinkel einer Geraden; Sinus- und Kosinussatz; Wiederaufnahme der Kongruenzsätze, Vernetzen geometrischer und algebraischer Denk- und Sichtweisen
Mehrstufige Zufallsversuche
Wiederaufgreifen von Wissen über die Beschreibung mehrstufiger Zufallsversuche: Baumdiagramm, relative Häufigkeiten als Schätzwerte für Wahrscheinlichkeiten, Pfadmultiplikationsregel, Additionsregel
Abzählstrategien
Permutationen, Fakultät
Zahlbereiche/Algebra/Funktionen
Sichere Beherrschung der Grundrechenarten (mit Bruchzahlen und Dezimalzahlen); Betrags- und Größenvergleich; Teilbarkeit, Primzahlen, Primfaktorzerlegung; Funktionsgleichung; Definitionsbereich, Wertebereich, Graph einer proportionalen und antiproportionalen Funktion; Quotienten- und Produktgleichheit; Grundaufgaben der Prozent- und Zinsrechnung; Vermehrter bzw. verminderter Grundwert; Anwendungen der Prozent- und Zinsrechnung z. B. in Naturwissenschaften und Wirtschaft; Distributivgesetz; Kürzen und Erweitern; Binomische Formeln
Lineare Funktionen und lineare Gleichungen; Lineare 2x2-Gleichungssysteme
Steigung, Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt; Gerade (Strecke) als Graph einer linearen Funktion; Parallelität und Orthogonalität von Geraden; Äquivalenzumformungen zur Lösung einer linearen Gleichung; Graphische Verfahren, Gleichsetzungs-, Einsetzungs-, Additionsverfahren zur Lösung eines linearen 2x2-Gleichungssystems
Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen; Potenzen, Potenzgesetze; Potenzfunktionen
Wertetabelle und Graph einer quadratischen Funktion; Geometrische Abbildungen bei quadratischen Funktionen (Verschiebung parallel zur x-Achse und parallel zur y-Achse, Spiegelung an der x-Achse, Streckung parallel zur y-Achse); Scheitelpunktbestimmung bei einer quadratischen Funktion; Lösung einer quadratischen Gleichung mittels quadratischer Ergänzung oder mittels der p-q-Formel; Potenzgesetze für Potenzen mit ganzzahligen und rationalen Exponenten, insbesondere mit positiven und negativen Stammbrüchen als Exponenten; Quadratwurzel und Quadratwurzelgesetze, Potenzschreibweise für Wurzeln; Graph und Eigenschaften der Funktion f: x → xⁿ, mit n ∈ Z
Trigonometrische Funktionen
Beschreibung und graphische Darstellung von Sinus- und Kosinusfunktion, Periodizität, Symmetrie
