Ganzrationale Funktion

erläutern die Struktur der Definition einer ganzrationalen Funktion anhand ausgewählter Beispiele, (K5) erläutern am Verlauf des Graphen, dass ganzrationale Funktionen stetig und differenzierbar sind, (K1) leiten ganzrationale Funktionen unter Ausweisung der verwendeten Ableitungsregeln ab, (K5) untersuchen, ob eine ganzrationale Funktion symmetrisch zum Ursprung bzw. zur y-Achse ist, (K5) bestimmen uneigentliche Grenzwerte für 𝑥→∞ und 𝑥→−∞, (K5) schließen aus der Vielfachheit einer Nullstelle auf den lokalen Verlauf des Graphen, (K1) veranschaulichen – auch mithilfe eines Funktionenplotters – dass der Graph einer differenzierbaren Funktion f lokal durch die Tangente approximiert werden kann, (K1) deuten den Wert der Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate, (K6) geben Beispiele für Änderungen eines Bestandes und jeweilige konkrete Änderungsraten an, (K3) beschreiben und interpretieren den Zusammenhang zwischen dem Graph einer Funktion und dem Graph ihrer Ableitungsfunktion. (K1) begründen das zweite Extremstellenkriterium für ganzrationale Funktionen, (K1) formulieren das zweite Extremstellenkriterium für zweimal-differenzierbare Funktionen, (K1) erläutern anhand eines Beispiels, dass das zweite Extremstellenkriterium kein notwendiges Kriterium ist, (K1) übertragen die Argumentation zum zweiten Extremstellenkriterium auf das zweite Wendestellenkriterium, (K1) nutzen die erste und zweite Ableitung zur Bestimmung der Extremstellen von Funktionen, (K5) nutzen die zweite und dritte Ableitung zur Bestimmung der Wendestellen von Funktionen, (K5) entwickeln Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt, (K4) bestimmen die Gleichung von Tangente und Normale an den Graphen in einem Punkt P des Graphen, (K5) bestimmen in einfachen Fällen die Gleichung(en) der Tangente(n) an den Graphen von einem Punkt P außerhalb des Graphen. (K5)

Grundfunktionen und weitere Ableitungsregeln

bestimmen die Ableitungen der Sinus- und der Kosinusfunktion durch Argumentation an den Graphen, (K4) leiten die Grundfunktionen ab, (K5) formulieren ausgehend von Ableitungen von Grundfunktionen die Potenzregel für rationale Exponenten, (K5) beweisen die Produktregel, (K1) entwickeln an Funktionen vom Typ 𝑓(𝑥) = (a∙x + b)𝑛 die Kettenregel. (K5) formulieren die Kettenregel, (K1) nutzen Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen, (K5) identifizieren Bereiche mit positiven und negativen Werten der Ableitung 𝑓′ sowie die Nullstellen der Ableitung 𝑓′ am Graphen der Ausgangsfunktion f, (K6) skizzieren die Graphen der Grundfunktionen und die Graphen einfacher Verknüpfungen und Verkettungen. (K4)

Parallelverschiebung und Streckung des Graphen einer Grundfunktion f

entwickeln die Funktionsgleichung von Funktionen, deren Graph durch Parallelverschiebung, Streckung oder auch Spiegelung der Graphen der Grundfunktionen entstehen, (K1) erläutern anhand der Funktionsgleichung die Entstehung des zugehörigen Graphen aus dem Graph der entsprechenden Grundfunktion, (K6) unterscheiden zwischen einer Streckung mit dem Streckfaktor a in y-Richtung und 1/𝑏 in x-Richtung, (K6) skizzieren die Graphen von Funktionen, die aus den Grundfunktionen entstehen und untersuchen deren charakteristische Eigenschaften, (K4) begründen die Achsensymmetrie jeder ganzrationalen Funktion zweiten Grades zur Achse durch den Scheitel und die Punktsymmetrie jeder ganzrationalen Funktion dritten Grades zum Wendepunkt, (K1) zeichnen und beschreiben den Graphen von Funktionen mit Gleichungen der Form 𝑓(𝑥) = 𝑎∙sin(𝑏∙𝑥+ 𝑐) + 𝑑. (K4)

Umkehrfunktionen

begründen, dass eine Funktion genau dann umkehrbar ist, wenn jede Parallele zur x-Achse den Funktionsgraphen höchstens einmal schneidet, (K1) konstruieren durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden den Graphen der Umkehrfunktion, (K4) erläutern den Zusammenhang zwischen Definitions- und Wertemenge einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion, (K1) bestimmen die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion an einfachen Beispielen, (K5) erläutern an Graphen die strenge Monotonie als hinreichendes Kriterium für Umkehrbarkeit, (K1) begründen mithilfe eines Gegenbeispiels, dass die Monotonie keine notwendige Bedingung für die Umkehrbarkeit ist. (K1)

Funktionen mit Parametern

untersuchen charakteristische Eigenschaften einer Funktionen in Abhängigkeit von höchstens 4 Parametern, (K5) untersuchen Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Funktionen einer Schar mit höchstens zwei Parametern (K5) bestimmen die Werte der Parameter ausgehend von vorgegebenen Funktionseigenschaften, (K5) prüfen, ob Punkte einer vorgegebenen Ortslinie zugeordnet werden können, (K1) verwenden vorgegebene Ortslinien zur Untersuchung charakteristischer Punkte. (K1)

Integral

berechnen Inhalte von Flächen, die von geradlinigen Funktionsgraphen oberhalb der 𝑥-Achse im Intervall [𝑎; 𝑏] begrenzt sind, (K3) erläutern, dass die Eingrenzungen mittels Treppenflächen bei nicht geradlinig berandeten Flächen im 1. und 2. Quadranten eine Abschätzung für den gesuchten Flächeninhalt liefern, (K6) argumentieren auf der Basis eines propädeutischen Grenzwertbegriffs, dass bei äquidistanter Zerlegung mit hinreichend großer Anzahl der Teilintervalle von [𝑎; 𝑏] der Unterschied zwischen Obersumme und Untersumme beliebig klein wird, (K1) erläutern das Verfahren zur Bestimmung des Inhalts der Fläche zwischen der Normalparabel und der 𝑥-Achse über dem Intervall [0; 𝑏] mithilfe von Treppenflächen, (K6) verwenden das Summenzeichen (∑) zum Darstellen von Summen mit Summanden gleicher Form. (K5) bestimmen den Inhalt von Flächen, die von Graphen quadratischer Funktionen oberhalb der 𝑥-Achse im Intervall [𝑎; 𝑏] begrenzt werden, (K5) übertragen das Verfahren zur Bestimmung des Flächeninhalts mithilfe von Treppenflächen auf die Fläche zwischen dem Graphen mit 𝑓(𝑥) = 𝑥3 und der x-Achse über dem Intervall [0; b] auch unter Verwendung des Summenzeichens (∑), (K5) verwenden die Bezeichnungen Integrationsgrenze, Integrand sowie Integrationsvariable, (K6) erläutern anschaulich die Festlegung ∫ₐᵃ 𝑓(𝑥) dx = 0, (K1) benutzen zur Beschreibung von Flächeninhalten den Integralbegriff, (K4) erläutern anhand eines Beispiels, dass es Funktionen gibt, die nicht integrierbar sind, (K1) erläutern anhand eines Beispiels, dass der Satz über die Integrierbarkeit stetiger Funktionen nicht umkehrbar ist, (K1) begründen, dass man zu einer stetigen Funktion unendlich viele Integralfunktionen bilden kann, indem man die untere Intervallgrenze variiert, (K1) geben Integralfunktionen für konstante, lineare und quadratische Funktionen in expliziter Form an, (K5) entwickeln exemplarisch bei konstanten, linearen und quadratischen Funktionen f für die Integralfunktion die Beziehung: I'𝑎(𝑥) = 𝑓(𝑥). (K6)

Von der Änderung zum Bestand

beschreiben und interpretieren Änderungsraten im Sachzusammenhang, insbesondere bei Geschwindigkeits-Zeit-Graphen und bei Füllkurven, (K1) klassifizieren orientierte Flächeninhalte in konkreten Fällen, indem sie den Inhalten von Flächen unterhalb der 𝑥-Achse ein negatives Vorzeichen voranstellen, (K2) berechnen (orientierte) Inhalte von Flächen und interpretieren deren Bedeutung in Anwendungskontexten, (K3) berechnen Bestände aus Änderungsraten und Anfangsbestand, (K5) deuten das bestimmte Integral als rekonstruierten Bestand. (K1)

Integral und Mittelwert

erläutern die Mittelwertbildung an einem Graphen im Sinne einer Flächenbilanz, (K6) berechnen und interpretieren Mittelwerte in Sachzusammenhängen. (K5)

Stammfunktionen

zeigen, dass eine Funktion F Stammfunktion einer vorgegebenen Funktion f ist, (K1) bestimmen Stammfunktionen zu einer vorgegebenen Funktion f, (K5) beweisen, dass mit der Stammfunktion F auch die Funktion G mit 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑐 mit 𝑐∈IR eine Stammfunktion von f ist, (K1) bestimmen Stammfunktionen mit vorgegebenen Eigenschaften, (K1) bestimmen mithilfe einer Stammfunktion F von f, den Term einer Stammfunktion H von h mit ℎ(𝑥) = 𝑓(a∙x + 𝑏). (K5) begründen, dass sich Stammfunktionen stetiger Funktionen über Intervallen nur um eine additive Konstante unterscheiden. (K1)

Hauptsatz

begründen den Hauptsatz geometrisch-anschaulich als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff, (K1) erläutern anhand des Hauptsatzes den Zusammenhang zwischen Ableitungs- und Integralbegriff, (K1) begründen, dass es Funktionen gibt, bei denen nicht jede Stammfunktion als Integralfunktion darstellbar ist, (K1) begründen, dass eine Stammfunktion F von 𝑓 mit D = IR+ und 𝑓(𝑥) = 1/𝑥 existiert und geben F in impliziter Darstellung an. (K1)

Integrationsregeln

erläutern die Integrationsregeln mithilfe der Folgerungen des Hauptsatzes, (K1) interpretieren ausgewählte Regeln geometrisch, (K1) erläutern Analogien von Integrationsregeln und den Regeln der Differentiation, (K1) berechnen Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion und der Integrationsregeln. (K5)

Anwendung des Integrals

bestimmen den Inhalt der Fläche zwischen Graph und x -Achse bzw. den Inhalt der Fläche zwischen zwei Graphen, (K5) bestätigen an Beispielen die Verträglichkeit der Flächenberechnung durch Integrale mit dem elementargeometrischen Flächeninhaltsbegriff, (K1) untersuchen mithilfe des Grenzwertes des bestimmten Integrals, ob Flächen, die sich ins Unendliche erstrecken, ein Inhalt zugeordnet werden kann, (K1) erkennen bei Integranden des Typs 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑟 (𝑟≠−1) anhand des Exponenten, ob eine sich ins Unendliche erstreckende Fläche ein endliches Maß hat oder nicht, (K1) bestimmen Flächeninhalte in Sachzusammenhängen, (K3) bestimmen Volumina von Drehkörpern, (K3) ordnen geeigneten einfachen Rotationskörpern die stereometrischen Grundformen zu. (K3)

Grundlagen

werten vorgegebenes Datenmaterial auf der Grundlage kontextrelevanter Fragen aus, (K1) erläutern auf der Basis vorliegender Kontexte die Begriffe Zufallsexperiment, Ergebnis, Ergebnismenge sowie Ereignis und Elementarereignis, (K6) bestimmen relative Häufigkeiten von Ereignissen und interpretieren sie im Kontext, (K6) stellen in geeigneten Fällen Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel oder Sechsfeldertafel dar, (K4) demonstrieren mit Zufallsexperimenten (z. B. Würfeln, Zufallszahlen), dass sich die relative Häufigkeit bei einer großen Anzahl von Versuchen stabilisiert, (K6) stellen Ereignisse durch Verknüpfungen anderer Ereignisse dar, (K4) beschreiben die Verknüpfungen von Ereignissen sprachlich, auch kontextbezogen. (K6) veranschaulichen Und-, Oder- und Gegenereignisse als Schnitt-, Vereinigungs- und Komplementärmengen in Venn-Diagrammen, (K4) erläutern die Notwendigkeit der Axiomatisierung als Grundlage jeder deduktiven Wissenschaft, (K4) begründen die Verwendung der relativen Häufigkeit als Schätzwert für die Eintritts-Chance bei Zufallsexperimenten, (K1) begründen die Wahl der Axiome zum Wahrscheinlichkeitsmaß mit den Eigenschaften der relativen Häufigkeit, (K1) beweisen die Folgerungen aus der Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes, (K5) geben für geeignete Zufallsexperimente Wahrscheinlichkeitsmaße an, (K4) verwenden Eigenschaften von Schnitt-, Vereinigungs- und Komplementärmenge zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, (K5) berechnen die Wahrscheinlichkeiten von Laplace-Experimenten mit Alltagsbezug (K6) beschreiben in geeigneten Fällen Zufallsexperimente als mehrstufige Zufallsexperimente, (K6) modellieren Zufallsexperimente mithilfe von Baumdiagrammen und Mehrfeldertafeln, (K3) interpretieren bei geeigneten zweistufigen Zufallsexperimenten das umgekehrte Baumdiagramm mit vertauschten Stufen im inhaltlichen Kontext, (K2) ermitteln Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadregeln, (K5) bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten, (K2) unterscheiden zwischen abhängigen und unabhängigen Ereignissen. (K5) untersuchen Teilvorgänge bei mehrstufigen Zufallsexperimenten auf stochastische Unabhängigkeit, (K2) erläutern an Beispielen, dass aus der Unabhängigkeit von A und B die Unabhängigkeit von 𝐴 und B, A und 𝐵 bzw. 𝐴 und 𝐵 folgt, (K1) ermitteln mithilfe einer Simulation (auch mit digitalen Werkzeugen) die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, die sich nicht auf elementare Weise berechnen lässt. (K3)

Bernoulli-Experimente

erläutern die Zählverfahren mithilfe des Urnenmodells bzw. des Kugel-Fächer-Modells, (K5) modellieren elementare Aufgaben durch ein geeignetes Zählverfahren und bestimmen Anzahlen im Kontext, (K3) beschreiben prototypische Beispiele zu den Zählverfahren, (K5) beschreiben und modellieren geeignete Zufallsexperimente als Bernoulli-Experimente, (K3) begründen die Formel der Binomialverteilung mithilfe eines Baumdiagramms, (K5) beschreiben den Einfluss der Parameter n und p bei Bernoulli-Ketten, (K6) stellen die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Bernoulli-Ketten als Histogramm dar, (K4) begründen, dass die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer und die Wahrscheinlichkeit für genau n-k Nieten gleich sind. (K1) berechnen bei einer Bernoulli-Kette die Wahrscheinlichkeiten für genau k Treffer, mindestens k Treffer und höchstens k Treffer auch unter Einsatz digitaler Werkzeuge. (K5)

Punkte im Anschauungsraum

modellieren den Anschauungsraum als Punktmenge auf und beschreiben geometrische Objekte mithilfe der Koordinaten ausgewiesener Punkte, (K4) veranschaulichen das durch die Achsen gebildete System mit der „Dreifingerregel der rechten Hand“ als Rechtssystem, (K4) zeichnen geometrische Objekte in ein räumliches Koordinatensystem, (K4) geben die Koordinaten geometrischer Objekte in einem vorgegebenen Koordinatensystem an, (K3) entwickeln die Bedingungen für die Koordinaten von Punkten mit besonderer Lage. (K1)

Translationen als Vektoren

erklären geometrisch den Begriff der Translation als Parallelverschiebung, (K1) nutzen einen Verbindungspfeil zwischen Punkt und Bildpunkt als Darstellung einer Translation auch in Anwendungssituationen. (K3) unterscheiden „Translation“ als Bezeichnung für die Menge aller gleichgerichteten, gleichlangen Pfeile und „Repräsentant“ als Bezeichnung für den einzelnen Pfeil, (K1) erläutern exemplarisch die Gleichwertigkeit der Darstellungen einer Translation durch Pfeile und durch 3-Tupel, (K3) unterscheiden zwischen Koordinaten von Punkten und Komponenten von Vektoren, (K1) beschreiben die Einbettungen von IR2 in IR3, (K1) bestimmen eines der drei Objekte Translation, Urbildpunkt und Bildpunkt, wenn die beiden anderen gegeben sind, (K5) begründen, dass die Koordinaten eines Punktes die Komponenten des zugehörigen Ortsvektors festlegen und umgekehrt, (K1) interpretieren den Gegenvektor geometrisch und arithmetisch. (K1)

Vektorraum

addieren Pfeildarstellungen von Vektoren geometrisch (Parallelogrammkonstruktionen), (K4) addieren Vektoren arithmetisch, (K5) erläutern exemplarisch die Gleichwertigkeit von geometrischer und arithmetischer Addition, (K1) veranschaulichen geometrisch die Kommutativität bzw. Assoziativität am Parallelogramm bzw. Spat, (K4) erläutern, wie sich die Recheneigenschaften bei Vektoren auf die Recheneigenschaften in IR zurückführen lassen, (K2) begründen die Existenz des neutralen bzw. inversen Elements geometrisch und arithmetisch, (K1) subtrahieren Pfeildarstellungen von Vektoren geometrisch, (K4) subtrahieren Vektoren arithmetisch, (K5) stellen Verbindungsvektoren in Polyedern als Summen bzw. Differenzen von Kantenvektoren dar, (K4) begründen geometrische Sachverhalte mithilfe geschlossener Vektorzüge (z. B. Eigenschaften der Mittenparallele im Dreieck), (K1) drücken den Verbindungsvektor PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ durch die Ortsvektoren von P und von Q aus, (K5) bilden das Produkt aus Zahl und Vektor, (K5) deuten die S-Multiplikation geometrisch. (K3) belegen die Eigenschaften der S-Multiplikation arithmetisch, (K2) unterscheiden in einem Vektorterm die jeweils unterschiedlichen Bedeutungen der Zeichen +, - und ∙, (K6) formen Vektorterme um und lösen elementare Vektorgleichungen, (K5) deuten Kollinearität geometrisch und untersuchen Vektoren auf Kollinearität, (K4) deuten Komplanarität geometrisch und untersuchen Vektoren auf Komplanarität, (K4) begründen die Kollinearität des Nullvektors zu jedem Vektor, (K1) bezeichnen Mengen mit einer Addition und einer S-Multiplikation und deren definierenden Eigenschaften als Vektorraum. (K6)

Metrische Grundlagen

interpretieren den Betrag eines Vektors als Länge eines Pfeils mithilfe des Satzes von Pythagoras, (K2) weisen die Verträglichkeit der Betragsbildung bei der S-Multiplikation und der Multiplikation in IR nach, (K1) berechnen den Abstand zweier Punkte, (K4) benennen die Vektoren mit Betrag 1 in Richtung der Koordinatenachsen als Standardeinheitsvektoren, (K4) erläutern, dass ein normierter Vektor den Betrag 1 hat, (K1) normieren Vektoren, (K5) beweisen mithilfe des Kosinussatzes die Beziehung |𝑎 | ⋅|𝑏⃗ | ⋅cos(𝜑) = 𝑎1 ⋅𝑏1 + 𝑎2 ⋅𝑏2 + 𝑎3 ⋅𝑏3, (K1) berechnen Winkel zwischen Vektoren. (K5) berechnen Skalarprodukte, (K5) verwenden die Kommutativität, Distributivität und die Verträglichkeit mit der S-Multiplikation bei Umformungen, (K1) erläutern, dass eine Assoziativität nicht vorliegt, (K6) bestimmen Streckenlängen und Winkelmaße im Raum mithilfe des Skalarprodukts, (K5) interpretieren den Wert des Skalarproduktes geometrisch ( 𝑎 ⋅𝑏⃗ > 0, 𝑎 ⋅𝑏⃗ = 0, 𝑎 ⋅𝑏⃗ < 0 ), (K1) überprüfen Vektoren auf Orthogonalität, (K5) berechnen allgemein zu zwei nichtkollinearen Vektoren 𝑎, 𝑏⃗ einen Vektor 𝑛⃗ (𝑛⃗ ≠0⃗ ) mit 𝑛⃗ ⊥𝑎 ∧ 𝑛⃗ ⊥𝑏⃗, (K5) klassifizieren in einem Vektorterm die jeweils unterschiedliche Bedeutung der Rechenzeichen, (K6) beweisen, dass 𝑎 × 𝑏⃗ orthogonal auf 𝑎 und orthogonal auf 𝑏⃗ steht, (K5) erläutern für 𝑎 ≠0⃗ und 𝑏⃗ ≠0⃗, dass die Repräsentanten von 𝑎 und von 𝑏⃗ mit dem entsprechenden Repräsentanten von 𝑎 × 𝑏⃗ einen rechten Winkel bilden, (K1) beweisen die Eigenschaft 𝑎 × 𝑏⃗ = − (𝑏⃗ × 𝑎 ), (K1) nennen die Vektoren 𝑎, 𝑏⃗ und 𝑎 × 𝑏⃗ in dieser Reihenfolge als drei Vektoren, die ein Rechtssystem bilden, (K6) zeigen, dass gilt: 𝑎 × 𝜆⋅𝑎 = 0⃗, (K1) verwenden die gemischte Assoziativität bei Umformungen, (K5) analysieren eine vorgegebene Herleitung der Formel für den Betrag des Vektorproduktes. (K2) interpretieren die in der Formel für den Betrag des Vektorproduktes vorkommenden Größen geometrisch, (K4) berechnen vektoriell den Flächeninhalt von Parallelogrammen und Dreiecken, (K5) begründen, dass sich das Volumen eines Spats mit dem Spatprodukt berechnen lässt, (K1) zeigen exemplarisch, dass sich bei paarweisem Vertauschen der Reihenfolge von 𝑎, 𝑏⃗ und 𝑐 beim Spatprodukt jeweils das Vorzeichen ändert, (K1) berechnen vektoriell das Volumen von Spat sowie drei- und vierseitiger Pyramide, (K2) untersuchen drei Vektoren mithilfe des Spatprodukts auf Komplanarität, (K5) bestimmen bei drei Vektoren, deren Komponenten Parameter enthalten, die Parameter so, dass die Vektoren komplanar sind, (K5) zeigen vektoriell bekannte elementare Eigenschaften von Drei- und Vierecken wie die Gleichheit der Diagonalenlängen im Rechteck. (K1)

Linearkombination von Vektoren

bilden Linearkombinationen von Vektoren als Vektorzüge an geeigneten geometrischen Objekten, (K4) beschreiben den Gaußschen Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme, (K6) stellen bei drei komplanaren Vektoren mithilfe des Gaußschen Algorithmus einen Vektor als Linearkombination der beiden anderen dar, (K5) stellen bei drei nicht komplanaren Vektoren mithilfe des Gaußschen Algorithmus einen vierten Vektor als Linearkombination der drei anderen dar, (K5) wenden den Gaußschen Algorithmus ohne Zuhilfenahme digitaler Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Gleichungen und drei Variablen an, die mit angemessenem Rechenaufwand lösbar sind. (K5)

Geometrische Grundobjekte

leiten die Formeln zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke und des Schwerpunkts eines Dreiecks her, (K1) beschreiben Geraden und Strecken analytisch, (K4) verwenden die Begriffe Aufpunkt, Stützvektor und Richtungsvektor, (K6) begründen, dass die Darstellung von Geraden durch Parametergleichungen nicht eindeutig ist, (K1) begründen sachbezogen die Wahl eines bestimmten Aufpunkts und eines bestimmten Richtungsvektors, (K4) interpretieren den Parameterwert in Geradengleichungen im Kontext, (K4) ordnen gegebene Graphen von Geraden und gegebene Geradengleichungen begründet einander zu, (K1) beschreiben Ebenen und Flächen analytisch, (K4) berechnen einen Normalenvektor einer Ebene mithilfe des Vektorprodukts, (K5) wandeln die Ebenengleichungen ineinander um, (K5) ordnen gegebene Graphen von Ebenen und gegebene Ebenengleichungen begründet einander zu, (K1) veranschaulichen geometrische Grundobjekte mithilfe der in der jeweiligen Gleichung enthaltenen charakteristischen Elemente, (K3) bestimmen die zu vorgegebenen Strecken oder Flächen gehörenden Parameterbereiche und umgekehrt, (K2) begründen kontextbezogen die Wahl einer bestimmten Ebenengleichung, (K1) begründen die Eindeutigkeit der Hesseschen Normalenform. (K1) begründen, dass in der Hesseschen Normalform die Zahl d den Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung angibt, (K1) untersuchen die Lage des Koordinatenursprungs bezüglich zweier paralleler Ebenen, (K1) lösen Aufgaben im Sachzusammenhang, wobei Koordinaten von Punkten oder Komponenten von Vektoren Parameter enthalten können. (K5)

Untersuchungen zur Lage

unterscheiden parallele (insbesondere identische), einander in genau einem Punkt schneidende und windschiefe Geraden, (K1) untersuchen Geraden im Hinblick auf ihre Lagebeziehungen, (K5) veranschaulichen die Arten der Lagebeziehungen in schematisierten Skizzen, (K4) entwickeln und verwenden Flussdiagramme zur Analyse von Lagebeziehungen, (K2) erläutern ihre Vorgehensweisen bei der Bestimmung der gegenseitigen Lage von Geraden und Ebenen, (K6) bestimmen ggf. den Schnittpunkt bzw. den Schnittwinkel zweier Geraden sowie den Schnittpunkt bzw. den Schnittwinkel einer Gerade mit einer Ebene, (K5) bestimmen eine Gleichung der Schnittgeraden zweier Ebenen und berechnen den zugehörigen Schnittwinkel, (K5) begründen die Vorgehensweise zur Bestimmung von Schnittpunkt bzw. Schnittgerade. (K1) bestimmen den Abstand 𝑑 (𝑃; 𝑄) zweier Punkte durch die Berechnung der Länge der Strecke P Q, (K2) nutzen die Formel zur Berechnung des Abstandes zweier Punkte zur analytischen Beschreibung einer Kugel (𝑥−𝑥𝑀)2 + (𝑦−𝑦𝑀)2 + (𝑧−𝑧𝑀)2 = 𝑟2, (K1) führen Abstandsbestimmungen in den verschiedenen Fällen durch und erläutern sie. (K5)

Anwendungen

bestimmen Spiegelbilder von Objekten bei Spiegelungen an Punkten, Geraden oder Ebenen, (K2) modellieren geometrische Sachverhalte in Ebene und Raum mithilfe eines kartesischen Koordinatensystems, (K3) führen elementare Berechnungen an einfachen Polyedern mit den Methoden der analytischen Geometrie durch, (K5) lösen geometrische Probleme durch Modellbildung (z. B. Reflexion von Lichtstrahlen, Spiegelbild und Schattenbildung, Bahnen bei Bewegungen, Schnittpunkte innerhalb/außerhalb einer begrenzten Fläche). (K2)

Exponentielles Wachstum

erläutern den Begriff exponentielles Wachstum anhand von Beispielen für Wachstums- und Zerfallsprozesse, (K3) unterscheiden exponentielles und lineares Wachstumsverhalten, (K6) kategorisieren anhand von Beispielen Exponentialfunktionen in Abhängigkeit der Parameter a und b, (K1) zeigen, dass eine Exponentialfunktion durch zwei Wertepaare eindeutig bestimmt ist, (K1) erläutern Unterschiede zwischen Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen. (K2)

e-Funktion

leiten unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit an der Stelle 0 die Formel 𝑓′(𝑥) = 𝑓′(0) ⋅𝑓(𝑥) her, (K5) erläutern, dass aus der Kenntnis der Ableitung an der Stelle 0 auf die Ableitung an einer beliebigen Stelle geschlossen werden kann, (K6) bestimmen für verschiedene Basen unter Verwendung digitaler Werkzeuge näherungsweise 𝑓′(0) = limₕ→₀ ((𝑏ʰ − 1)/ℎ). (K4) begründen, dass jede Exponentialfunktion differenzierbar ist, (K5) erläutern, dass sich aus der Forderung 𝑓′(0) = 1 für die Basis b die Beziehung 𝑏 = limₕ→₀ (1 + ℎ)^(1/ℎ) ergibt, (K2) bestimmen näherungsweise den Grenzwert limₙ→∞ (1 + 1/𝑛)ⁿ, (K5) nennen für die irrationale Zahl e den Näherungswert 2,7, (K6) skizzieren den Graph der e-Funktion ohne weitere Hilfsmittel, (K4) stellen den Zusammenhang zwischen der Funktionalgleichung und der entsprechenden Potenzregel her, (K1) erläutern, dass die e-Funktion mit ihren Ableitungsfunktionen übereinstimmt, (K1) begründen, dass die e-Funktion streng monoton wachsend und ihr Graph linksgekrümmt ist. (K1)

ln-Funktion

erläutern, dass die e-Funktion umkehrbar ist und benennen deren Umkehrfunktion als ln-Funktion, (K6) skizzieren den Graphen der ln-Funktion, (K4) erläutern anhand des Graphen, dass die ln-Funktion differenzierbar ist, (K1) bestimmen die Ableitung der ln-Funktion durch Anwenden der Kettenregel bei e^(ln(𝑥)) = 𝑥, (K5) begründen, dass die ln-Funktion streng monoton wachsend und deren Graph rechtsgekrümmt ist, (K1) beweisen, dass die ln-Funktion eine Stammfunktion der Kehrwertfunktion auf dem Definitionsbereich IR+ ist, (K1) bestimmen eine Stammfunktion der Kehrwertfunktion auf IR\{0}. (K5) geben die ln-Funktion als Integralfunktion an und deuten diese geometrisch, (K5) untersuchen Funktionen, die durch Verschiebung, Streckung und Spiegelung bezüglich der Koordinatenachsen aus der e-Funktion oder der ln-Funktion entstehen. (K5)

Exponentialgleichungen

lösen Exponentialgleichungen zur Basis b mit Hilfe der ln-Funktion, (K5) lösen Exponentialgleichungen unter Verwendung der Substitution ekx = z, (K5) beweisen die Regel ln(bx) = x∙ln(b), (K1) lösen Exponentialgleichungen unter Verwendung der Regel ln(bx) = x∙ln(b). (K5)

Zusammengesetzte Funktionen unter Einbeziehung der e-Funktion

untersuchen zusammengesetzte Funktionen mit den Methoden der Differentialrechnung, auch falls der Funktionsterm Parameter enthält, (K5) vergleichen das Wachstumsverhalten der ln-Funktion, der e-Funktion und ganzrationaler Funktionen, (K1) bestimmen bei zusammengesetzten Funktionen die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs, (K5) überprüfen, ob Flächen, die sich ins Unendliche erstrecken, ein endlicher Flächeninhalt zugeordnet werden kann, (K5) bestimmen bei zusammengesetzten Funktionen gegebenenfalls die Gleichung einer Polgeraden, einer Asymptoten sowie die Art der Annäherung an die Asymptote. (K5)

Modellieren

übersetzen eine Realsituation in ein mathematisches Modell, (K3) begründen die Wahl der dem Modell zugrunde liegenden Funktion, (K1) untersuchen den Gültigkeitsbereich einer Modellierung, (K3) stellen Profile/Randkurven von Objekten des Alltags durch Funktionsgraphen dar, (K3) interpretieren und validieren die Ergebnisse einer Modellierung, (K3) entwickeln ein Modell bei sich ändernder Fragestellung weiter, (K1) benutzen eine funktionale Beschreibung der Randkurve von Objekten zur Berechnung von Rotationsvolumina, (K5) gestalten in Anwendungssituationen Übergänge durch abschnittsweise definierte Funktionen gegebenenfalls so, dass die Funktionen an den Übergangsstellen stetig und differenzierbar sind, (K3) lösen Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen unter Zurückführung auf eine Funktion mit einer Variablen. (K2)

Diskrete Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung

erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen, (K1) geben Zufallsgrößen in Tabellenform an, (K5) begründen, dass die Lösungsmengen von Aussageformen wie 𝑋 (𝜔) = 𝑎 bzw. 𝑋 (𝜔) < 𝑎 Ereignisse sind, (K1) beschreiben Ereignisse gegebenenfalls in der Form 𝑋 (𝜔) = 𝑎 bzw. 𝑎< 𝑋 (𝜔) < 𝑏, (K6) geben zu vorgegebenen 𝛺, 𝑃, 𝑋 die Wahrscheinlichkeitsverteilung auch als Tabelle an, (K4) stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Strichdiagramme dar. (K4) stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Histogramme dar, (K4) nutzen Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Beschreibung stochastischer Situationen, (K5) bearbeiten Aufgabenstellungen im Sachkontext anhand graphisch gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilungen. (K4)

Charakteristische Kenngrößen von Zufallsgrößen

berechnen in einem geeigneten Kontext aus gegebenen Daten gewichtete Mittelwerte, (K5) bestimmen Erwartungswerte von Zufallsgrößen, (K5) veranschaulichen Umgebungen des Erwartungswertes in graphischen Darstellungen der Wahrscheinlichkeitsverteilung, (K4) zeigen an Beispielen, dass der Erwartungswert nicht der Wert von 𝑋 (𝛺) mit der größten Wahrscheinlichkeit sein muss und dass er nicht zu 𝑋 (𝛺) gehören muss, (K1) erläutern die Rechenregel für den Erwartungswertes bei linearer Transformation der Zufallsgröße, (K6) zeigen an einem Beispiel, dass in der Regel 𝐸(𝑋²) und (𝐸(𝑋))² verschieden sind, (K1) interpretieren die Erwartungswerte der Zufallsgrößen 𝑋−𝜇, |𝑋−𝜇| und (𝑋−𝜇)2, (K3) begründen, dass die Varianz nur bei konstanten Zufallsgrößen gleich Null ist, (K1) konstruieren Beispiele zu Zufallsgrößen mit demselben Erwartungswert aber verschiedenen Streuungen, (K3) werten Zufallsexperimente mithilfe von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung aus. (K1) benutzen in Sachkontexten Begriffe wie Gewinn, Rentabilität und Fairness und beurteilen geeignete Zufallsexperimente hinsichtlich dieser Begriffe, (K6) entnehmen die Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus deren grafischer Darstellung, auch im Sachkontext. (K4)

Binomialverteilte Zufallsgrößen

nutzen die Binomialverteilung und ihre Kenngrößen für Modellierungen, (K3) nutzen die Binomialverteilung zur Lösung von Problemstellungen und interpretieren die Kenngrößen im Sachzusammenhang, (K2) verwenden digitale Werkzeuge zur Untersuchung des Einflusses der Parameter auf den Verlauf eines Histogramms, (K2) beschreiben den Einfluss der Parameter auf Binomialverteilungen und ihre grafische Darstellung, (K6) berechnen Summenwahrscheinlichkeiten mithilfe digitaler Werkzeuge, (K5) nennen die Wahrscheinlichkeiten zu den 𝜎-Umgebungen der Binomialverteilung, (K4) nähern Summenwahrscheinlichkeiten mithilfe von 𝜎-Regeln an, (K5) nähern Summenwahrscheinlichkeiten mithilfe des 1/√𝑛-Gesetzes an, (K5) nutzen das 1/√𝑛-Gesetz für Aussagen über ℎₙ bei vorgegebenen p und n, (K1) nutzen das 1/√𝑛-Gesetz für Aussagen über p bei vorgegebenen ℎₙ und n, (K1) berechnen die minimale Stichprobenlänge n bei vorgegebener Genauigkeit des Abstandes |𝑝−ℎ𝑛|. (K1)

Stetige Zufallsgrößen

unterscheiden exemplarisch zwischen einer diskreten und einer stetigen Zufallsgröße, (K4) skizzieren den Graphen der Gaußfunktion, (K4) erläutern, wie sich die Form der Histogramme zur Binomialverteilung mit wachsendem Wert von n ändert, (K1) erläutern mithilfe eines digitalen Werkzeuges, dass man bei einem großen Stichprobenumfang die Histogramme durch einen stetigen Graphen annähern kann, (K1) veranschaulichen mithilfe eines digitalen Werkzeuges, dass man für genügend große n binomialverteilte Zufallsgrößen mithilfe der Gaußfunktion modellieren kann, (K4) bestimmen zu einer vorgegebenen Binomialverteilung 𝐵(𝑛; 𝑝; 𝑘) den Funktionsterm der modellierenden Funktion und skizzieren deren Graphen, (K4) erläutern die „Glockenform“ als Grundvorstellung bei normalverteilten Zufallsgrößen, (K4) deuten analytische Eigenschaften der Gaußfunktion in stochastischen Kontexten, (K1) entnehmen dem Funktionsterm und bzw. dem Graph der modifizierten Gaußfunktion die kontextbezogenen Kenngrößen der zugehörigen Normalverteilung, (K4) berechnen Wahrscheinlichkeiten mit der Näherungsformel von Moivre-Laplace, (K5) begründen den Übergang von der Gaußfunktion zur Gaußschen Integralfunktion bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. (K1) begründen die Eigenschaften der Gaußschen Integralfunktion analytisch und interpretieren sie im stochastischen Kontext, (K1) zeichnen den Graphen der Gaußschen Integralfunktion, (K4) bestimmen aus vorgegebenen Daten unter der Annahme der Normalverteilung den Wert von 𝜇 bzw. von 𝜎, (K5) nutzen die σ-Regeln für prognostische Aussagen. (K1)

Testen einer Hypothese

erläutern die Grundidee des Hypothesentestens, (K1) führen bei vorgegebener Nullhypothese einseitige und zweiseitige Hypothesentests durch, (K3) nennen Argumente für die Wahl der Nullhypothese anhand des Sachzusammenhangs, (K1) stellen eine plausible Hypothese über die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Merkmalen im Sachkontext auf, (K2) überprüfen ihre Hypothese durch einen Test und entscheiden nach zuvor festgelegten Kriterien, ob sie die Hypothese verwerfen oder beibehalten, (K3) unterscheiden „Fehler erster Art“ und „Fehler zweiter Art“, (K6) bestimmen die Wahrscheinlichkeiten der beiden Fehlerarten, (K5) bestimmen mithilfe der σ-Regeln einen Annahme- und Ablehnungsbereich binomialverteilter Zufallsgrößen, (K5) bestimmen mithilfe eines digitalen Werkzeugs kumulierte Werte binomialverteilter oder normalverteilter Zufallsgrößen und gewinnen hieraus Annahmebereich bzw. Ablehnungsbereich. (K5) veranschaulichen zu einem Hypothesentest die Lage von Annahmebereich oder Ablehnungsbereich schematisch an einer Glockenkurve, (K4) verwenden digitale Werkzeuge zum Bestimmen von Annahme- und Ablehnungsbereich binomialverteilter und normalverteilter Zufallsgrößen, (K5) interpretieren Hypothesentests und begründen die Unsicherheit und Genauigkeit der Ergebnisse. (K1)

Thema 1: Kreis und Kugel – Kreis

beschreiben Kreise analytisch, (K4) verwenden die Begriffe Mittelpunktsvektor und Radius, (K6) ordnen Graphen von Kreisen und Kreisgleichungen begründet einander zu, (K1) begründen, ob ein Punkt auf der Kreislinie k, im Innern des Kreises ki oder außerhalb des Kreises 𝑘𝑎 liegt, (K1) beschreiben den Kreis durch drei vorgegebene Punkte, (K4) begründen, wann es keinen Kreis durch drei vorgegebene Punkte gibt, (K1) untersuchen, ob eine Gerade eine Passante, eine Tangente oder eine Sekante zu einem gegebenen Kreis ist, (K5) erläutern ihre Vorgehensweisen bei der Bestimmung der gegenseitigen Lage von Kreis und Gerade, (K1) bestimmen die Tangente t an den Kreis k durch einen vorgegebenen Punkt 𝑃∈𝑘, (K5) bestimmen die Tangenten an den Kreis k durch einen vorgegebenen Punkt 𝑃 ∈ 𝑘𝑎. (K5) erläutern jeweils eine Vorgehensweise zur Abstandsbestimmung in den verschiedenen Fällen, (K6) führen Abstandsbestimmungen in den verschiedenen Fällen durch. (K5)

Thema 1: Kreis und Kugel – Kugel

beschreiben Kugeln analytisch, (K4) ordnen Graphen von Kugeln und Kugelgleichungen begründet einander zu, (K1) begründen, ob ein Punkt auf der Kugeloberfläche, im Innern der Kugel oder außerhalb der Kugel liegt, (K1) beschreiben analytisch die Kugel durch vier vorgegebene Punkte, (K4) untersuchen Kugeln und Geraden hinsichtlich ihrer verschiedenen Lagebeziehungen, (K5) erläutern ihre Vorgehensweisen bei der Bestimmung der gegenseitigen Lage von Kugeln und Geraden, (K1) erläutern ihre Vorgehensweisen bei der Bestimmung der gegenseitigen Lage von Kugel und Ebene, (K1) bestimmen die Tangentialebene an die Kugel K mit einem vorgegebenen Punkt 𝑃∈𝐾, (K5) bestimmen bei vorgegebener Tangentialebene den Berührpunkt B mit der Kugel, (K5) erläutern jeweils eine Vorgehensweise zur Abstandsbestimmung in den verschiedenen Fällen, (K6) führen Abstandsbestimmungen in den verschiedenen Fällen durch. (K5)

Thema 2: Vollständige Induktion

unterscheiden zwischen Aussage und Aussageform, (K6) formulieren in einfachen Fällen für eine Folge von Zahlen eine explizite Gleichung für das n-te Glied, (K5) unterscheiden die Begriffe Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung, Induktionsbehauptung und Induktionsschluss, (K6) erläutern das Prinzip der vollständigen Induktion, (K6) erläutern an einem Beispiel, dass der Induktionsanfang als Teil des Beweisverfahrens notwendig ist, (K1) nennen Aussageformen, die beim Einsetzen von 𝑛< 𝑛0 wahr und für 𝑛0 falsch sind, (K1) stellen Summen mit Hilfe des Summenzeichens dar, (K5) beweisen die Summenformeln für die ersten n natürlichen Zahlen sowie für deren zweite und dritte Potenz, (K5) beweisen die Bernoullische Ungleichung, (K5) beweisen die Ableitungsregel für 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, 𝑛∈IN*, (K5) beweisen: ln(𝑥𝑛) = 𝑛⋅ln(𝑥) für 𝑛∈IN. (K5) beweisen in einfachen Fällen eine Gleichung für die n-te Ableitung in Abhängigkeit von n, (K5) beweisen folgende Rechenregel für Binomialkoeffizienten: (𝑛 über 𝑘) + (𝑛 über 𝑘 + 1) = (𝑛 + 1 über 𝑘 + 1), (K5) erläutern das Induktionsprinzip anhand eines Beispiels, bei dem der Induktionsanfang für 𝑛≠1 formuliert wird. (K6)

Thema 3: Gebrochenrationale Funktionen – Einfache gebrochenrationale Funktionen

unterscheiden zwischen behebbarer und nicht-behebbarer Definitionslücke, (K1) führen bei einer behebbaren Definitionslücke die stetige Ergänzung durch, (K5) verwenden die Bezeichnungen Zählergrad und Nennergrad sachgerecht, (K6) bestimmen Polstellen (K5) untersuchen Polstellen auf Vorzeichenwechsel, (K1) bestimmen die Gleichung der Asymptote auch mithilfe einer Polynomdivision, (K5) beschreiben die Annäherung des Graphen an die Asymptote, (K6) leiten die Quotientenregel mithilfe der Produktregel und der Potenzregel für den Exponenten -1 her, (K5) leiten gebrochenrationale Funktionen unter Nutzung der Quotientenregel ab, (K5) nutzen die erste Ableitung und die Extremstellenkriterien zur Bestimmung der Extremstellen, (K5) nutzen die zweite Ableitung und das Wendestellenkriterium zur Bestimmung der Wendestellen, (K5) skizzieren den Graphen auch mithilfe der Asymptote und der Polgeraden, (K4) ordnen Graphen von Funktionen und Funktionsgleichungen in einfachen Fällen begründet einander zu, (K1) stellen zu vorgegebenen Graphen mögliche Funktionsterme auf, (K5) berechnen Stammfunktionen und Flächeninhalte mithilfe des Verfahrens der Partialbruchzerlegung bei Zählergrad und Nennergrad höchstens 2. (K5)

Thema 4: ln-Funktion – Definition und Eigenschaften

entwickeln mithilfe der Funktionalgleichung der e-Funktion die Funktionalgleichung der ln-Funktion, (K1) entwickeln aus der Funktionalgleichung der ln-Funktion die Logarithmengesetze für den Logarithmus eines Produkts, des Kehrwerts und eines Quotienten, (K1) vergleichen das Wachstumsverhalten der ln-Funktion, der e-Funktion und ganzrationaler Funktionen. (K1)

Thema 4: ln-Funktion – Zusammengesetzte Funktionen unter Einbeziehung der ln-Funktion

untersuchen zusammengesetzte Funktionen mit den Methoden der Differentialrechnung auch falls der Funktionsterm Parameter enthält, (K5) bestimmen bei zusammengesetzten Funktionen die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs. (K5)

Thema 4: ln-Funktion – Stammfunktionen und Flächeninhalte

entwickeln ausgehend von der Ableitung von f mit 𝑓(𝑥) = 𝑥∙ln (𝑥) den Term einer Stammfunktion der ln-Funktion, (K1) bestimmen eine Stammfunktion zu Funktionen, deren Gleichung sich in der Form 𝑓(𝑥) = 𝑔′(𝑥)/𝑔(𝑥) darstellen lässt, (K2) bestimmen bei geeigneten Funktionen Flächeninhalte, (K5) bearbeiten Fragestellungen zu geeigneten Flächeninhalten im Sachzusammenhang. (K3)