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Mathematisch argumentieren
Ende Schuljahrgang 6
stellen mathematische Vermutungen an.
stellen die Fragen „Gibt es …?“, „Wie verändert sich…?“, „Ist das immer so …?“.
stützen Behauptungen durch Beispiele.
widerlegen falsche Aussagen durch ein Gegenbeispiel.
begründen Rechenregeln und Formeln anhand von Beispielen mit eigenen Worten und Fachbegriffen.
begründen ihre Lösungsansätze und Lösungswege.
beurteilen die Plausibilität von Aussagen.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
präzisieren Vermutungen, um sie mathematisch prüfen zu können.
stellen die Fragen „Gibt es Gegenbeispiele…?“, „Wie lautet die Umkehrung der Aussage …?“.
finden Begründungen durch Ausrechnen bzw. Konstruieren.
finden Fehler in falschen oder Lücken in unvollständigen Argumentationen und korrigieren sie.
begründen Aussagen in begrenzten Inhaltsbereichen durch vorliegende Sätze.
beurteilen ihre Lösungsansätze und Lösungswege.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 9/10
stellen die Frage „Gibt es Spezial- oder Extremfälle…?“.
kehren Sätze um und überprüfen die Gültigkeit.
zeigen an geeigneten Beispielen und Veranschaulichungen die allgemeine Gültigkeit von Aussagen.
unterscheiden Behauptung, Voraussetzung und Beweis.
Mathematische Probleme lösen
Ende Schuljahrgang 6
stellen sich Fragen zum Verständnis des Problems.
formulieren das Problem mit eigenen Worten.
schätzen und überschlagen erwartet Ergebnisse.
übertragen Lösungsbeispiele auf neue Aufgaben.
lösen Probleme durch Probieren.
nutzen Darstellungsformen wie Tabellen, Skizzen oder Graphen zur Problemlösung.
wenden die Strategie des Zerlegens und Zusammensetzens an.
nutzen die Strategie des kombinierten Vor- und Rückwärtsarbeitens. ng.
erkennen, beschreiben und korrigieren Fehler.
prüfen ihre Ergebnisse in Bezug auf die ursprüngliche Problemstellung.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
ermitteln durch Plausibilitätsüberlegungen Näherungswerte des erwarteten Ergebnisses.
nutzen systematische Probierverfahren.
gliedern das Problem in Teilprobleme auf.
suchen im Unterschiedlichen das Gemeinsame (Invarianzprinzip).
reflektieren die eingesetzten Problemlösestrategien.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 9/10
nutzen Variablen, Terme und Gleichungen zur Problemlösung.
variieren die Bedingungen.
vergleichen Vorgehensweisen des Problemlösens bzgl. der angewandten Strategien und bewerten diese.
Mathematisch modellieren
Ende Schuljahrgang 6
entnehmen relevante Informationen aus vertrauten Alltagssituationen und einfachen Texten.
formulieren naheliegende Fragen zu vertrauten Situationen.
ermitteln Ausgangswerte offener Aufgaben durch Schätzen und Plausibilitätsüberlegungen.
strukturieren Daten.
wählen naheliegende Modelle.
nennen zu bekannten mathematischen Modellen Alltagssituationen.
lösen Aufgaben unter Anwendung von Rechenoperationen, Diagrammen, Tabellen oder Häufigkeiten.
prüfen das Ergebnis in Bezug zur Ausgangsfrage und zu den vorgenommenen Abschätzungen.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
formulieren zu Situationen unterschiedliche Fragen.
strukturieren Zusammenhänge.
wählen Modelle und begründen ihre Wahl.
lösen Aufgaben unter Anwendung von Termen.
interpretieren das Ergebnis in Bezug auf die Realsituation.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 9/10
entnehmen Informationen aus komplexen, nicht vertrauten Situationen.
nähern sich der Realsituation durch Verknüpfung mehrerer Modelle genauer an.
nutzen zur Lösung einer komplexen Aufgabe mehrere Modelle und verknüpfen sie.
vergleichen ihr Modell mit möglichen anderen Modellen.
beschreiben die Grenzen mathematischer Modelle an Beispielen.
Mit mathematischen Darstellungen umgehen
Ende Schuljahrgang 6
entnehmen Informationen aus einfachen Grafiken und Diagrammen.
fertigen exakte und sachgerechte Zeichnungen an.
nutzen den Wechsel zwischen handelnder, bildhafter und symbolischer Ebene um einen mathematischen Sachverhalt zu verdeutlichen.
erstellen verschiedene Darstellungen wie einfache Grafiken, Skizzen, Säulendiagramme, Tabellen und Texte und wechseln zwischen diesen.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
entnehmen Informationen aus komplexeren Grafiken und Diagrammen und interpretieren diese.
ordnen Informationen aus verschiedenen Darstellungsformen einander zu.
erstellen umfangreichere Darstellungen.
erstellen verschiedene Darstellungen, wechseln zwischen diesen und interpretieren sie.
stellen einfache geometrische Sachverhalte algebraisch dar und umgekehrt.
strukturieren Darstellungen übersichtlich.
analysieren Darstellungen kritisch und bewerten einzelne Darstellungsformen im Kontext.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 9/10
wählen die Darstellung adressatengerecht und sachangemessen aus.
bereiten Darstellungen präsentationsgerecht auf.
beurteilen Darstellungen in Hinblick auf ihre Sach- und Adressatenangemessenheit.
Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
Ende Schuljahrgang 6
arbeiten mit Lineal, Geodreieck und Zirkel.
nutzen die Tabellenkalkulation zum Erstellen von Diagrammen.
übersetzen zwischen UmgangsFach- und Symbolsprache.
nutzen Operationszeichen und Klammern sachgerecht.
verwenden die Relationszeichen („=“, „<“, „>“, „≈“) sachgerecht.
berechnen Zahlenterme.
lösen einfache Gleichungen durch Probieren und Rückwärtsarbeiten.
nutzen die Überschlagsrechnung zur Überprüfung von Ergebnissen.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
nutzen dynamische Geometriesoftware.
nutzen die Standardfunktionen des Taschenrechners.
nutzen Tabellenkalkulationssoftware.
beschreiben mathematische Probleme und Sachsituationen mithilfe von Variablen und umgekehrt.
verwenden Variablen als Platzhalter.
berechnen die Werte einfacher Terme.
vereinfachen Variablenterme.
lösen Gleichungen durch systematisches Probieren und durch Äquivalenzumformungen.
wählen Kontrollverfahren aus und wenden sie an.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 9/10
nutzen die Speicherfunktion des Taschenrechners.
fassen überschaubare Terme mit Variablen zusammen (Ausmultiplizieren und Ausklammern, Binomische Formeln).
Mathematisch kommunizieren
Ende Schuljahrgang 6
nutzen das Schulbuch und eigene Aufzeichnungen zum Nachschlagen. an-
beschreiben und dokumentieren Lösungswege sachgerecht, strukturiert und nachvollziehbar.
benutzen eingeführte Fachbegriffe und Darstellungen.
veranschaulichen Lösungswege. en
beschreiben und überprüfen Lösungswege von Mitschülerinnen und Mitschülern mit eigenen Worten.
bearbeiten im Team Aufgaben ode Problemstellungen. ern
diskutieren Fehler in Lösungswegen und korrigieren sie
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
erläutern Mitschülerinnen und Mitschülern ihre Überlegungen, die zur Lösung geführt haben.
präsentieren Lösungswege unter Verwendung geeigneter Medien.
erklären verschiedene Denkwege und korrigieren Fehler.
beurteilen die Gruppenarbeit und schlagen Verbesserungen vor.
erläutern Strategien zur Fehlervermeidung.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 9/10
nutzen Formelsammlungen.
vergleichen und bewerten unterschiedliche Lösungswege und Ergebnisse.
erklären Ursachen und Auswirkungen von Fehlern in Lösungswegen.
Zahlen und Operationen
Ende Schuljahrgang 6
verfügen über ein tragfähiges Verständnis des Stellenwertsystems.
stellen natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl und in der Stellenwerttafel dar.
vergleichen und ordnen positive rationale Zahlen.
erzeugen durch Handlungen Bruchteile.
deuten Brüche als Anteile und Verhältnisse und nutzen diese in Anwendungssituationen.
verwenden verschiedene Darstellungen, wie Zahlenstrahl, Streifen, Rechtecke und Kreise für Brüche und Dezimalbrüche und beziehen sie aufeinander.
deuten Dezimalbrüche als verfeinerte Maßzahlen und Anteile und erklären ihre Stellenwerte.
identifizieren Brüche mit dem Nenner 100 als Prozent.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
erläutern die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf die rationalen Zahlen anhand von Beispielen.
vergleichen und ordnen positive und negative rationale Zahlen.
ordnen verschiedenen Sachverhalten des täglichen Lebens negative Zahlen zu.
wandeln Dezimalbrüche, Brüche und Prozentzahlen ineinander um.
nutzen den Prozentbegriff in Anwendungssituationen.
Ende Schuljahrgang 6
kennen Bedeutung und Zusammenhänge der Grundrechenarten der natürlichen und positiven rationalen Zahlen und nutzen sie.
nutzen die multiplikative Struktur natürlicher Zahlen (Teilbarkeit, Primzahlen, Quadratzahlen).
runden Zahlen sachangemessen.
deuten und nutzen das Kürzen und Erweitern von Brüchen als Vergröbern bzw. Verfeinern der Einteilung.
rechnen mit natürlichen Zahlen im Kopf, halbschriftlich und schriftlich, wählen das Verfahren sinnvoll aus und führen die Division mit einfachen mehrstelligen Divisoren aus.
überschlagen Rechnungen mit Dezimalbrüchen.
führen die vier Grundrechenarten mit Dezimalbrüchen in Sachsituationen durch.
nutzen Rechenregeln und Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen.
addieren und subtrahieren Brüche mit überschaubaren Nennern und multiplizieren sie mit natürlichen Zahlen in Sachsituationen.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
kennen Bedeutung und Zusammenhänge zwischen den Grundrechenarten rationaler Zahlen.
verfügen über bildhafte Vorstellungen der Multiplikation von Brüchen.
überschlagen Rechnungen mit positiven und negativen rationalen Zahlen.
rechnen mit rationalen Zahlen.
nutzen Rechenregeln und Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen und beschreiben Sachverhalte durch Zahlterme und umgekehrt.
multiplizieren und dividieren Brüche mit überschaubaren Nennern in Sachsituationen.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 9/10
erkennen das Wurzelziehen als Umkehrung des Quadrierens.
überschlagen den Wert einer Wurzel.
Größen und Messen
Ende Schuljahrgang 6
geben zu Größen alltagsbezogene Repräsentanten an.
unterscheiden Längen, Flächeninhalte und Volumina.
wählen zu den Größen Zeit, Masse, Länge, Fläche und Volumen die Einheiten situationsgerecht aus.
schätzen Größen durch Vergleich mit alltagsbezogenen Repräsentanten und führen Messungen in der Umwelt durch.
schätzen, messen und zeichnen Winkel.
ermitteln durch Schätzen und Messen den Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck.
ermitteln durch Schätzen und Messen das Volumen von Würfel und Quader.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
weisen zusammengesetzten Größen proportionale Zuordnungen zu (Geschwindigkeit, Dichte).
schätzen die Größe des zu erwartenden Ergebnisses ab und begründen ihren Schätzwert.
bestimmen zur Berechnung notwendige Längen zeichnerisch.
Ende Schuljahrgang 6
rechnen alltagsnahe Längen-, Massen- und Zeiteinheiten in benachbarte Einheiten um.
berechnen Flächeninhalt und Umfang von Quadrat und Rechteck.
berechnen Volumen und Oberfläche von Würfel und Quadern.
bestimmen Winkelgrößen mithilfe von Neben-, Scheitel- und Stufenwinkelsatz.
entnehmen Originallängen aus maßstäblichen Karten.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
rechnen alltagsnahe Flächen- und Volumeneinheiten in benachbarte Einheiten um.
berechnen Flächeninhalt und Umfang von Dreieck, Parallelogramm und Trapez.
berechnen Flächeninhalt und Umfang zusammengesetzter Figuren.
berechnen Volumen und Oberfläche des Prismas.
wenden den Winkelsummensatz für Drei- und Vierecke an.
rechnen Längen maßstäblich um.
erstellen maßstäbliche Zeichnungen.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 9/10
berechnen Flächeninhalt und Umfang von Kreis und Kreisteilen.
bestimmen den Flächeninhalt von nicht geradlinig begrenzten Figuren.
berechnen Volumen und Oberfläche des Zylinders.
berechnen Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper.
berechnen Volumen und Oberfläche von Pyramide und Kugel.
berechnen das Volumen des Kegels.
berechnen Streckenlängen mit dem Satz des Pythagoras und Ähnlichkeitsbeziehungen.
berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen in rechtwinkligen Dreiecken mit trigonometrischen Beziehungen.
Raum und Form
Ende Schuljahrgang 6
erkennen und benennen Eigenschaften von Punkt, Gerade, Strahl, und Strecke.
erkennen und benennen Eigenschaften von Rechteck, Quadrat, Dreieck und Kreis.
unterscheiden Winkeltypen.
erkennen und benennen Eigenschaften von Würfel und Quader. e in
zeichnen einfache ebene Figuren.
stellen im Koordinatensystem Punkte, Strecken und einfache Figuren dar und lesen Koordinaten ab.
erkennen und erstellen Modelle, Skizzen, Ansichten, Schrägbilder und Netze einfacher Körper.
erkennen und beschreiben Symmetrien ebener Figuren.
zeichnen und konstruieren achsensymmetrische Figuren.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
erkennen und benennen Eigenschaften von Parallelogramm, Raute, Drachen und Trapez.
unterscheiden Dreiecksformen.
erkennen und benennen Eigenschaften von Prismen, Kegeln, Pyramiden, Zylindern und Kugeln.
konstruieren geometrische Figuren mit Zirkel und Geodreieck sowie dynamischer Geometriesoftware.
erkennen und erstellen Modelle, Ansichten, Skizzen, Schrägbilder und Netze von Prismen.
bilden Figuren durch Kongruenzabbildungen ab (Verschiebung, Achsen- und Punktspiegelung und Drehung).
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 9/10
erkennen und erstellen Modelle, Ansichten, Skizzen, Schrägbilder und Netze von Pyramiden, Zylindern und zusammengesetzten Körpern.
erkennen Ähnlichkeiten gestreckter Figuren und begründen sie durch ihre Eigenschaften.
Ende Schuljahrgang 6
nutzen Lagebeziehungen von parallelen und senkrechten Geraden.
bestimmen Abstände.
nutzen Winkelbeziehungen an Geradenkreuzungen: Scheitel-, Neben- und Stufenwinkel.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
nutzen Linien und Punkte im Dreieck zur Lösung von Problemen (Höhen, Winkelhalbierende/Inkreis, Mittelsenkrechte/Umkreis).
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 9/10
nutzen Ähnlichkeiten von Dreiecken zum Lösen geometrischer Probleme.
Funktionaler Zusammenhang
Ende Schuljahrgang 6
erkennen und beschreiben Regelmäßigkeiten in Zahlenfolgen und geometrischen Mustern und setzen diese fort.
erfassen Zusammenhänge als proportional.
stellen Beziehungen zwischen Zahlen und Größen in Tabellen und im Koordinatensystem dar und wechseln zwischen den Darstellungsformen.
berechnen Größen proportionaler Zusammenhänge in Tabellen mit dem Zweisatz.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
unterscheiden und beschreiben nicht-proportionale, proportionale und antiproportionale Zusammenhänge.
beschreiben reale Situationen durch Terme und Gleichungen und umgekehrt.
stellen proportionale und antiproportionale Zusammenhänge in Tabellen und Graphen dar und wechseln zwischen den Darstellungsformen.
verwenden Eigenschaften der Proportionalität und Antiproportionalität zur Ermittlung gesuchter Größen (Dreisatz).
verwenden die Prozentrechnung sachgerecht und berechnen Zinsen.
interpretieren Graphen von nichtproportionalen, proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 9/10
beschreiben lineare Funktionen.
stellen lineare Zusammenhänge als Funktionsgleichung und im Koordinatensystem dar.
stellen Sachverhalte durch lineare Gleichungssysteme dar.
stellen Wachstumsprozesse dar.
lösen lineare Gleichungen systematisch und verwenden sie in Anwendungszusammenhängen.
nutzen den Zinsfaktor zur Berechnung der Zinseszinsen.
lösen lineare Gleichungssysteme durch Probieren, grafisch und algebraisch.
interpretieren die Steigung linearer Zusammenhänge als Änderungsrate.
Daten und Zufall
Ende Schuljahrgang 6
stellen Fragen, die mit Daten beantwortet werden können.
sammeln Daten durch Beobachtung, Experimente und Umfragen.
stellen Daten in Tabellen, Balkendiagrammen und Säulendiagrammen dar.
beschreiben die Datenverteilung mit den Begriffen Minimum, Maximum, Spannweite, Ausreißer, Median.
berechnen das arithmetische Mittel.
vergleichen Erhebungsergebnisse
beurteilen, ob Fragen mit Hilfe der ausgewerteten Daten beantwortet werden können.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
planen selbstständig einfache statistische Erhebungen.
stellen Daten in Linien-, Streifen-, Kreisdiagrammen sowie eindimensionalen Streudiagrammen dar.
beschreiben Daten mit Hilfe von relativer Häufigkeit.
vergleichen und beurteilen verschiedene Darstellungen derselben Daten.
interpretieren Daten mithilfe von relativer Häufigkeit und arithmetischem Mittelwert.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 9/10
stellen Datenpaare in zweidimensionalen Streudiagrammen dar und zeichnen die Ausgleichsgerade nach Augenmaß.
beurteilen die Verteilung von Daten anhand grafischer Darstellungen (Häufigkeitsdiagramm, Boxplot).
beurteilen Daten/Grafiken in Medien auf mögliche Fehlschlüsse (Stichprobenrepräsentativität, Klassenbildung, graf. Verzerrung).
Ende Schuljahrgang 6
führen Laplace-Zufallsexperimente durch und werten sie aus (Würfel, Münze).
beschreiben die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen qualitativ („sicher“, „möglich“, „unmöglich“, „wahrscheinlicher“, „genauso wahrscheinlich wie“).
begründen Vermutungen über die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen bei einfachen Zufallsgeräten und beschreiben sie durch Brüche.
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 8
führen Nicht-Laplace-Zufallsexperimente durch und werten sie aus (Streichholzschachtel, Heftzwecke).
stellen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch einen Bruch, Dezimalbruch oder Prozentsatz dar.
bestimmen Wahrscheinlichkeiten näherungsweise über relative Häufigkeiten (Gesetz der großen Zahl).
Zusätzlich Ende Schuljahrgang 9/10
führen zweistufige Zufallsexperimente durch und stellen sie im Baumdiagramm dar (zwei Münzen, zwei Würfel, Münze-Würfel).
berechnen Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten (Baumdiagramm, Pfadregeln).
analysieren Zufallsgeräte und schließen auf Wahrscheinlichkeiten (Urne, Glücksrad).
