Sachkompetenz

Ende Klassenstufe 8

rationale Zahlen • auf der Zahlengeraden darstellen, • mit abgetrennten Zehnerpotenzen darstellen, • in Taschenrechnerdarstellungen richtig lesen. Punkte, deren Koordinaten rationale Zahlen sind, im Koordinatensystem darstellen. rationale Zahlen • ordnen, • vergleichen, • sinnvoll runden. arithmetische Begriffe und zugehörige Schreibweisen sachgerecht anwenden: • zueinander entgegengesetzte Zahlen, • Betrag einer Zahl, • ganze Zahl, rationale Zahl, irrationale Zahl, reelle Zahl. die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung ℤ  ℚ bzw. ℚ+  ℚ an Beispielen begründen. die Grundrechenoperationen im Bereich der rationalen Zahlen im Kopf und mit dem Taschenrechner ausführen. Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen anwenden. Potenzen mit rationaler Basis und natürlichem Exponenten berechnen. Quadrat- und Kubikwurzeln bestimmen. die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung ℚ  ℝ beschreiben. Termstrukturen beschreiben. Terme zu vorgegebenen Sachverhalten aufstellen. Termwerte durch Belegung der Variablen berechnen. Terme äquivalent umformen durch: • Zusammenfassen, • Ausmultiplizieren, • Ausklammern, • Kürzen und Erweitern, • Anwendung der binomischen Formeln. die Lösungsmenge von linearen Gleichungen und Ungleichungen bei vorgegebenem Variablengrundbereich durch inhaltliche Überlegungen und algebraische Verfahren ermitteln. Zusammenhänge aus Alltagssituationen, Mathematik, Technik, Wirtschaft und Naturwissenschaften mit Hilfe von Variablen, Termen und Gleichungen darstellen. Formeln aus der Mathematik und den Naturwissenschaften umstellen. Kenntnisse über rationale Zahlen und lineare Gleichungen zur Lösung inner- und außermathematischer Problemstellungen anwenden..

Ende Klassenstufe 10

die Potenz-, Wurzel- und Logarithmenschreibweise ineinander umwandeln. die Potenzgesetze an Beispielen begründen und ohne Hilfsmittel anwenden. Gradmaß und Bogenmaß von Winkelgrößen ineinander umwandeln. Terme umformen sowie geeignete Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmengen von Gleichungen und Ungleichungen auswählen und anwenden. die Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen graphisch interpretieren. ein algorithmisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme erläutern und anwenden. geeignete Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmengen von Gleichungssystemen auswählen und anwenden. Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen untersuchen. die Lösungsformel für die Normalform einer quadratischen Gleichung anwenden. ohne Hilfsmittel inhaltlich oder kalkülmäßig lösen: • lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, • einfache quadratische Gleichungen, • einfache Exponentialgleichungen, • einfache Bruchgleichungen. Kenntnisse zu Gleichungen und Gleichungssystemen auf Problemstellungen aus Alltagssituationen, Mathematik, Naturwissenschaften, Wirtschaft und Technik anwenden..

Ende Klassenstufe 11

die Potenz-, Wurzel- und Logarithmenschreibweise ineinander umwandeln. die Potenzgesetze an Beispielen begründen und ohne Hilfsmittel anwenden. Gradmaß und Bogenmaß von Winkelgrößen ineinander umwandeln. Terme äquivalent umformen (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel), insbesondere durch: • Zusammenfassen , • Ausmultiplizieren , • Ausklammern, • Kürzen und Erweitern, • Anwenden der binomischen Formeln. geeignete Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmengen von Gleichungen  und Ungleichungen auswählen und anwenden. die Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen graphisch interpretieren. ein algorithmisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme erläutern und anwenden . geeignete Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmengen von Gleichungssystemen auswählen und anwenden . die Lösungsformel für die Normalform einer quadratischen Gleichung anwenden . ohne Hilfsmittel inhaltlich oder kalkülmäßig lösen: • lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen , • einfache quadratische Gleichungen, • einfache Bruchgleichungen, • einfache Exponentialgleichungen. Kenntnisse zu Gleichungen und Gleichungssystemen auf Problemstellungen aus Alltagssituationen, Mathematik, Naturwissenschaften, Wirtschaft und Technik anwenden..

Methodenkompetenz

Ende Klassenstufe 8

zur Problemlösung verschiedene Darstellungsformen (Tabelle, Skizze, Term, Gleichung) anwenden. Problemlösungsstrategien anwenden, wie: • Überschlagen, • Zurückführen auf Bekanntes, • Spezialfälle finden, • Verallgemeinern. Ergebnisse und Lösungswege in einem vorbereiteten kurzen Vortrag strukturiert und nachvollziehbar präsentieren. Taschenrechner und Formelsammlung sinnvoll nutzen..

Ende Klassenstufe 10

Lösungswege und Ergebnisse verständlich und in angemessener Form • schriftlich darstellen, • erläutern, • präsentieren, • reflektieren. interaktive Erkundungsmöglichkeiten eines CAS für experimentelles und heuristisches Arbeiten in inner- und außermathematischen Situationen verwenden..

Ende Klassenstufe 11

Problemlösestrategien anwenden, wie: • Überschlagen , • Zurückführen auf Bekanntes , • Spezialfälle finden, • Verallgemeinern . Ergebnisse und Lösungswege verständlich und in angemessener Form • schriftlich darstellen , • erläutern , • präsentieren , • reflektieren. interaktive Erkundungsmöglichkeiten eines CAS für experimentelles und heuristisches Arbeiten in inner- und außermathematischen Situationen verwenden..

Selbst- und Sozialkompetenz

Ende Klassenstufe 8

selbstständig Lösungspläne entwickeln und anwenden. in kooperativen Lernformen über Ergebnisse und Lösungswege diskutieren. Verantwortung für den gemeinsamen Arbeitsprozess einer Gruppe übernehmen. Ergebnisse selbstständig • auf Plausibilität überprüfen, • mit vorgegebenen Lösungen vergleichen. mathematische Argumentationen anderer Schüler nachvollziehen und diese auf Korrektheit überprüfen. Fehlerquellen ermitteln und Strategien zu ihrer Vermeidung entwickeln. mit Erfolg und Misserfolg angemessen umgehen..

Ende Klassenstufe 10

verschiedene Lösungspläne • selbstständig entwickeln und realisieren, • bezüglich ihrer Vor- und Nachteile beurteilen. in kooperativen Lernformen komplexe Aufgabenstellungen bearbeiten. mathematische Argumentationen anderer Schüler nachvollziehen und diese auf Korrektheit und Vollständigkeit überprüfen. mit Ergebnissen und Hinweisen, die das CAS anzeigt, kritisch umgehen und seine Lösungsstrategie ggf. entsprechend verändern..

Ende Klassenstufe 11

verschiedene Lösungspläne • selbstständig entwickeln, • bezüglich ihrer Vor- und Nachteile beurteilen. Ergebnisse • auf Plausibilität überprüfen , • mit vorgegebenen Lösungen vergleichen. Fehlerquellen ermitteln und Strategien zu ihrer Vermeidung entwickeln . mit Ergebnissen und Hinweisen, die das CAS anzeigt, kritisch umgehen und seine Lösungsstrategie ggf. entsprechend verändern..

Sachkompetenz

Ende Klassenstufe 6

alltagsbezogene Zuordnungen (Weg – Zeit, Menge – Preis, Zeitpunkt – Temperatur, Seitenlänge – Umfang, Seitenlänge – Flächeninhalt, Maßstab) • erkennen, • beschreiben. aus maßstäblichen Darstellungen auf reale Größen schließen und umgekehrt. unterschiedliche Darstellungsformen von alltagsbezogenen Zuordnungen • situationsangemessen auswählen, • erstellen und zwischen ihnen wechseln. Muster bei Zahlen und Figuren • erkennen, • verbal beschreiben, • fortsetzen oder reproduzieren. einfache Zuordnungsaufgaben inhaltlich lösen und den Lösungsweg begründen..

Ende Klassenstufe 8

proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen von Zahlen und Größen durch verbale Beschreibung, Gleichung, Wertetabelle und Graph darstellen. aus unterschiedlichen Darstellungen auf Proportionalität und umgekehrte Proportionalität schließen. den Zusammenhang • proportional ⇔ quotientengleich, • umgekehrt proportional ⇔ produktgleich erläutern und anwenden. den Dreisatz anwenden. gemeine Brüche oder Dezimalzahlen als Prozentsätze angeben und umgekehrt, auch Prozentsätze über 100%. bequeme Prozentsätze ohne Hilfsmittel verwenden. prozentuale Verteilungen von Größen • aus Kreis- bzw. Streifendiagrammen ablesen, • in Kreis- bzw. Streifendiagrammen darstellen. Begriffe sachgerecht und in Zusammenhängen anwenden: • Prozent, Promille, • Grundwert, Prozentsatz, Prozentwert, • Rabatt, Skonto, Mehrwertsteuer. die Zinsrechnung auf die Prozentrechnung zurückführen und die zugehörigen Begriffe sachgerecht in Zusammenhängen anwenden: • Kapital, • Zinssatz, • Zinsen, • Ratenzahlung. an konkreten Zuordnungen entscheiden, ob es sich um eine Funktion handelt. anhand eines Graphen, einer Tabelle oder einer Funktionsvorschrift entscheiden und begründen, ob eine lineare Funktion vorliegt. die proportionale Zuordnung als besondere lineare Funktion beschreiben. Graphen linearer Funktionen effektiv zeichnen. die Funktionsgleichungen linearer Funktionen aus der graphischen Darstellung ablesen. die Bedeutung der Parameter m und n in der Funktionsgleichung y =f x =m⋅xn für die Eigenschaften der linearen Funktion erläutern. lineare Funktionen auf Definitions- und Wertebereich, Nullstellen, Anstieg, Monotonie, Achsenschnittpunkte untersuchen. die Begriffe Differenzenquotient, Anstieg und Achsenabschnitt zur Beschreibung linearer Funktionen nutzen. die gegenseitige Lage zweier Geraden aus den Eigenschaften der zugehörigen linearen Funktionen bestimmen (Parallelität, Orthogonalität, Existenz eines Schnittpunktes, Identität). Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften des Graphen einer linearen Funktion (zwei Punkte, Punkt und Anstieg) bestimmen. inner- und außermathematische Problemstellungen analysieren, strukturieren und lösen für: • proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen, • Prozent- und Zinsrechnung (auch Steigerung um bzw. auf; Verminderung um bzw. auf), • lineare Funktionen..

Ende Klassenstufe 10

quadratische Funktionen auf Definitions- und Wertebereich, Scheitelpunkt, Achsenschnittpunkte, Monotonie, Symmetrie untersuchen und graphisch darstellen. für quadratische Funktionen in Scheitelpunktsform den Einfluss von Parametern auf die Eigenschaften und den Graphen beschreiben. aus graphischen Darstellungen quadratischer Funktionen auf die Funktionsgleichung schließen. aus Punkten des Funktionsgraphen die Gleichung einer quadratischen Funktion ermitteln. inner- und außermathematische Problemstellungen mit Hilfe quadratischer Funktionen beschreiben und lösen. charakterisierende Eigenschaften angeben für: n • Potenzfunktionen f x =x mit ganzzahligen sowie rationalen Exponenten, x + • Exponentialfunktionen f x =a, a∈ ℚ • die Sinusfunktion f x =sinx  und die Kosinusfunktion f(x) = cos (x). den Zusammenhang der Graphen der Funktionen a⋅f x−dc mit dem Graphen der Funktion f(x) sowie zusätzlich den Einfluss des Parameters b auf die Eigenschaften der Sinusfunktionen f x =sinbx  und die Kosinusfunktionen f(x) = cos (bx) beschreiben. aus Darstellungen von Funktionen auf einen möglichen Funktionstyp schließen und eine Funktionsgleichung angeben (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel). Funktionen darstellen und ihre Eigenschaften beschreiben (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel). den Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion an Beispielen erläutern. den Grenzwertbegriff aus der Anschauung heraus erklären und die Grenzwertschreibweise lim f x  bzw. lim f  x  verwenden, um den Verlauf von Graphen (auch unter x ±∞ x  x0 Berücksichtigung waagerechter und senkrechter Asymptoten) zu beschreiben. Funktionen zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme anwenden, dabei auch Zusammenhänge zwischen zwei Datenreihen durch eine geeignete Funktion annähernd mathematisch beschreiben..

Ende Klassenstufe 11

an konkreten Zuordnungen entscheiden, ob es sich um eine Funktion handelt . Graphen linearer Funktionen effektiv zeichnen . die Funktionsgleichungen linearer Funktionen aus dem Graphen ablesen . die Bedeutung der Parameter m und n in der Funktionsgleichung y =f x =m⋅xn für die Eigenschaften der linearen Funktion erläutern . lineare Funktionen auf Definitions- und Wertebereich, Nullstellen, Anstieg, Monotonie, Achsenschnittpunkte untersuchen . die Begriffe Differenzenquotient, Anstieg und Achsenabschnitt zur Beschreibung linearer Funktionen nutzen. die gegenseitige Lage zweier Geraden aus den Eigenschaften der zugehörigen linearen Funktionen (Parallelität, Orthogonalität, Existenz eines Schnittpunktes, Identität) bestimmen . quadratische Funktionen auf Definitions- und Wertebereich, Scheitelpunkt, Achsenschnittpunkte, Monotonie, Symmetrie untersuchen und graphisch darstellen . für quadratische Funktionen in Scheitelpunktsform den Einfluss von Parametern auf die Eigenschaften und den Graphen beschreiben. aus graphischen Darstellungen quadratischer Funktionen auf die Funktionsgleichung schließen. aus Punkten des Funktionsgraphen die Gleichung einer quadratischen Funktion ermitteln. inner- und außermathematische Probleme mit Hilfe quadratischer Funktionen beschreiben und lösen . charakterisierende Eigenschaften angeben für: n • Potenzfunktionen f x=x mit ganzzahligen sowie rationalen Exponenten, x + • Exponentialfunktionen f x =a, a∈ ℚ • die Sinusfunktion f x =sinx  und die Kosinusfunktion f(x) = cos (x). den Zusammenhang der Graphen der Funktionen a⋅f (x−d)+ c mit dem Graphen der Funktion f(x) sowie zusätzlich den Einfluss des Parameters b auf die Eigenschaften der Sinusfunktionen f (x)=sin(bx) und die Kosinusfunktionen f(x) = cos (bx) beschreiben. aus Darstellungen von Funktionen auf einen möglichen Funktionstyp schließen und eine Funktionsgleichung angeben (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel). Funktionen darstellen und ihre Eigenschaften beschreiben (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel). den Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion an Beispielen erläutern. den Grenzwertbegriff aus der Anschauung heraus erklären und die Grenzwertschreibweise lim f x  bzw. lim f x  verwenden, um den Verlauf von Graphen (auch unter x ±∞ x  x0 Berücksichtigung waagerechter und senkrechter Asymptoten) zu beschreiben. Funktionen zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme anwenden, dabei auch Zusammenhänge zwischen zwei Datenreihen durch eine geeignete Funktion annähernd mathematisch beschreiben..

Methodenkompetenz

Ende Klassenstufe 6

Informationen zielangemessen entnehmen aus: • Texten, • Tabellen, • Karten, • Diagrammen..

Ende Klassenstufe 8

Informationen zielangemessen entnehmen aus: • Texten, • Tabellen, • graphischen Darstellungen von Zuordnungen und linearen Funktionen. mathematische Fachsprache und Symbolik verwenden. Computersoftware zum Erstellen von Tabellen, Diagrammen und Funktionsgraphen nutzen..

Ende Klassenstufe 10

Informationen aus Funktionsgleichungen und Computeranzeigen entnehmen, bearbeiten und interpretieren. eine Formelsammlung sachgemäß verwenden..

Ende Klassenstufe 11

Informationen zielangemessen entnehmen aus: • Texten , • Tabellen , • Graphen , • Funktionsgleichungen , • Computeranzeigen. eine Formelsammlung sachgemäß verwenden. Computerprogramme zum Erstellen von Tabellen, Diagrammen und Funktionsgraphen nutzen. mathematische Fachsprache und Symbolik verwenden..

Selbst- und Sozialkompetenz

Ende Klassenstufe 6

Tabellen übersichtlich anlegen. Diagramme sorgfältig und genau zeichnen. seine Überlegungen zu Zuordnungen verständlich darstellen. seine Ergebnisse selbstständig überprüfen..

Ende Klassenstufe 8

Funktionsgraphen im rechtwinkligen Koordinatensystem sorgfältig und genau zeichnen. Überlegungen zu funktionalen Zusammenhängen verständlich darstellen und präsentieren. Ergebnisse selbstständig • auf Plausibilität überprüfen, • mit vorgegebenen Lösungen vergleichen..

Ende Klassenstufe 10

seine Erkenntnisse zu funktionalen Zusammenhängen unter Verwendung der mathematischen Fachsprache in mündlicher und schriftlicher Form nachvollziehbar dokumentieren und präsentieren. ein CAS zur Selbstkontrolle nutzen. Ergebnisse kritisch hinterfragen..

Ende Klassenstufe 11

Funktionsgraphen im rechtwinkligen Koordinatensystem sorgfältig und genau zeichnen . seine Erkenntnisse zu funktionalen Zusammenhängen in nachvollziehbarer mathematischer Argumentation in mündlicher und schriftlicher Form dokumentieren und präsentieren. Ergebnisse kritisch hinterfragen . ein CAS zur Selbstkontrolle nutzen..

Sachkompetenz

Ende Klassenstufe 6

geometrische Grundbegriffe (Punkt, Strecke, Strahl, Gerade, Abstand, Winkel) bzw. Relationen (zueinander senkrecht, zueinander parallel) sinnvoll verwenden und ihre symbolischen Schreibweisen nutzen. ebene Figuren (Dreieck, Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Rhombus (Raute), Trapez, Drachenviereck, Kreis) • identifizieren, • durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben, • klassifizieren, • skizzieren, • zeichnen, • verschieben, • an einer Geraden spiegeln. auf weitere Eigenschaften ebener Figuren schließen und diese anschaulich begründen. Verschiebungen und Achsenspiegelungen • durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben, • in Darstellungen erkennen, • zum Lösen von Problemen nutzen, • mit Lineal und Geodreieck sowie mit dynamischer Geometriesoftware durchführen. Punktsymmetrien in Figuren erkennen. ebene Figuren im rechtwinkligen Koordinatensystem (I. – IV. Quadrant) • darstellen, • verschieben, • spiegeln. dynamische Geometriesoftware zum experimentellen Erkunden von Eigenschaften der Achsen- und Punktspiegelung sowie der Verschiebung einsetzen. Winkelgrößen • den Winkelarten zuordnen, • schätzen, • zeichnen, • mit Geodreieck und dynamischer Geometriesoftware messen. Scheitel- und Nebenwinkelsatz, Stufen- und Wechselwinkelsatz, Innenwinkelsatz für Dreiecke, Dreiecksungleichung • anhand von Beispielen und Gegenbeispielen erläutern, • durch einfache Plausibilitätsüberlegungen begründen, • sachgerecht zum Lösen von Problemen anwenden. Formeln (Umfang, Flächeninhalt von Quadraten und Rechtecken; Oberflächeninhalt, Volumen von Würfeln und Quadern) • ohne Hilfsmittel angeben, • an Beispielen anschaulich erläutern, • sachgerecht zum Lösen von Problemen anwenden. Umfang und Flächeninhalt von Quadraten, Rechtecken und aus ihnen zusammengesetzten Figuren • messen, • berechnen. Umfang und Flächeninhalt von Dreiecken, Trapezen, Parallelogrammen, Drachenvierecken durch Zerlegung bzw. Ergänzung bestimmen. Würfel, Quader, Pyramide, Zylinder, Kegel, Kugel • identifizieren, • durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben, • klassifizieren, • im Schrägbild skizzieren. Netze und Körper einander zuordnen. Netze sowie Schrägbilder von Würfeln und Quadern zeichnen. Modelle von Würfeln und Quadern herstellen..

Ende Klassenstufe 8

Höhen, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende im Dreieck • charakterisieren, • zeichnen. Passanten, Tangenten, Sekanten und Sehnen eines Kreises • charakterisieren, • zeichnen. entscheiden, ob Figuren zueinander kongruent sind. mit Hilfe der Kongruenzsätze • über die Kongruenz von Dreiecken entscheiden, • Dreieckskonstruktionen ausführen, • sein Vorgehen bei der Konstruktion von Dreiecken mit eigenen Worten beschreiben, • geometrische Zusammenhänge begründen und beweisen, • Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben untersuchen. den Satz des Thales • an Beispielen erläutern, • anwenden. den Satz des Pythagoras • ohne Hilfsmittel angeben, • an Beispielen erläutern, • anwenden. Formeln für Flächeninhalt von Dreiecken, Parallelogrammen und Trapezen • an Beispielen erläutern, • anwenden,  . ohne Hilfsmittel die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks A= 1 g⋅h angeben. die irrationale Zahl  als Proportionalitätsfaktor für den Zusammenhang zwischen Umfang und Durchmesser des Kreises deuten. Formeln für Umfang und Flächeninhalt von Kreisen ohne Hilfsmittel angeben und anwenden. gerade Prismen und Pyramiden • identifizieren, • durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben, • im Schrägbild, im Zweitafelbild und als Netz maßstäblich darstellen. gerade Zylinder und Kegel • identifizieren, • durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben, • im Zweitafelbild und als Netz maßstäblich darstellen. Modelle von Körpern herstellen. Oberflächeninhalt und Volumen von geraden Prismen, Pyramiden, Zylindern, Kegeln und von Kugeln berechnen. die Formel ohne Hilfsmittel angeben und erläutern für: • Volumen von geraden Prismen und Zylindern  V=A G⋅h ,  • Volumen von geraden Pyramiden und Kegeln V= A G⋅h. 3 .

Ende Klassenstufe 10

ähnliche ebene Figuren durch zentrische Streckung mit positivem Streckfaktor zeichnen. den Einfluss des Streckfaktors auf die Größe von Winkeln, die Länge von Strecken, den Flächeninhalt bzw. das Volumen beschreiben. zentrische Streckungen und Ähnlichkeit mit dynamischer Geometriesoftware veranschaulichen. für rechtwinklige Dreiecke • die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels • ohne Hilfsmittel angeben, • an Beispielen erläutern, • Winkel und Seitenlängen mit Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen. den Hauptähnlichkeitssatz für Dreiecke und den Strahlensatz (1. und 2. Teil) an Beispielen erläutern und anwenden (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel). den Sinussatz und den Kosinussatz zur Berechnung von Seitenlängen und Winkeln anwenden. die Flächeninhaltsformel A= a⋅b⋅sin für beliebige Dreiecke erläutern und anwenden. aus maßstabsgerechten Zeichnungen und Skizzen von zusammengesetzten Körpern Maße • sachgerecht entnehmen, • für Berechnungen nutzen. Oberflächeninhalt und Volumen von zusammengesetzten Körpern berechnen..

Ende Klassenstufe 11

Höhen, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende im Dreieck • charakterisieren, • zeichnen. Passanten, Tangenten, Sekanten und Sehnen eines Kreises • charakterisieren, • zeichnen. geometrische Zusammenhänge (Strahlensätze, Satz des Pythagoras, Satz des Thales ) • mit dynamischer Geometriesoftware veranschaulichen , • erläutern und anwenden . ohne Hilfsmittel die Formel angeben für:  1 • Flächeninhalt des Dreiecks A= g⋅h, 2  • Volumen von geraden Prismen und Zylindern  V=A G⋅h ,  • Volumen von geraden Pyramiden und Kegeln V= A G⋅h, 3 . für rechtwinklige Dreiecke die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels • ohne Hilfsmittel angeben,  • an Beispielen erläutern, . den Hauptähnlichkeitssatz für Dreiecke und den Strahlensatz (1. und 2. Teil) an Beispielen erläutern und anwenden (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel) ..

Methodenkompetenz

Ende Klassenstufe 6

Längen an realen Objekten schätzen und messen. Verfahren zum Zeichnen von Winkeln und ebenen Figuren anwenden mit: • Lineal, Geodreieck, Zirkel, • dynamischer Geometriesoftware. Informationen zu geometrischen Sachverhalten aus kurzen Texten und Bildern • mit eigenen Worten wiedergeben, • durch Skizzen veranschaulichen. eigene Aufzeichnungen und das Lehrbuch zum Nachschlagen verwenden. Lösungswege strukturiert und nachvollziehbar in kurzen Beiträgen darstellen. Präsentationsmedien einsetzen (Tafel, Folie, Lernplakat)..

Ende Klassenstufe 8

Lösungsstrategien bei geometrischen Konstruktionen und Berechnungen anwenden durch: • Zeichnen informativer Figuren, • Zurückführen auf Bekanntes, • Finden von Beispielen und Gegenbeispielen, • Finden von Spezialfällen. geometrische Konstruktionen planen und ausführen. dynamische Geometriesoftware zum experimentellen Erkunden anwenden. Informationen aus Lehrbuch, Formelsammlung, Lexikon und dem Internet beschaffen. Präsentationsmedien einsetzen..

Ende Klassenstufe 10

die Lösungsstrategien bei geometrischen Konstruktionen und Berechnungen anwenden: • Zerlegen eines Problems in Teilprobleme, • Erkennen von speziellen Linien, Dreiecken und Vielecken in ebenen Figuren und Körpern, • Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten. Lösungswege und Ergebnisse verständlich und in angemessener Form präsentieren, erläutern und reflektieren..

Ende Klassenstufe 11

Lösungsstrategien bei geometrischen Konstruktionen und Berechnungen anwenden: • Zeichnen informativer Figuren , • Zerlegen eines Problems in Teilprobleme , • Erkennen von speziellen Linien, Dreiecken und Vielecken in ebenen Figuren und Körpern, • Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten. Lösungswege und Ergebnisse verständlich und in angemessener Form präsentieren , erläutern und reflektieren. dynamische Geometriesoftware zum experimentellen Erkunden anwenden..

Selbst- und Sozialkompetenz

Ende Klassenstufe 6

Skizzen und Zeichnungen sorgfältig ausführen. in der Gruppe arbeiten..

Ende Klassenstufe 8

sauber und übersichtlich konstruieren. eigene Lösungsideen und Lösungswege in kurzen Beiträgen verständlich darlegen. Lösungsideen Anderer kritisch prüfen, werten und aufgreifen..

Ende Klassenstufe 10

Arbeitsschritte bei individueller oder kooperativer Arbeit planen und selbstständig umsetzen. Lösungswege, Argumentationen und Darstellungen vergleichen und bewerten..

Ende Klassenstufe 11

Arbeitsschritte bei individueller oder kooperativer Arbeit planen und selbstständig umsetzen. Lösungswege, Argumentationen und Darstellungen vergleichen und bewerten..

Sachkompetenz

Ende Klassenstufe 6

Daten • in Ur- und Strichlisten erfassen, • ordnen, • veranschaulichen in: • Ranglisten, • Häufigkeitstabellen, • Diagrammen. absolute Häufigkeiten ermitteln. Daten unter Verwendung von Kenngrößen (Minimum, Maximum, Spannweite, arithmetisches Mittel, Modalwert, Median) • charakterisieren, • vergleichen, • darstellen. Daten aus statistischen Darstellungen • entnehmen, • vergleichen..

Ende Klassenstufe 8

Zufallsexperimente planen, durchführen und protokollieren. die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als seine zu erwartende relative Häufigkeit bei vielen Versuchswiederholungen beschreiben und durch geeignete Simulationen schätzen. Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen. Ergebnisse und Ereignisse von ein- und zweistufigen Zufallsexperimenten verbal und mit Hilfe der zugehörigen Mengenschreibweise beschreiben. die Begriffe sicheres und unmögliches Ereignis sowie Gegenereignis anwenden. Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung von Baumdiagrammen und Pfadregeln berechnen..

Ende Klassenstufe 10

Ereignisse verknüpfen und durch Symbole z.B. : A∪B, A∩B, A beschreiben sowie die Wahrscheinlichkeit der Verknüpfung bestimmen. mit Hilfe von Vierfeldertafeln und Baumdiagrammen • zwei- und mehrstufige Zufallsexperimente veranschaulichen, • Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bestimmen (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel), • in einfachen Zusammenhängen Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit untersuchen. Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsgrößen bestimmen. Erwartungswert und Standardabweichung diskreter Zufallsgrößen berechnen und interpretieren (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel). mit dem Symbol Σ rechnen. Bernoulli-Ketten als mehrstufige Zufallsexperimente beschreiben und die Bernoulli-Formel anwenden, dabei Binomialkoeffizienten bestimmen und inhaltlich deuten. die Bedingungen für die Anwendbarkeit der Bernoulli-Formel prüfen und die Ergebnisse kritisch werten..

Ende Klassenstufe 11

Ereignisse verknüpfen und durch Symbole z.B. : A∪B, A∩B, A beschreiben sowie die Wahrscheinlichkeit der Verknüpfung bestimmen. mit Hilfe von Vierfeldertafeln und Baumdiagrammen • zwei- und mehrstufige Zufallsexperimente veranschaulichen, • Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bestimmen (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel), • in einfachen Zusammenhängen Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit untersuchen. Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsgrößen bestimmen. Erwartungswert und Standardabweichung diskreter Zufallsgrößen berechnen und interpretieren (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel). mit dem Symbol Σ rechnen. Bernoulli-Ketten als mehrstufige Zufallsexperimente beschreiben und die Bernoulli-Formel anwenden, dabei Binomialkoeffizienten bestimmen und inhaltlich deuten. die Bedingungen für die Anwendbarkeit der Bernoulli-Formel prüfen und die Ergebnisse kritisch werten..

Ende Klassenstufe 12

Binomialverteilungen berechnen und graphisch darstellen. graphische Darstellungen von Binomialverteilungen interpretieren. Erwartungswert und Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen berechnen und in graphischen Darstellungen interpretieren. die Binomialverteilung mit ihren Kenngrößen und der 2σ-Regel als ein mathematisches Modell zur Beschreibung von diskreten Zufallsgrößen anwenden. erläutern, dass die bei einer Stichprobe erhobene relative Häufigkeit nur eine Schätzung der unbekannten Wahrscheinlichkeit darstellt. mit Hilfe der 2σ-Regel 95 %-Prognoseintervalle für die absoluten und relativen Häufigkeiten in einer Stichprobe ermitteln und interpretieren. mit Hilfe des Prognoseintervalls beurteilen, welche Wahrscheinlichkeiten p aufgrund der in einer Stichprobe vom Umfang n beobachteten relativen Häufigkeit h vermutlich ausgeschlossen werden können. mit Hilfe der 2σ-Regel: • basierend auf relativen Häufigkeiten h das 95 %-Konfidenzintervall für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p ermitteln und interpretieren, • den Stichprobenumfang n für eine geforderte Genauigkeit abschätzen.. die Gaußsche Glockenkurve graphisch darstellen und als Dichtefunktion der Normalverteilung interpretieren. die Normalverteilung • mit ihren Kenngrößen als ein mathematisches Modell zur Beschreibung stetiger Zufallsgrößen, • zur näherungsweisen Beschreibung der Binomialverteilung, anwenden.. inner- und außermathematische Problemstellungen mit Hilfe der Stochastik bearbeiten (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel)..

Methodenkompetenz

Ende Klassenstufe 6

Daten, auch unter Nutzung des Computers, in Tabellen und Diagrammen (Säulen- und Streifendiagramm) darstellen. das arithmetische Mittel, auch mit Hilfe des Taschenrechners, bestimmen. Ideen und Ergebnisse zur Datenerfassung und -auswertung in kurzen Beiträgen präsentieren..

Ende Klassenstufe 8

die bei Zufallsexperimenten gewonnenen Daten, auch unter Nutzung von Computersoftware, in Tabellen und Diagrammen darstellen. Ideen und Ergebnisse zur Beschreibung von Zufallsexperimenten adressatengerecht formulieren und präsentieren..

Ende Klassenstufe 10

Daten, auch unter Nutzung von Computersoftware, in Tabellen und Histogrammen auswerten und darstellen. Ideen und Ergebnisse zur Beschreibung, Simulation und Berechnung von Zufallsexperimenten • formulieren, • bewerten, • präsentieren. Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsgrößen graphisch darstellen. graphische Darstellungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsgrößen interpretieren..

Ende Klassenstufe 11

Daten, auch unter Nutzung von Computersoftware, in Tabellen und Histogrammen auswerten und darstellen. Ideen und Ergebnisse zur Beschreibung, Simulation und Berechnung von Zufallsexperimenten • formulieren, • bewerten, • präsentieren. Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsgrößen graphisch darstellen. graphische Darstellungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsgrößen interpretieren..

Ende Klassenstufe 12

Vermutungen formulieren, exemplarisch statistische Erhebungen durchführen, auswerten und mit Hilfe der 2σ-Regel die Tragfähigkeit der Vermutungen beurteilen. Zufallsvorgänge simulieren und stochastische Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen begründen..

Selbst- und Sozialkompetenz

Ende Klassenstufe 6

erfasste Daten im Hinblick auf die Angemessenheit ihrer Darstellung kritisch werten. mit erfassten Daten sensibel umgehen..

Ende Klassenstufe 8

erfasste Daten im Hinblick auf die Angemessenheit ihrer Darstellung kritisch werten. mit erfassten Daten sensibel umgehen. Ergebnisse von Wahrscheinlichkeitsberechnungen kritisch bewerten..

Ende Klassenstufe 10

Ergebnisse stochastischer Berechnungen auf Plausibilität überprüfen und kritisch werten. Chancen und Risiken in stochastischen Sachkontexten beurteilen. Umgang mit mathematischer Fachsprache und Symbolik. Anwendung heuristischer Strategien zum Problemlösen. Nutzung digitaler Mathematikwerkzeuge, insbesondere CAS. Verbesserung der mathematischen Argumentationsfähigkeit. Eigenverantwortung für die Gestaltung und Ergebnisse des Lernprozesses. Die vorliegenden Lehrplanziele beinhalten im Vergleich zum Niveau des Realschulabschlusses sowohl neue als auch bereits erworbene Kompetenzen, die für den weiteren Lehrgang besonders bedeutsam sind. Die Zielbeschreibungen, die auf bereits erworbene Kompetenzen aufbauen, sind mit dem Symbol  gekennzeichnet. Mit der Einführung von Computeralgebrasystemen (CAS) wird die Entwicklung der mathematischen Kompetenzen in besonderer Weise unterstützt (vgl. 1). Dies setzt einen kontinuierlichen, verbindlichen Einsatz von CAS im Unterricht voraus. Parallel dazu werden durchgängig grundlegende Kompetenzen im hilfsmittelfreien Arbeiten entwickelt. „Ohne Hilfsmittel“ bedeutet, dass außer Zeichengeräten keine weiteren Hilfsmittel verwendet werden dürfen..

Ende Klassenstufe 11

Ergebnisse stochastischer Berechnungen auf Plausibilität überprüfen und kritisch werten . Chancen und Risiken in stochastischen Sachkontexten beurteilen . den mathematischen Inhalten und deren Vertiefung. dem Grad der thematischen Vertrautheit. dem Schwierigkeits- und Komplexitätsgrad sowie der Offenheit der Aufgabenstellungen. Der Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe ist gerichtet auf eine systematische Auseinandersetzung mit wesentlichen, komplexen und vielfältigen Inhalten, Problemen und Modellen, die vertiefte Beherrschung sowie selbstständige Anwendung der mathematischen Arbeitsmittel und -methoden, auch in fachübergreifenden Zusammenhängen. Einer Lernkultur wird Rechnung getragen, in der sich jeder Schüler seines eigenen Lernweges bewusst ist, diesen weiterentwickelt, unterschiedliche Lösungen reflektiert und selbstständig Entscheidungen trifft. Dieses eigenverantwortliche Lernen von Schülern wird durch gezielte Differenzierung, geeignete Arbeitsformen und die Verwendung von digitalen Mathematikwerkzeugen sowie zeitgemäßer Kommunikations- und Informationstechnik unterstützt. Mit der Weiterführung des CAS-Einsatzes wird die Entwicklung der mathematischen Kompetenzen in besonderer Weise gefördert (vgl. 1). Dies setzt einen kontinuierlichen, verbindlichen Einsatz von CAS im Unterricht voraus. Parallel dazu werden durchgängig grundlegende Kompetenzen im hilfsmittelfreien Arbeiten weiterentwickelt. Nachfolgend werden die mathematischen Kompetenzen und Lernkompetenzen für die Lernbereiche Analysis, Vektorrechnung/Analytische Geometrie und Stochastik am Ende der Klassenstufe 12 abschlussorientiert beschrieben. Die Kompetenzerwartungen orientieren sich an den Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss und für die Allgemeine Hochschulreife..

Ende Klassenstufe 12

die Bedingungen für die Modellierung von Zufallsexperimenten und die dabei gewonnenen Ergebnisse am Sachverhalt prüfen und kritisch werten..

Sachkompetenz

die mittlere Änderungsrate auch in Sachzusammenhängen ermitteln und interpretieren. die Ableitung einer Funktion als lokale Änderungsrate und als Differenzialquotient beschreiben, erläutern und geometrisch als Tangentenanstieg interpretieren. die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen aus der Anschauung heraus deuten. Zusammenhänge zwischen Funktion und Ableitungsfunktion erkennen, begründen und darstellen. Ableitungen für Funktionen ermitteln, ohne Hilfsmittel für: • Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten, • ganzrationale Funktionen (Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten), • Exponentialfunktionen (Basis e) • Sinus-, Kosinusfunktionen und die natürliche Logarithmusfunktion f x =ln x • Verknüpfungen und einfache Verkettungen dieser Funktionen. Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten, ganzrationale Funktionen und Exponentialfunktionen (Basis e) sowie deren Verkettungen und Verknüpfungen auf Eigenschaften (Definitions- und Wertebereich, Achsenschnittpunkte, Symmetrie bezüglich der y-Achse und des Koordinatenursprungs, Monotonie, Extrem- und Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen) untersuchen. von Funktionen: • Eigenschaften ermitteln, • die Stetigkeit anschaulich erläutern, • waagerechte und senkrechte Asymptoten angeben, • Periodizität angeben. die natürliche Logarithmusfunktion f x =ln x als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f  x =e x nutzen. den Einfluss eines reellen Parameters auf – eine Schar von Funktionen mit reellen Eigenschaften ganzrationaler Funktionen er- Parametern auf Eigenschaften untersuchen, mitteln und beschreiben. Gleichungen von Tangenten ermitteln, – Gleichungen von Sekanten, Tangenten und Normalen ermitteln. Gleichungen von ganzrationalen Funktionen aus vorgegebenen Eigenschaften ermitteln. Extremwertprobleme lösen. Eigenschaften von Exponentialfunktionen zur Modellierung von Wachstums- und Zerfallsprozessen nutzen. das bestimmte Integral als aus Änderungen rekonstruierter Bestand und als Flächeninhalt beschreiben und erläutern. den Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren beschreiben und begründen. bestimmte Integrale mit Hilfe des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung berechnen sowie Stammfunktionen und Integrale ermitteln, ohne Hilfsmittel für: • Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten (außer f x = ), x • ganzrationale Funktionen, • Exponentialfunktionen (Basis e), • Sinus- und Kosinusfunktionen, • additive Verknüpfungen und Verkettungen (mit innerer linearer Funktion) dieser Funktionen. die natürliche Logarithmusfunktion f x =lnx als Stammfunktion von f x = nutzen, x. Flächeninhalte von ebenen Figuren, die durch Funktionsgraphen begrenzt sind, bestimmen. Volumen von Körpern berechnen, die durch Rotation von Funktionsgraphen um die x-Achse entstanden sind. inner- und außermathematische Problemstellungen mit Hilfe der Differenzial- und Integralrechnung bearbeiten (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel)..

Methodenkompetenz

selbstständig Problemlösestrategien auswählen und anwenden. dynamische Darstellungsmöglichkeiten des CAS nutzen, um mathematische Modelle zu vergleichen und diese zu variieren. Lösungswege verständlich, angemessen und nachvollziehbar auch unter Verwendung geeigneter Medien erläutern und präsentieren..

Selbst- und Sozialkompetenz

mit Ergebnissen und Hinweisen, die das CAS anzeigt, kritisch umgehen und seine Lösungsstrategie ggf. entsprechend verändern. Informationen aus mathematischen Sachtexten und aus Computerdarstellungen entnehmen und Anderen verständlich erläutern. selbstständig und in kooperativen Lernformen komplexe Problemstellungen zur Differenzial- und Integralrechnung bearbeiten..

Sachkompetenz

Punkte, Strecken, Geraden, Flächen und Körper im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem darstellen und ihre Lage beschreiben. aus Darstellungen sowie Eigenschaften von Körpern und Flächen auf die Koordinaten von Punkten schließen. Vektoren in Koordinatendarstellung angeben und geometrisch interpretieren. einfache Sachverhalte mit Tupeln beschreiben. Vektoren zeichnerisch und rechnerisch addieren, subtrahieren und vervielfachen. zwei bzw. drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit untersuchen und das Ergebnis geometrisch interpretieren. den Betrag eines Vektors ermitteln. das Skalarprodukt berechnen, geometrisch deuten und zur Berechnung von Winkelgrößen nutzen. Geraden durch Gleichungen in der Parameterform beschreiben. die Lage eines Punktes zu einer Geraden untersuchen. die Lage zweier Geraden zueinander untersuchen. den Schnittpunkt und den Schnittwinkel zweier Geraden berechnen. das Vektorprodukt berechnen und geometrisch deuten. Ebenen durch Gleichungen in Parameter- und Koordinatenform beschreiben. die Hessesche Normalform bestimmen. Schnittpunkte von Geraden und – Lagebeziehungen, Schnittmengen und Koordinatenebenen bestimmen, Schnittwinkel ermitteln von: • Gerade – Ebene • Ebene – Ebene. Abstände bestimmen von: • Punkt – Gerade • Gerade – Gerade • Punkt – Ebene • Gerade – Ebene • Ebene – Ebene. Eigenschaften einer Schar von Geraden bzw. Ebenen ermitteln und beschreiben. inner- und außermathematische Problemstellungen mit Hilfe der Vektorrechnung und analytischen Geometrie bearbeiten (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel)..

Methodenkompetenz

zusammengesetzte Körper in geeigneten Darstellungen skizzieren. CAS und dynamische Geometriesoftware zur Lösung ebener sowie räumlicher geometrischer Problemstellungen selbstständig anwenden..

Selbst- und Sozialkompetenz

zeichnerische Darstellungen selbstständig analysieren. bei kooperativen Lernformen das Vorgehen und die Ergebnisse Anderer einschätzen. über den Einsatz von Hilfsmitteln verantwortungsbewusst entscheiden..