Hilfsmittelfreies Operieren

wenden grundlegende Kopfrechenfertigkeiten sicher an. stellen sich geometrische Situationen räumlich vor und wechseln zwischen Perspektiven. übersetzen symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache und umgekehrt. führen geeignete Rechenoperationen auf der Grundlage eines inhaltlichen Verständnisses durch. arbeiten unter Berücksichtigung mathematischer Regeln und Gesetze mit Variablen, Termen, Gleichungen und Funktionen. führen Darstellungswechsel sicher aus. führen Lösungs- und Kontrollverfahren sicher und effizient durch. nutzen schematisierte und strategiegeleitete Verfahren, Algorithmen und Regeln.

Arbeiten mit Medien und Werkzeugen

nutzen mathematische Hilfsmittel (Lineal, Geodreieck und Zirkel) zum Messen, genauen Zeichnen und Konstruieren. recherchieren Informationen und Daten aus Medienangeboten (Printmedien, Internet und Formelsammlung). nutzen digitale Mathematikwerkzeuge (dynamische Geometriesoftware, Computer-Algebra-Systeme, Multirepräsentationssysteme, Taschenrechner und Tabellenkalkulation). entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge und wählen diese begründet aus. nutzen analoge und digitale Medien zur Unterstützung, zur Gestaltung mathematischer Prozesse und zur Präsentation.

Strukturieren

erfassen reale Situationen und beschreiben diese mit Worten und Skizzen. stellen eigene Fragen zu realen Situationen, die mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten beantwortet werden können. treffen begründet Annahmen und nehmen Vereinfachungen realer Situationen vor.

Mathematisieren

übersetzen reale Situationen in mathematische Modelle bzw. wählen geeignete Modelle aus und nutzen geeignete Darstellungen. ordnen einem mathematischen Modell passende reale Situationen zu. erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb des mathematischen Modells.

Interpretieren und Validieren

beziehen erarbeitete Lösungen auf die reale Situation und interpretieren diese als Antwort auf die Fragestellung. überprüfen Lösungen auf ihre Plausibilität in realen Situationen. benennen Grenzen aufgestellter mathematischer Modelle und verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung.

Erkunden

geben Problemsituationen in eigenen Worten wieder und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation. wählen geeignete heuristische Hilfsmittel aus (Skizze, informative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren). setzen Muster und Zahlenfolgen fort, beschreiben Beziehungen zwischen Größen und stellen begründete Vermutungen über Zusammenhänge auf.

Lösen

wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge, Verfahren, Medien und Werkzeuge zur Problemlösung aus. nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (Beispiele finden, Spezialfälle finden, Analogiebetrachtungen, Schätzen und Überschlagen, systematisches Probieren oder Ausschließen, Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Schlussfolgern, Verallgemeinern). entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege, planen Vorgehensweisen zur Lösung eines Problems und führen Lösungspläne zielgerichtet aus.

Reflektieren

überprüfen die Plausibilität von Ergebnissen. vergleichen verschiedene Lösungswege im Hinblick auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede und beurteilen deren Effizienz. analysieren und reflektieren Ursachen von Fehlern. benennen zugrundeliegende heuristische Strategien und Prinzipien und übertragen diese begründet auf andere Problemstellungen.

Vermuten

stellen Fragen, die für die Mathematik charakteristisch sind, und stellen begründete Vermutungen über die Existenz und Art von Zusammenhängen auf. benennen Beispiele für vermutete Zusammenhänge. präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur.

Begründen

stellen Relationen zwischen Fachbegriffen her (Ober-/Unterbegriff). begründen Lösungswege und nutzen dabei mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente. verknüpfen Argumente zu Argumentationsketten. nutzen verschiedene Argumentationsstrategien (Gegenbeispiel, direktes Schlussfolgern, Widerspruch). erläutern vorgegebene Argumentationen und Beweise hinsichtlich ihrer logischen Struktur.

Beurteilen

beurteilen, ob vorliegende Argumentationen und Argumentationsketten vollständig und fehlerfrei sind. ergänzen lückenhafte und korrigieren fehlerhafte Argumentationsketten.

Rezipieren

entnehmen und strukturieren Informationen aus mathematikhaltigen Texten und Darstellungen. recherchieren und bewerten fachbezogene Informationen. erläutern Begriffsinhalte anhand von typischen inner- und außermathematischen Anwendungssituationen.

Produzieren

geben Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren mit eigenen Worten und mithilfe mathematischer Begriffe wieder. verbalisieren eigene Denkprozesse und beschreiben eigene Lösungswege. verwenden in angemessenem Umfang die fachgebundene Sprache. wählen je nach Situation und Zweck geeignete Darstellungsformen. dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar und präsentieren diese.

Diskutieren

greifen Beiträge auf und entwickeln sie weiter. vergleichen und beurteilen Ausarbeitungen und Präsentationen hinsichtlich ihrer fachlichen Richtigkeit, Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität. führen Entscheidungen auf der Grundlage fachbezogener Diskussionen herbei.

Ende Doppeljahrgangsstufe 5/6

führen Grundrechenarten in unterschiedlichen Darstellungen sowohl im Kopf als auch schriftlich durch und stellen Rechenschritte nachvollziehbar dar. runden Zahlen im Kontext sinnvoll und wenden Überschlag und Probe als Kontrollstrategien an. begründen mithilfe von Rechengesetzen Strategien zum vorteilhaften Rechnen und nutzen diese. verbalisieren Rechenterme unter Verwendung von Fachbegriffen und übersetzen Rechenanweisungen und Sachsituationen in Rechenterme. nutzen Variablen bei der Beschreibung von einfachen Sachzusammenhängen und bei der Formulierung von Rechengesetzen. setzen Zahlen in Terme mit Variablen ein und berechnen deren Wert. kehren Rechenanweisungen um. bestimmen Teiler natürlicher Zahlen, wenden dabei die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 an und kombinieren diese zu weiteren Teilbarkeitsregeln. erläutern Eigenschaften von Primzahlen. deuten Brüche als Anteile, Operatoren, Quotienten, Zahlen und Verhältnisse. berechnen und deuten Bruchteil, Anteil und Ganzes im Kontext. kürzen und erweitern Brüche und deuten dies als Vergröbern bzw. Verfeinern der Einteilung. führen Grundrechenarten der Addition und der Subtraktion mit einfachen Brüchen durch und stellen Rechenschritte nachvollziehbar dar. nutzen ganze Zahlen zur Beschreibung von Zuständen und Veränderungen in Sachzusammenhängen. stellen Zahlen auf unterschiedlichen Weisen dar, vergleichen sie und wechseln situationsangemessen zwischen den verschiedenen Darstellungen auch mithilfe digitaler Medien. schätzen Größen, wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus und wandeln sie um.

Ende Doppeljahrgangsstufe 7/8

führen die Grundrechenarten der Multiplikation und der Division mit Brüchen durch und stellen Rechenschritte nachvollziehbar dar. stellen rationale Zahlen auf der Zahlengeraden dar und ordnen sie der Größe nach. geben Gründe und Beispiele für Zahlbereichserweiterungen an. leiten Vorzeichenregeln zur Addition und Multiplikation anhand von Beispielen ab und nutzen Rechengesetze und Regeln. deuten Variablen als Veränderliche zur Beschreibung von Zuordnungen, als Platzhalter in Termen und Rechengesetzen sowie als Unbekannte in Gleichungen. stellen Terme als Rechenvorschrift von Zuordnungen und zur Berechnung von Flächeninhalten und Volumina auf. stellen Gleichungen zur Formulierung von Bedingungen in Sachsituationen auf. formen Terme (auch mithilfe der binomischen Formeln), zielgerichtet um und korrigieren fehlerhafte Termumformungen. ermitteln Lösungsmengen linearer Gleichungen sowohl durch systematisches Probieren als auch algebraisch und deuten sie im Sachkontext. ermitteln Exponenten im Rahmen der Zinsrechnung durch systematisches Probieren, auch unter Verwendung von Tabellenkalkulationen.

Ende Doppeljahrgangsstufe 9/10

stellen Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise dar. unterscheiden rationale und irrationale Zahlen und geben Beispiele für irrationale Zahlen an. vereinfachen Terme, bei denen die Potenzgesetze unmittelbar anzuwenden sind. wechseln zwischen Bruchdarstellung und Potenzschreibweise. nutzen und beschreiben ein algorithmisches Verfahren, um Quadratwurzeln näherungsweise zu bestimmen. berechnen und überschlagen Quadratwurzeln einfacher Zahlen im Kopf. ermitteln alegbraisch und graphisch Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen unter Verwendung geeigneter Verfahren, deuten sie im Sachkontext und nutzen die Probe als Rechenkontrolle. wählen algebraische Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme zielgerichtet aus und vergleichen die Effizienz unterschiedlicher Lösungswege. wählen Verfahren zum Lösen quadratischer Gleichungen begründet aus, vergleichen deren Effizienz und bestimmen die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung auch ohne Hilfsmittel. wenden das Radizieren als Umkehrung des Potenzierens an. beschreiben die Bedeutung des Logarithmierens als eine Umkehrung des Potenzierens und lösen einfache Exponentialgleichungen der Form b^x = c. wenden ihre Kenntnisse über quadratische Gleichungen und Exponentialgleichungen zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme an und deuten Ergebnisse in Kontexten.

Ende Doppeljahrgangsstufe 9/10 · für G-Kurs bzw. EESA

lösen rein quadratische Gleichungen.

Ende Doppeljahrgangsstufe 5/6

beschreiben den Zusammenhang zwischen zwei Größen mithilfe von Worten, Diagrammen und Tabellen. erkennen Zusammenhänge in konkreten Situationen und Sachproblemen und lösen durch Rechnen. erkunden Muster in Zahlenfolgen und beschreiben die Gesetzmäßigkeiten in Worten und mit Termen. erfassen gängige Maßstabsverhältnisse und fertigen Zeichnungen in geeigneten Maßstäben an.

Ende Doppeljahrgangsstufe 7/8

charakterisieren Zuordnungen und grenzen diese anhand ihrer Eigenschaften voneinander ab. beschreiben zu gegebenen Zuordnungen passende Sachsituationen. klassifizieren eindeutige Zuordnungen als Funktionen. stellen Zuordnungen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, als Graphen und als Terme dar, nutzen die Darstellungen situationsangemessen und wechseln zwischen den Darstellungsformen auch mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge. interpretieren Graphen von Zuordnungen und Terme linearer Zuordnungen. wenden die Eigenschaften von proportionalen, antiproportionalen und linearen Zuordnungen sowie Dreisatzverfahren zur Lösung außer- und innermathematischer Problemstellungen an. lösen innermathematische und alltagsnahe Probleme mithilfe von Zuordnungen auch mit digitalen Mathematikwerkzeugen (Taschenrechner, Tabellenkalkulation und Multirepräsentationssysteme). unterscheiden in Sachkontexten und Problemstellungen Grundwert, Prozentsatz und –wert und berechnen fehlende Größen. wenden Prozent- und Zinsrechnung auf allgemeine Konsumsituationen an und erstellen dazu anwendungsbezogene Tabellenkalkulationen mit relativen und absoluten Zellbezügen. beschreiben prozentuale Veränderungen mit Wachstumsfaktoren und kombinieren prozentuale Veränderungen.

Ende Doppeljahrgangsstufe 9/10

charakterisieren Funktionen als Klasse eindeutiger Zuordnungen. stellen Funktionen (lineare, quadratische, exponentielle Funktionen) mit eigenen Worten, in Wertetabellen, als Graphen und als Terme dar. grenzen lineares, quadratisches und exponentielles Wachstum an Beispielen voneinander ab. verwenden aus Graph, Wertetabelle und Term ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Bearbeiten mathematischer Fragestellungen. bestimmen anhand des Graphen einer Funktion die Parameter eines Funktionsterms dieser Funktion. erklären den Einfluss der Parameter eines Funktionsterms auf den Graphen der Funktion (Ausnahme bei quadratischen Funktionen in der Normalform: nur Streckfaktor und y-Achsenabschnitt). erkunden und systematisieren mithilfe dynamischer Geometriesoftware den Einfluss der Parameter von Funktionen. deuten Parameter und Eigenschaften einer Funktion in Anwendungssituationen. berechnen Nullstellen quadratischer Funktionen durch geeignete Verfahren. wählen begründet mathematische Modelle zur Beschreibung von Wachstumsprozessen aus, treffen Vorhersagen zur langfristigen Entwicklung und überprüfen die Eignung des Modells. wenden lineare, quadratische und exponentielle Funktionen zur Lösung inner- und außermathematischer Problemstellungen an. formen Funktionsterme quadratischer Funktionen um und nutzen verschiedene Formen der Termdarstellung situationsabhängig. identifizieren funktionale Zusammenhänge in Messreihen mit digitalen Medien. beschreiben unter Anwendung digitaler Mthematikwerkzeuge periodische Vorgänge mithilfe von Sinusfunktionen der Form f(x) = a⋅sin(b⋅ x).

Ende Doppeljahrgangsstufe 9/10 · für G-Kurs bzw. EESA

ermitteln exponentielles Wachstum an praktischen Beispielen.

Ende Doppeljahrgangsstufe 5/6

erläutern Grundbegriffe und verwenden diese zur Beschreibung von ebenen Figuren und Körpern sowie deren Lagebeziehungen zueinander. charakterisieren und klassifizieren besondere Dreiecke und Vierecke. identifizieren und charakterisieren Körper in bildlichen Darstellungen und in der Umwelt. zeichnen ebene Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal und Geodreieck sowie dynamischer Geometriesoftware. erzeugen ebene symmetrische Figuren und Muster und ermitteln Symmetrieachsen bzw. Symmetriepunkte. stellen ebene Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar. erzeugen Abbildungen ebener Figuren durch Verschieben und Spiegeln, auch im Koordinatensystem. nutzen dynamische Geometriesoftware zur Analyse von Verkettungen von Abbildungen ebener Figuren. schätzen und messen die Größe von Winkeln und klassifizieren Winkel mit Fachbegriffen. schätzen die Länge von Strecken und bestimmen sie mithilfe von Maßstäben. nutzen das Grundprinzip des Messens bei der Flächen- und Volumenbestimmung. berechnen den Umfang von Drei- und Vierecken, den Flächeninhalt von Rechtecken und rechtwinkligen Dreiecken sowie den Oberflächeninhalt und das Volumen von Quadern. bestimmen den Flächeninhalt ebener Figuren durch Zerlegungs- und Ergänzungsstrategien. beschreiben das Ergebnis von Drehungen und Verschiebungen eines Quaders aus der Vorstellung heraus. stellen Quader und Würfel als Netz, Schrägbild und Modell dar und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen.

Ende Doppeljahrgangsstufe 7/8

nutzen geometrische Sätze zur Winkelbestimmung in ebenen Figuren. berechnen Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren und entwickeln Terme zu ihrer Berechnung. benennen und charakterisieren einfache Prismen und bestimmen Oberflächeninhalt und Volumen. führen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal sowie mithilfe dynamischer Geometriesoftware durch und nutzen Konstruktionen zur Beantwortung von Fragestellungen. zeichnen Dreiecke aus gegebenen Winkel- und Seitenmaßen und geben die Abfolge der Konstruktionsschritte mit Fachbegriffen. erkunden geometrische Zusammenhänge mithilfe dynamischer Geometriesoftware. lösen geometrische Probleme mithilfe von geometrischen Sätzen. begründen die Beweisführung zur Summe der Innenwinkel in einem Dreieck. formulieren und begründen Aussagen zur Lösbarkeit und Eindeutigkeit von Konstruktionsaufgaben.

Ende Doppeljahrgangsstufe 9/10

vergrößern und verkleinern einfache Figuren maßstabsgetreu. berechnen Längen und Flächeninhalte an Kreisen und Kreissektoren. schätzen und berechnen Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern, Teilkörpern sowie zusammengesetzten Körpern. berechnen Größen mithilfe von Ähnlichkeitsbeziehungen, geometrischen Sätzen und trigonometrischen Beziehungen. ermitteln Maßangaben in Sachsituationen und nutzen diese für geometrische Berechnungen. beweisen den Satz des Pythagoras. beschreiben Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken mithilfe der Trigonometrie (Sinus/Kosinus/Tangens).

Ende Doppeljahrgangsstufe 5/6

erheben Daten, fassen sie in Ur- und Strichlisten zusammen und bilden geeignete Klasseneinteilungen. stellen Häufigkeiten in Tabellen und Diagrammen dar auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge (Tabellenkalkulation). bestimmen, vergleichen und deuten Häufigkeiten und Kenngrößen statistischer Daten. lesen und interpretieren grafische Darstellungen statistischer Erhebungen. diskutieren Vor- und Nachteile graphischer Darstellungen.

Ende Doppeljahrgangsstufe 7/8

schätzen Wahrscheinlichkeiten auf der Basis von Hypothesen sowie auf der Basis relativer Häufigkeiten langer Versuchsreihen ab. bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einstufigen Zufallsexperimenten mithilfe der Laplace-Regel. grenzen Laplace-Versuche anhand von Beispielen gegenüber anderen Zufallsversuchen ab. simulieren Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen mit einem stochastischen Modell auch mithilfe digitaler Medien. interpretieren Spannweite und Quartile in statistischen Darstellungen und stellen unter Verwendung dieser Kenngrößen Häufigkeitsverteilungen als Boxplots dar.

Ende Doppeljahrgangsstufe 9/10

planen statistische Datenerhebungen und nutzen zur Erfassung und Auswertung digitale Mathematikwerkzeuge. analysieren auch mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge graphische Darstellungen statistischer Erhebungen kritisch und erkennen Manipulationen. interpretieren und beurteilen Daten und statistische Aussagen in authentischen Texten. stellen zweistufige Zufallsversuche mit Baumdiagrammen dar und entnehmen Wahrscheinlichkeiten aus ihnen. führen in konkreten Situationen kombinatorische Überlegungen durch, um die Anzahl der jeweiligen Möglichkeiten zu bestimmen. berechnen Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Pfadregeln und Vierfeldertafel und deuten diese im Sachzusammenhang.