Verbindlich · Natürliche Zahlen · Bestimmung von Anzahlen und Darstellung in Diagrammen

Beispiele aus dem Erfahrungsbereich der Schüler (Sport, Währung, Glücksspiele, Bevölkerungszahlen) Anwendungen auf Zufallsversuche, absolute Häufigkeiten Diagramme, Tabellen als Darstellungs- und Abzählhilfe Entwicklung von Vorstellungen zur Multiplikation

Verbindlich · Natürliche Zahlen · Vergleichen, Ordnen Zahlenstrahl, Runden

Kleinerrelation, Verständnis für Größenordnungen

Verbindlich · Natürliche Zahlen · Stellenwertsysteme

Reaktivierung des Dezimalsystems als Stellenwertsystem, Dualsystem, Potenzschreibweise Lesen und Schreiben von Zahlen im Zahlenraum bis zu einer Billion Hinweis auf die Unbegrenztheit der natürlichen Zahlen

Verbindlich · Natürliche Zahlen · Grundrechenarten, Rechengesetze

Addition / Subtraktion, Multiplikation / Division als jeweils entgegengesetzte Operationen; Beschränkung bei der schriftlichen Division auf zweistellige und einfache dreistellige Divisoren Anwendungen (z.B. Einkauf), Überschlagsrechnung, Verbindung der vier Grundrechenarten (Vorrangregeln, Distributivgesetz)

Verbindlich · Natürliche Zahlen · Einfache Gleichungen

Variable, Lösen einfacher Gleichungen durch systematisches Probieren

Fakultativ · Rechengesetze

Addition und einfache Multiplikationen im Dualsystem

Fakultativ

Römische Zahlzeichen Zeitleiste über die Entwicklung der Erde Streckenlängen im Sonnensystem Hexadezimalzahlen

Verbindlich · Räumliche Grundformen

Unterschiedliche Körper der Umwelt (z.B. Verpackungen, Gebäude, Gebäudeteile, Möbel)

Verbindlich · Geometrische Körper Volumen und Oberflächeninhalt von Quadern und Würfeln

Quader, Würfel, Zylinder, Kegel, Kugel, Pyramide als Idealisierung von Gegenständen Eigenständiges Entdecken von Eigenschaften wie Ecken, Kanten, Flächen, Krümmung von Kanten und Flächen Messen an und von Körpern Herstellen von Körpermodellen Kantenmodell von Quader, Würfel Zeichnung von Netzen und Schrägbildern von Quader, Würfel

Verbindlich · Ebene Grundformen

Unterschiedliche Flächen der Umwelt (z.B. Grundstücke, Grundfläche von Wohnungen, Fenster, Wandflächen, Seitenflächen von Körpern)

Verbindlich · Ebene Figuren, Koordinatensystem Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken und Quadraten

Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Trapez, Raute, Dreieck, Kreis Orientierung im Koordinatensystem Eigenständiges Entdecken von Eigenschaften Erkennen und Herstellen achsensymmetrischer Figuren (Beschränkung auf das Gitternetz) Messen an und von ebenen Figuren Entwicklung zeichnerischer Fähigkeiten, Handhabung von Geodreieck und Zirkel

Verbindlich · Geometrische Grundbegriffe

Punkt, Strecke, Fläche in der Umwelt, an Körpern und an ebenen Figuren Die Begriffe Gerade, Ebene einführen und mit Strecke, Fläche vergleichen

Verbindlich · Lagebeziehung von Geraden zueinander

Beispiele für zueinander senkrechte bzw. paralleler Linien (Schienen, Wände, Möbel, Hefte) zueinander parallele Geraden zueinander senkrechte Geraden (lotrecht) Messen des Abstandes eines Punktes von einer Geraden, Messen des Abstandes zweier zueinander paralleler Geraden

Verbindlich · Sachrechnen

Fortführung der Behandlung von Größen: Messen, Einheiten Rechnen mit den Größen, Sachaufgaben auch in Alltagssituationen Währung und Währungseinheiten Längen und Längeneinheiten Flächeninhalt und Flächeneinheiten Volumina und Volumeneinheiten Zeitpunkt, Zeitspanne und Zeiteinheiten Gewicht und Gewichtseinheiten

Fakultativ · Mathematische Erschließung komplexer Alltagssituationen, Karten lesen, Maßstab

Themenvorschläge: - Planung einer Wanderung oder Klassenfahrt - Maßstab lesen - Messen und Rechnen – Historische Entwicklung von Messtechniken und der Maßeinheiten

Verbindlich · Teilbarkeit

Teiler einer Zahl, Teilermengen; Vielfache einer Zahl, Vielfachenmengen Teilbarkeit von Summe und Produkt Endstellenregeln für Teilbarkeit durch 2, 5, 10, 4, 25, 100; Quersummenregel für Teilbarkeit durch 3 und 9 Primzahlen und Primfaktorzerlegung (einige Beispiele) Bestimmung des ggT, kgV von Zahlen vorwiegend durch systematisches Probieren

Verbindlich · Gewöhnliche Brüche

Bruchteile (Anteile) und Brüche aus dem Erfahrungsbereich der Schüler Darstellung von Bruchteilen an Kreisen, Rechtecken, Strecken

Verbindlich · Grundaufgaben der Bruchrechnung

Bestimmung des Endwertes (Bruchteils), des Anfangswertes (Ganzen), des Bruches (Anteils) Graphische Darstellungen zu den Grundaufgaben

Verbindlich · Bruchzahlen Vergleichen und Ordnen von Brüchen

Beschränkung auf Brüche mit kleinem Zähler und kleinem Nenner Gleichheit von Anteilen Veranschaulichung am Zahlenstrahl Kürzen und Erweitern von Brüchen, Hauptnenner als kgV

Verbindlich · Rechnen mit Bruchzahlen

Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division von Bruchzahlen Anwendungen in Sachaufgaben Rechengesetze (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz) als Vorbereitung der Algebra (Vorrangregeln, einfache Gleichungen)

Verbindlich · Dezimalbrüche, Rechnen mit Dezimalbrüchen

Dezimalschreibweise von Zehnerbrüchen Die vier Grundrechenarten bei abbrechenden Dezimalbrüchen Gewöhnliche Brüche in endliche und periodische Dezimalbrüche umwandeln Runden von Dezimalbrüchen, Schätzen, Überschlagsrechnen Anwendungen in Sachaufgaben Relative Häufigkeiten, Gewinnchancen, Vergleich von Gewinnchancen, Mittelwerte, Diagramme

Fakultativ

Euklidischer Algorithmus Umwandlung periodischer Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche Doppelbrüche

Verbindlich · Winkel

Halbgerade, Winkel in der Umwelt erkennen (Dächer, Zäune, Wegkreuzungen, Drehen einer Kurbel, Steigungswinkel) Winkelgrößen messen und schätzen, auch in Figuren Winkel klassifizieren Winkel bei vorgegebener Größe zeichnen

Verbindlich · Bewegung von Figuren

Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Parallelverschiebung, Drehung von Figuren ausführen Bestimmung der Bildfiguren Konstruktionsvorschriften und Eigenschaften der Abbildungen werden durch die Anschauung gewonnen bzw. erarbeitet Erzeugen von Mustern durch Spiegeln, Drehen, Parallelverschieben

Verbindlich · Symmetrische Figuren

Symmetrie in der Erfahrungswelt der Schüler, z.B. Verkehrsschilder, Graphiken, Blütenformen, Kristalle, Ornamente, Buchstaben, Ziffern, Zahlen Ganzheitliches Erkennen und spielerisches Herstellen punktsymmetrischer, achsensymmetrischer, drehsymmetrischer Figuren Zeichnen von Symmetrieachsen in Figuren

Verbindlich · Flächen und Flächeninhalte

Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken, Quadraten Inhalt und Umfang von Flächen, die aus Rechtecken und Quadraten zusammengesetzt sind Zerlegung von Figuren in Rechtecke und Quadrate Flächeninhalt, z.B. von Kacheln, Wänden, Grundstücken, Fenster, Türen Verbindung zum Rechnen mit Bruchzahlen

Verbindlich · Körper, Volumen und Oberflächeninhalt

Volumen und Oberflächeninhalt von Quader und Würfel Modelle von Körpern, die aus Quadern und Würfeln zusammengesetzt sind (Verpackungen, Möbel, Räume, Gebäude) Volumen und Oberflächeninhalt von Körpern, die aus Quadern und Würfeln zusammengesetzt sind

Verbindlich · Proportionale und antiproportionale Zuordnungen · Zuordnungen

Zuordnungstabellen Graphische Darstellung im Koordinatensystem Zuordnungen analysieren: z:B: ‚Je mehr – desto mehr’, ‚Je mehr – desto weniger’

Verbindlich · Proportionale und antiproportionale Zuordnungen · Proportionale Zuordnungen

Summen- und Vielfachenregel, Quotientengleichheit, Proportionalitätsfaktor Dreisatz Graphische Darstellung durch Ursprungsgeraden

Verbindlich · Proportionale und antiproportionale Zuordnungen · Antiproportionale Zuordnungen

Vielfachenregel, Produktgleichheit, Zuordnungsvorschrift Dreisatz Graphische Darstellung, Vergleich mit Graphen anderer Zuordnungen

Verbindlich · Proportionale und antiproportionale Zuordnungen · Aufgaben aus komplexen Sachzusammenhängen

u.a. Bewegungsaufgaben, Geschwindigkeit

Verbindlich · Prozentrechnung · Prozentbegriff

Vergleich des Anteils Umwandlung zwischen den verschiedenen Darstellungen: Bruch-, Dezimal- und Prozentschreibweise Überschlagsrechnen (auch Rechnen mit speziellen Prozentsätzen (z.B.: 5 %, 10 %, 12,5 %, 20 %, 25 %, 33 1/3 %))

Verbindlich · Prozentrechnung · Grundaufgaben zur Prozentrechnung

Berechnung des Prozentwertes, Prozentsatzes und Grundwertes Kreisdiagramm, Stab- / Säulendiagramm, Streifen- / Blockdiagramm Aufgaben aus komplexen Sachzusammenhängen, hierbei sind auch jeweils aktuelle Probleme zu berücksichtigen (Materialbesorgung durch die Schülerinnen und Schüler aus Presse oder Internet)

Verbindlich · Prozentrechnung · Zinsrechnung

Bezug zur Prozentrechnung, Jahreszinsen Kapital, Zinsen, Zinssatz

Verbindlich · Prozentrechnung

Aufgaben zum erhöhten und verminderten Grundwert

Verbindlich · Prozentrechnung · Einsatz von Taschenrechnern

Grundaufgaben zur Prozentrechnung, Problematisieren der ‚%-Taste’, Runden Zinsen von Zinsen, Kapitalverdopplung kritische Beurteilung der Ergebnisse, Problematisierung der ‚Genauigkeit’

Verbindlich · Prozentrechnung · PC-Einsatz

Lösung von Aufgaben zur Prozentrechnung mittels Tabellenkalkulationsprogrammen, graphische Darstellungen (Kreis-, Balkendiagramme)

Fakultativ · Aufgaben aus komplexen Sachzusammenhängen

Doppelter Dreisatz

Verbindlich · Rationale Zahlen Vergleichen und Ordnen

Hinführung zu den negativen Zahlen anhand anschaulicher Modelle Zahl und Gegenzahl, Betrag einer Zahl Zahlenstrahl

Verbindlich · Rechnen mit rationalen Zahlen

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze Klammerregeln / Vorrangregeln (Propädeutik der in Klasse 8 zu behandelnden Termumformungen)

Verbindlich · Einfache Gleichungen

Lösen einfacher Gleichungen in N, Z und Q (keine Äquivalenzumformungen)

Verbindlich · Koordinatensystem

Verwendung rationaler Zahlen (Darstellung und Bewegung von Figuren)

Fakultativ · Koordinatensystem

Verschiebungspfeile, Verschiebungen von Figuren im Koordinatensystem (zeichnerische und rechnerische Ausführung), auch im 2., 3. und 4. Quadranten Hintereinanderausführung von Verschiebungen

Verbindlich · Winkel an Geradenkreuzungen

Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel

Verbindlich · Winkelsummensätze

Dreieck, Viereck, n-Eck

Verbindlich · Gleichschenkliges Dreieck

Basiswinkelsatz Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende

Verbindlich · Konstruktion von Dreiecken und Vierecken

Dreieck, Parallelogramm, Trapez Höhen Konstruktionen (Arbeiten auch mit Geodreieck)

Verbindlich · PC-Einsatz

Konstruktion von Figuren mittels Geometrieprogrammen

Verbindlich · Kongruente Figuren

Kongruente Figuren als Figuren mit den gleichen Maßen und gleicher Gestalt / deckungsgleiche Figuren Kongruenzsätze für Dreiecke (Begründung und Anwendung beim Konstruieren) Vermessungsaufgaben

Verbindlich · Flächeninhaltsberechnungen, Umfangsberechnungen

Parallelogramm, Dreieck, Trapez Flächeninhalt und Umfang von Vielecken in Anwendungssituationen (Zerlegungen, Ergänzungen) Flächenberechnungen unter Berücksichtigung von Messgenauigkeiten

Fakultativ · Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal

Zweikreisfigur / gleichschenkliges Dreieck

Verbindlich · Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zufallsversuch, Ausfall (Ergebnis), relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit, Ereignis

Verbindlich · Ereignisse bei einstufigen Zufallsversuchen

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, Additionssatz, Laplace-Formel

Verbindlich · Ereignisse bei mehrstufigen Zufallsversuchen

Wahrscheinlichkeitsbaum, Multiplikationsregel

Verbindlich · Lineare Gleichungen und Ungleichungen · Ganzrationale Terme

Aufstellen von Termen, Analyse von Termen, Wertgleichheit von Termen Umformungsregeln

Verbindlich · Lineare Gleichungen und Ungleichungen · Binomische Formeln

Faktorisieren, quadratische Ergänzung

Verbindlich · Lineare Gleichungen und Ungleichungen · Lineare Gleichungen / Ungleichungen

Lösen linearer Gleichungen und Ungleichungen Lösungsmenge (auch leere Menge) Lösungsmengen von Ungleichungen auf der Zahlengeraden veranschaulichen Umstellen einer Formel

Verbindlich · Lineare Funktionen · Proportionale Funktionen / Lineare Funktionen

Darstellung durch Graph und Tabelle, Funktionsgleichung, Nullstelle, Steigungsdreieck Verschiebung, Achsenabschnitt Gerade als Graph, Punktprobe Funktionsgleichungen zu Graphen angeben Proportionales und lineares Wachstum

Verbindlich · Lineare Funktionen · Antiproportionale und andere Funktionen

Funktionsgleichungen und Graph bei antiproportionalen Funktionen Beispiele für andere nichtlineare Funktionen

Fakultativ · PC-Einsatz

CAS bei Termumformungen

Fakultativ · Binomische Formeln für n > 2

Pascalsches Dreieck, Binomischer Satz

Fakultativ · Bruchgleichungen

Kürzen und Erweitern von Bruchtermen

Fakultativ · Geraden und Punkte

Gerade durch zwei Punkte, Steigung Schnittpunkte zweier Geraden berechnen

Fakultativ · Verhältnis zweier Größen

Einfache Verhältnisgleichungen

Fakultativ · Codierung von Zahlen

Bedeutung der Strichcodes, Codierungsmethoden, Prüfziffer, ISBN-Codierung

Verbindlich · Dreiecke

Mittelsenkrechte (Umkreis), Winkelhalbierende (Inkreis), Höhenschnittpunkt Anwendungen

Verbindlich · Beweisen am Beispiel von Dreiecken und Vierecken

Definition, Satz, Kehrsatz, Wenn-dann-Beziehung, Verwendung geometrischer Eigenschaften

Verbindlich · Ordnen der Vierecke

Verschiedene Ordnungsgesichtspunkte betrachten (Symmetrieeigenschaften)

Verbindlich · Kreis und Geraden

Sehne, Sekante, Tangente Thalessatz

Verbindlich · Einsatz interaktiver Geometrieprogramme

Geometrieprogramme zur Darstellung von geometrischen Figuren und zum ’spielerischen Experimentieren’, um neue Erkenntnisse zu gewinnen.

Verbindlich · Prismen

Körpermodell, Netz, Schrägbild (Handskizze) Oberflächeninhalt, Volumen Wiederholung: Flächeninhalt ebener Figuren

Fakultativ · Punktspiegelung, Achsenspiegelung

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie in Natur, Technik und Kunst Verwendung der Eigenschaften der Abbildungen zum Beweisen

Fakultativ · Umkreis, Inkreis

Sehnenviereck Umfangswinkelsatz – Zusammenhang mit Thalessatz Tangentenviereck

Verbindlich · Prozentuale Änderungen

Vermehrter und verminderter Grundwert „Änderung um“, „Änderung auf“, Prozentsätze über 100% Verknüpfungen von Prozentsätzen

Verbindlich · Zinsrechnung unter Berücksichtigung der Zeit

Monats- und Tageszinsen bei jährlicher Verzinsung Zinsformel

Verbindlich · Zinseszinsen

Wachstum eines Kapitals mit Zinseszins schrittweise berechnen

Verbindlich · Taschenrechner oder PC

Komplexere Berechnungen (z.B.: Kapitalverdopplung) mittels TR oder PC

Fakultativ · Zinseszinsen

Verstehen und Anwenden der Formel: Kₙ = K₀(1 + p/100)ⁿ Zinsen von Zinsen, Promille

Verbindlich · Simulationen von stochastischen Vorgängen

Zufallszahlen, Pseudozufallszahlen, Simulation von einfachen Zufallsversuchen

Verbindlich · PC-Einsatz

Tabellenkalkulationen ermöglichen die Bearbeitung von größeren Datenmengen. Zufallszahlengenerierung Strecken- , Balken-, Kreisdiagramme erstellen

Fakultativ · Simulationen

Computersimulation komplexer Vorgänge

Verbindlich · Lineare Gleichungssysteme · Systeme von zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen

Geometrische Lösung, Einsetzungs-, Gleichsetzungs-, Additionsverfahren, sämtliche Lösungsfälle

Verbindlich · Lineare Gleichungssysteme · Anwendungen

Realitätsbezogene Beispiele zu Sach- und Textaufgaben und fachübergreifende und fächerverbindende Problemstellungen

Fakultativ · Systeme mit drei und mehr Variablen

GAUSS-Algorithmus

Fakultativ · Lineare Ungleichungssysteme

Geometrische Veranschaulichung Lineare Optimierung

Verbindlich · Quadratwurzeln, reelle Zahlen · Begriff der Quadratwurzel einer Zahl a ≥ 0

a als die nichtnegative Zahl, deren Quadrat die Zahl a ist Lösungen der Gleichung x² = a Quadrieren und Wurzelziehen als Umkehroperationen zueinander Irrationalitätsbeweis (z.B. über Endziffern), Begründen und einfache Beweisverfahren

Verbindlich · Quadratwurzeln, reelle Zahlen · Näherungswerte für Quadratwurzeln

Umgang mit Näherungswerten (Rechnerzahlen) Sinnvoller Gebrauch des Taschenrechners

Verbindlich · Quadratwurzeln, reelle Zahlen · Irrationale Quadratwurzeln und reelle Zahlen

Wiederaufgreifen von Wissen über Zahlbereiche Darstellung von Zahlen auf der Zahlengeraden: Konstruktion von Quadratwurzeln auf der Zahlengeraden, Vergleich der Zahlbereiche, Rechengesetze

Verbindlich · Quadratwurzeln, reelle Zahlen · Rechnen mit Quadratwurzeln

Rechenregeln für Quadratwurzeln; Begründung und Anwendung, Termumformungen

Fakultativ · Verfahren zur Wurzelbestimmung

HERON-Verfahren und Intervallhalbierung (auch durch Nutzung von Tabellenkalkulation oder einer Programmiersprache)

Fakultativ · Rechnen mit Quadratwurzeln

Einfache Gleichungen mit Wurzeln

Fakultativ · Irrationalität in der griechischen Mathematik

Erarbeiten kulturhistorischer Zusammenhänge

Verbindlich · Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen · Quadratische Gleichungen

Graphische und rechnerische Lösungsverfahren, quadratische Ergänzung, Lösungsformel Sachprobleme, die auf quadratische Gleichungen führen

Verbindlich · Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen · Spezielle Gleichungen, deren Lösung auf die Lösung quadratischer und anderer bekannter Gleichungen zurückgeführt werden kann

Faktorisieren durch Ausklammern von x bzw. xⁿ Zurückführung auf den Fall T₁ · T₂ = 0, Linearfaktoren Biquadratische Gleichungen (Idee der Substitution) Einfache Bruchgleichungen und Wurzelgleichungen

Verbindlich · Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen · Quadratische Funktionen

Zugang über Realitätsbezüge (z.B. Extremalprobleme, die auf quadratische Funktionen führen) Eigenschaften der Funktion und des Graphen: Normalparabel, Scheitelpunkt, Nullstellen, Verschiebung des Graphen in Richtung der Koordinatenachsen, Strecken und Stauchen in Richtung der y-Achse, Spiegeln an den Koordinatenachse Visualisierung der geometrischen Abbildungen mittels PC

Verbindlich · Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen · Quadratwurzelfunktion

Problematisieren und Vertiefen des Begriffs „Umkehrfunktion“ am Beispiel der Quadrat- bzw. Wurzelfunktion

Fakultativ · Komplexe Terme und Gleichungen (auch mittels PC oder GTR)

Vertiefung algebraischer Techniken (möglichst im Zusammenhang realitätsbezogener Anwendungen) durch konsequentes Wiederaufgreifen, Vertiefen und Vernetzen bekannter Inhalte und Techniken Bruch- und Wurzelterme bzw. –gleichungen: Aufbau und Umformung komplexer Terme und Lösung entsprechender Gleichungen

Fakultativ

Scheitelpunktsform der Parabel Satz von VIETA

Verbindlich · Ähnlichkeit · Ähnlichkeit bei ebenen Figuren

Maßstabsgetreues Vergrößern und Verkleinern einer Figur; Ähnlichkeit, Eigenschaften ähnlicher Figuren: Längenverhältnisse, Winkelkonstanz Flächeninhalt bei zueinander ähnlichen Vielecken

Verbindlich · Ähnlichkeit · Strahlensätze

Strahlensatzfigur, Formulierung und Begründung der Sätze, Problem der Umkehrung

Verbindlich · Ähnlichkeit · Berechnen, Konstruieren und Beweisen mittels Ähnlichkeit

Berechnung von Streckenlängen, Streckenteilung; Inkommensurabilität Untersuchung realitätsbezogener Problemstellungen im Zusammenhang mit Ähnlichkeit: z. B. Kartographie, Baupläne, Papierformate (DIN) Schwerpunktsatz im Dreieck

Fakultativ · Zentrische Streckung

Begriff der zentrischen Streckung (Zentrum und Streckfaktor), Eigenschaften, (vorläufige) Klassifizierung geometrischer Abbildungen

Fakultativ · Ähnlichkeitssätze beim Dreieck

Verbindung zu den Strahlensätzen Anwendung: z.B. zur Herleitung des Katheten- und Höhensatzes oder Sehnensatzes

Fakultativ · Kultur- und kunsthistorische Bedeutung bestimmter Teilverhältnisse

Bestimmte Teilverhältnisse, innere und äußere Teilung, harmonische Teilung, goldener Schnitt

Fakultativ · Ähnlichkeit bei räumlichen Figuren

Volumen

Verbindlich · Satz des Pythagoras und dessen Umkehrung

Erarbeiten der mathematischen Zusammenhänge mit Bezügen zur Geschichte der Mathematik und zu praktischen Problemen Kenntnis des Kathetensatzes und des Höhensatzes

Verbindlich · Berechnen von Streckenlängen in ebenen und räumlichen Figuren

Anwenden, Vertiefen und Vernetzen bekannter geometrischer und algebraischer Kenntnisse und Fähigkeiten zur Bearbeitung realitätsbezogener Problemstellungen, Vergleich unterschiedlicher Lösungswege (algebraisch und geometrisch) Erarbeitung, Anwendung und Umstellung von Formeln im Zusammenhang mit der Satzgruppe des Pythagoras (gleichseitiges Dreieck, Raum- und Flächendiagonalen im Würfel und Quader)

Fakultativ · Satz des Pythagoras – Erweiterungen und Vertiefungen

Höhen- und Kathetensatz, Quadraturprobleme (geometrische und algebraische Lösung) Unterrichtsprojekte zur Vermessung und Kartographie

Fakultativ · Historische Zusammenhänge

Pythagoreer und griechische Mathematik; pythagoreische Zahlentripel

Verbindlich · Kreis Umfang und Flächeninhalt des Kreises

Proportionalität von Umfang von Radius bzw. vom Flächeninhalt und dem Quadrat des Radius

Verbindlich · Kreiszahl π in der Geschichte

Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von π (Einsatz von TR, GTR, PC), Umgang mit Näherungswerten, Herstellen kultur- und wissenschaftshistorischer Bezüge im Zusammenhang mit der Entwicklung von Verständnis für infinitesimale Zugänge Hinweis zum Bogenmaß

Verbindlich · Kreiszylinder

Netz und Schrägbild (Handskizzen) Volumen und Oberflächeninhalt

Fakultativ · Kreiszahlalgorithmen

Flächeninhalt von n-Ecken

Fakultativ · Kreisteile

Kreisbogen und Sektor

Fakultativ · Winkelmaße

Grad- und Bogenmaß des Winkels

Verbindlich · Beschreibende Statistik · Graphische Darstellungen statistischer Daten

Gesamtheit, Stichprobe, Häufigkeitsdiagramme Skalen: Nominalskala, Ordinalskala, metrische Skala

Verbindlich · Beschreibende Statistik · Lagemaße

Modalwert (häufigster Wert), Zentralwert (Median), arithmetisches Mittel, PC-Einsatz

Verbindlich · Beschreibende Statistik · Streumaße

Spannweite, Standardabweichung, PC-Einsatz

Verbindlich · Beschreibende Statistik · Arbeitsweisen der Statistik

Statistische Daten erheben, Erstellen von Häufigkeitsverteilungen und deren graphische Darstellung, Auswertung anhand der erarbeiteten Diagramme sowie mithilfe von Lage- und Streuparametern (auch durch Nutzung von Rechnern); Beurteilung statistischer Angaben im realen Kontext (Aussagekraft von Statistiken und deren Bewertung)

Fakultativ · Vertiefungen und Erschließung komplexer Alltagssituationen

Z.B. Untersuchen von Verkehrsgeschehen und Erstellen einer Verkehrsplanung; Analyse des Konsumverhaltens; naturwissenschaftliche Beobachtungen im Zusammenhang mit Wetter, Tierpopulationen oder Nahrungsmittelanalysen

Verbindlich · Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen · Potenzen mit natürlichen Exponenten

Potenzgesetze, Exponentendarstellung von Zahlen, Vorsilben Hekto, Kilo, Mega, Giga

Verbindlich · Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen · Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Potenzgesetze; Beschränkung auf von Null verschiedene Zahlen als Basis; Exponentenschreibweise, Vorsilben Dezi, Zenti, Milli, Mikro, Nano

Verbindlich · Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen · n-te Wurzel, Potenzen mit rationalen Exponenten

Radizieren als Umkehren des Potenzierens für nichtnegative Radikanden n-te Wurzeln als Potenz Erweiterung des Potenzbegriffs auf gebrochen rationale Exponenten, Potenz- und Wurzelgesetze

Verbindlich · Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen · Einfache Potenzgleichungen

Gleichungen, die auf die Form xⁿ = a zurückgeführt werden können

Verbindlich · Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen · Potenz- und Wurzelfunktionen

Typische Repräsentanten: x → xᵏ, k = 2, 3, 4, -1, -2, Symmetrieeigenschaften der Graphen; Kurvenverläufe für verschiedene Exponenten Verschieben, Strecken und Stauchen des Graphen in Richtung der y-Achse, Nutzung von GTR oder PC

Verbindlich · Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen · Umkehrung von Potenzfunktionen

Problematisieren des Begriffs Umkehrfunktion am Beispiel der Quadrat- und Wurzelfunktion Grundidee der Umkehrung einer Funktion: Tausch von unabhängiger und abhängiger Variablen; Kriterien für die Umkehrbarkeit; Wertetabelle, Graph und Funktionsterm einer Funktion und ihrer Umkehrung Wurzelfunktionen als Umkehrfunktionen eingeschränkter Potenzfunktionen, typische Repräsentanten: n = 1/2, 1/3 sinnvoller Gebrauch des Taschenrechners

Fakultativ · Numerische Algorithmen

Iterative Verfahren zur Wurzelbestimmung (Intervallhalbierung), Einsatz von PC oder TR

Fakultativ · Terme und Gleichungen von Wurzeln

Verständiger Umgang mit Bruchtermen, Rationalmachen des Nenners, einfache Wurzelgleichungen

Verbindlich · Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen · Exponentialfunktionen: x → bˣ

Aufgrund des starken Anwendungsbezuges dieser Unterrichtseinheit ist die Verwendung eines PC oder GTR erforderlich Zugang über realitätsbezogene Beispiele: Wachstums- und Zerfallsprozesse, Verzinsung Verdopplung- und Halbierungszeiten als Parameter Graphen für b = 2, 3, 1/2, 1/3 und Eigenschaften, Vergleich mit linearen, quadratischen und kubischen Funktionen

Verbindlich · Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen · Logarithmen

Logarithmieren neben dem Radizieren als zweite Möglichkeit der Umkehrung des Potenzierens, Logarithmengesetze log_b a = log₁₀ a / log₁₀ b, verständiger Gebrauch des Taschenrechners

Verbindlich · Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen · Logarithmusfunktionen x → log_b x

Wiederaufgreifen des Begriffs der Umkehrfunktion, Umkehrung der Exponentialfunktion, Eigenschaften der Logarithmusfunktion und ihrer Graphen

Verbindlich · Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen · Modellierung von Wachstums- und Prozessmodellen

Modellierung von Prozessen aus den Natur-, Sozial- oder Wirtschaftswissenschaften anhand gegebenen Datenmaterials z. B. aus naturwissenschaftlichen oder demoskopischen Untersuchungen, mittels Exponential- oder anderer bekannter Funktionen, auch durch Nutzung von Rechnern, exemplarischer Vergleich verschiedener Modelle und Beurteilung deren Grenzen

Verbindlich · Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen · Linearisierung von Exponentialfunktionen

Arbeit mit Wertetabellen, Tabellenkalkulation oder logarithmische Skalen oder einfach logarithmischen Papier

Fakultativ · Linearisierung von Potenzfunktionen

Arbeit mit doppelt logarithmischem Papier oder Tabellenkalkulation Logarithmisch definierte Größen, wie z.B. der pH-Wert oder die Lautstärke

Fakultativ · historische Bezüge, „alte“ mathematische Werkzeuge

Logarithmentafeln und ihre Bedeutung in der Wissenschaftsgeschichte, Internetrecherchen

Verbindlich · Pyramide, Kegel, Kugel · Darstellung räumlicher Körper

Schrägbild, Ansichten (Vorder- und Seitenansicht, Draufsicht), Symmetrien Schulung räumlicher Anschauung und Darstellung

Verbindlich · Pyramide, Kegel, Kugel · Oberflächeninhalt und Volumen

Experimentelles und heuristisches Arbeiten (Schüttversuche, Modelle, Näherungsverfahren) Herleitung und Begründung der Formeln (angemessene Auswahl treffen, Wiederaufgreifen des Satzes des Pythagoras)

Fakultativ · Berechnungen am Kegel- und Pyramidenstumpf sowie am Kugelabschnitt

Wiederaufgreifen der Strahlensätze Zurückführung auf bekannte Berechnungen

Fakultativ · Zusammengesetzte Körper

Platonische und Archimedische Körper Satz von Cavalieri

Fakultativ · Perspektiven

Perspektiven in Kunst und Technik

Verbindlich · Trigonometrie und trigonometrische Funktionen · sin α, cos α und tan α als Längenverhältnisse

Darstellung im rechtwinkligen Dreieck, Einheitskreis (Winkel von 0° bis 360°), geometrische Bestimmung von sin α, cos α, tan α, trigonometrische Beziehungen: cos α = sin (90° - α), sin² α + cos² α =1; tanα = sinα / cosα

Verbindlich · Trigonometrie und trigonometrische Funktionen · Berechnungen in Dreiecken, Vielecken und räumlichen Figuren

Anwendungen aus Technik, Physik und ebener und räumlicher Geometrie Sinus- und Kosinussatz Wiederaufnahme der Kongruenzsätze, Vernetzen geometrischer und algebraischer Denk- und Sichtweisen

Verbindlich · Trigonometrie und trigonometrische Funktionen · Bestimmung von Winkelmaßzahlen zu gegebenen Sinus-, Kosinus- und Tangenswerten

Wiederaufgreifen der Grundidee des Umkehrens einer Funktion, sinnvoller Gebrauch des Taschenrechners Steigungswinkel einer Geraden

Verbindlich · Trigonometrie und trigonometrische Funktionen · Sinus- und Kosinusfunktion

Definition über den Einheitskreis bzw. über die senkrechte Projektion einer Kreisbewegung Eigenschaften: Symmetrie, Periodizität Beispiele periodischer Zusammenhänge (z. B. Modelle einfacher zyklischer Prozesse aus den Natur-, Wirtschafts- oder Sozialwissenschaften), Nutzung des PC

Fakultativ · Vertiefungen im Hinblick auf die Berechnung realitätsbezogener Zusammenhänge oder Aspekte der Technikgeschichte

Vermessungsprobleme, Triangulation, Landvermessung in der Geschichte (z. B. Trassen von Wasserleitungen)

Fakultativ · Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion x → a sin(b x + c) bzw. x → a cos(b x + c)

Strecken / Stauchen und Verschieben des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion, PC-Einsatz

Fakultativ · Tangensfunktion

Zusammenhang zur Sinus- und Kosinus-Funktion Typische Eigenschaften: Symmetrie, Periodizität

Fakultativ · Bestimmung von sin α und cos α

Additionssätze: sin (α ± β), cos (α ± β) Algorithmische Bestimmung mittels Taschenrechner oder Tabellenkalkulation Approximative Bestimmung mittels Quadratfunktion

Verbindlich · Mehrstufige Zufallsversuche · Mehrstufige Zufallsversuche

Wiederaufgreifen von Wissen über die Beschreibung mehrstufiger Zufallsversuche: Baumdiagramm, relative Häufigkeiten als Schätzwerte für Wahrscheinlichkeiten, Pfadmultiplikationsregel, Additionsregel Abzählstrategien

Fakultativ · Bernoulli-Experimente und Binominalverteilung

Beispiele und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Experimenten Systematisierung der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Formel der Binominalverteilung, GALTON-Brett Computer-simulierte Zufallsexperimente

Übergangsprofil · Zahlbereiche/Algebra/Funktionen · Zahlbereiche ℕ, ℤ, ℚ, ℝ

Sichere Beherrschung der Grundrechenarten in ℚ (Bruchzahlen und Dezimalzahlen) und ℝ Betrags- und Größenvergleich Teilbarkeit, Primzahlen, Primfaktorzerlegung, Divisionsalgorithmus

Übergangsprofil · Zahlbereiche/Algebra/Funktionen · Proportionale und antiproportionale Funktionen

Funktionsgleichung Definitionsbereich, Wertebereich, Graph einer proportionalen und antiproportionalen Funktion Quotienten- und Produktgleichheit

Übergangsprofil · Zahlbereiche/Algebra/Funktionen · Prozentrechnung Zinsrechnung

Grundaufgaben der Prozent- und Zinsrechnung Erweiterter bzw. verminderter Grundwert Anwendungen der Prozent- und Zinsrechnung z.B. in Naturwissenschaften und Wirtschaft

Übergangsprofil · Zahlbereiche/Algebra/Funktionen · Ganzrationale Terme mit rationalen und irrationalen Zahlen; Termumformungen

Distributivgesetz Kürzen und Erweitern Binomische Formeln

Übergangsprofil · Zahlbereiche/Algebra/Funktionen · Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

Steigung, Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt Gerade (Strecke) als Graph einer linearen Funktion Parallelität und Orthogonalität von Geraden Äquivalenzumformungen zur Lösung einer linearen Gleichung Umkehrfunktion zu einer linearen Funktion

Übergangsprofil · Zahlbereiche/Algebra/Funktionen · Lineare 2x2-Gleichungssysteme

Graphische Verfahren, Gleichsetzungs-, Einsetzungs-, Additionsverfahren zur Lösung eines linearen 2x2-Gleichungssystems

Übergangsprofil · Zahlbereiche/Algebra/Funktionen · Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen

Wertetabelle und Graph einer quadratischen Funktion Geometrische Abbildungen bei quadratischen Funktionen (Verschiebung parallel zur x-Achse und parallel zur y-Achse, Spiegelung an der x-Achse, Streckung parallel zur y-Achse) Scheitelpunktbestimmung bei einer quadratischen Funktion Lösung einer quadratischen Gleichung mittels quadratischer Ergänzung oder mittels der p-q-Formel Lösung biquadratischer Gleichungen Faktorisierung eines quadratischen Funktionsterms

Übergangsprofil · Zahlbereiche/Algebra/Funktionen · Potenzen, Potenzgesetze Potenzfunktionen

Potenzgesetze für Potenzen mit ganzzahligen und rationalen Exponenten, insbesondere mit positiven und negativen Stammbrüchen als Exponenten Quadratwurzel und Quadratwurzelgesetze, Exponentialschreibweise für Quadratwurzeln Graph und Eigenschaften der Funktion f: x → xⁿ, mit x ∈ ℕ \ {0} Wurzelfunktion als Umkehrfunktion

Übergangsprofil · Zahlbereiche/Algebra/Funktionen · Trigonometrische Funktionen

Beschreibung und graphische Darstellung von Sinus, Kosinus, Tangens als Funktion

Übergangsprofil · Zahlbereiche/Algebra/Funktionen · Exponentialfunktionen

Eigenschaften und Graph der Funktionen f: x → abˣ Wachstums- und Zerfallsprozesse Anwendungen Logarithmus als Umkehroperation; Logarithmengesetze Lösung einfacher Exponentialgleichungen

Übergangsprofil · Geometrie

Vertrautheit mit den Grundbegriffen der Geometrie: Punkt, Gerade, Strecke, Ebene, Halbebene, ebene Figur, räumliche Figur, Länge, Flächeninhalt, Volumen, Winkel als Punktmenge, Winkelgröße Klassifikation von Vierecken Strategien zur Lösung von Textaufgaben Voraussetzung, Behauptung, Beweis als Aufbau eines mathematischen Lehrsatzes kennen

Übergangsprofil · Geometrie · Kongruenzabbildungen

Verschiebung, Achsenspiegelung, Drehung

Übergangsprofil · Geometrie · Symmetrie

Achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren, insbesondere Dreiecke und Vierecke

Übergangsprofil · Geometrie · Winkelsätze

Einfache Winkelsätze (Nebenwinkelsatz, Scheitelwinkelsatz, Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz, Winkelsummensatz im Dreieck und Viereck) Satz von Thales und dessen Umkehrung Konstruktion von Tangenten an einen Kreis Lösung von Berechnungs- und Beweisaufgaben als Anwendung der Winkelsätze

Übergangsprofil · Geometrie · Flächeninhalte

Berechnung des Flächeninhalts von Rechteck, Parallelogramm, Trapez, Drachen, Dreieck und von zusammengesetzten Figuren

Übergangsprofil · Geometrie · Kongruenzsätze für Dreiecke

Grundkonstruktionen Konstruktion (Konstruktionsbeschreibung) von Dreiecken als Anwendung der Kongruenzsätze Anwendungen z.B. in der Landvermessung

Übergangsprofil · Geometrie · Transversalen im Dreieck

Mittelsenkrechte, Höhe, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende (Schwerpunkt), Umkreis und Inkreis eines Dreiecks Dreieckskonstruktionen mit Transversalen

Übergangsprofil · Geometrie · Satzgruppe des Pythagoras

Satz des Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz und deren Umkehrung; Anwendungen

Übergangsprofil · Geometrie · Ähnlichkeitsgeometrie

1. Strahlensatz und seine Umkehrung 2. Strahlensatz

Übergangsprofil · Geometrie · Kreis und Kreisteile

Bestimmung von π Flächeninhalt und Umfang von Kreis und Kreisteilen Winkel im Bogenmaß

Übergangsprofil · Geometrie · Trigonometrie

Sinus, Kosinus, Tangens am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis Sinussatz, Kosinussatz Dreiecksberechnungen und Anwendungen

Übergangsprofil · Geometrie · Volumen und Oberflächeninhalt von Körpern

Schrägbild von Quader, Zylinder, Prisma, Kegel, Kugel

Übergangsprofil · Stochastik · Beschreibende Statistik

Statistische Daten erheben und auswerten; absolute Häufigkeit; relative Häufigkeit Streifen- und Säulendiagramme Mittelwerte (arithmetisches Mittel, Zentralwert)

Übergangsprofil · Stochastik · Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einstufige und mehrstufige Zufallsversuche Ergebnismenge Ereignis - Elementarereignis Laplace-Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Wahrscheinlichkeitsbäume (Summen-, Produktregel)

Übergangsprofil · Taschenrechner · Taschenrechner

Sinnvoller Umgang mit dem Taschenrechner bei Anwendungsaufgaben Sicherheit bei der Angabe von Lösungen, die der Problemstellung angemessen sind