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Selbst- und Sozialkompetenz
erfasste Daten im Hinblick auf die Angemessenheit ihrer Darstellung kritisch werten,
Sach- und Methodenkompetenz
natürliche Zahlen bis 1 Billion auf verschiedene Arten im Zehnersystem darstellen • mit Ziffern, • als Zahlwort, • auf dem Zahlenstrahl, • in der Stellenwerttafel, • mit Zehnerpotenzen und zwischen diesen Darstellungen wechseln,
natürliche Zahlen • in unterschiedlichen Situationen und Darstellungsformen lesen, • im mündlichen und schriftlichen Sprachgebrauch sicher und sachgemäß verwenden,
natürliche Zahlen ordnen und vergleichen,
natürliche Zahlen auf vorgegebene Stellen runden,
die Grundrechenoperationen im Kopf und schriftlich ausführen,
Mengen von Teilern und Vielfachen natürlicher Zahlen bestimmen,
Untersuchungen zur Teilbarkeit mithilfe von Teilbarkeitsregeln (2, 3, 4, 5, 10) durchführen sowie Strategien zur Untersuchung der Teilbarkeit natürlicher Zahlen auswählen und anwenden,
an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehroperationen erläutern,
Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen anwenden (Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz) und Besonderheiten beim Rechnen mit 0 und 1 berücksichtigen,
einfache Terme mit Variablen aufstellen und Werte von Termen berechnen,
Zahlenfolgen, auch unter Verwendung von Variablen, fortführen,
einfache Gleichungen durch inhaltliche Überlegungen und systematisches Probieren lösen,
Primzahlen erkennen und beschreiben,
Potenzen mit natürlichen Exponenten berechnen,
die Quadratzahlen bis 20² wiedergeben,
Selbst- und Sozialkompetenz
selbstständig und situationsbezogen Rechenstrategien reflektieren,
in kooperativen Lernformen Aufgaben bearbeiten,
Verantwortung für den gemeinsamen Arbeitsprozess übernehmen,
Sach- und Methodenkompetenz
Größen (Geld, Länge, Massen, Zeit, Flächeninhalt, Volumina) • schätzen und messen, • vergleichen und ordnen,
Größenangaben ineinander umwandeln,
mit Größenangaben rechnen und dabei Einheiten sinnvoll verwenden,
Selbst- und Sozialkompetenz
Ergebnisse selbstständig • am Sachverhalt überprüfen und interpretieren, • mit vorgegebenen Lösungen vergleichen,
Sach- und Methodenkompetenz
Bezeichnungen für grundlegende geometrische Begriffe (Punkt, Strecke, Strahl, Gerade, Abstand, rechter Winkel) bzw. Relationen (zueinander senkrecht, zueinander parallel) anwenden und ihre symbolischen Schreibweisen nutzen,
Parallele und Senkrechte zeichnen,
ebene Figuren (Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Rhombus (Raute), Trapez, Drachenviereck) • identifizieren, • durch Eigenschaften beschreiben, • klassifizieren, • skizzieren, • zeichnen,
Umfang und Flächeninhalt von Quadraten und Rechtecken sowie von zusammengesetzten Figuren • messen, • berechnen,
Verschiebungen und Achsenspiegelungen von ebenen Figuren • in Darstellungen erkennen und begründen, • zum Lösen von Problemen nutzen, • mit Zeichengeräten durchführen,
Punktsymmetrien in Figuren erkennen,
ebene Figuren im kartesischen Koordinatensystem (I. – IV. Quadrant) • darstellen, • verschieben, • spiegeln,
ein digitales Mathematikwerkzeug zum experimentellen Erkunden und Darstellen der Achsen- und Punktspiegelung sowie der Verschiebung einsetzen,
Körper (Würfel, Quader, Pyramide, Kegel, Zylinder, Kugel) • identifizieren, • durch Eigenschaften beschreiben, • klassifizieren,
Netze sowie Schrägbilder von Würfeln und Quadern skizzieren und zeichnen,
Netze und Körper einander zuordnen,
Modelle von Würfeln und Quadern herstellen,
Selbst- und Sozialkompetenz
Skizzen und Zeichnungen sorgfältig ausführen,
Lösungswege strukturiert und nachvollziehbar darstellen,
Lösungen und Konstruktionen in der Gruppe reflektieren,
Sach- und Methodenkompetenz
gemeine Brüche • mit den Begriffen Zähler, Nenner, Bruchstrich beschreiben, • aus geometrischen Darstellungen ablesen, • zeichnerisch darstellen (u. a. als Teilfläche in ebenen Figuren, auf Zahlenstrahl), • in Alltagssituationen anwenden, • erweitern und kürzen, • ordnen und vergleichen,
echte und unechte Brüche unterscheiden,
unechte Brüche und gemischte Zahlen ineinander umwandeln,
die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung ℕ → ℚ+ an Beispielen begründen,
die Grundrechenoperationen im Bereich der gemeinen Brüche ausführen,
gebrochene Zahlen • in unterschiedlichen Situationen lesen, • im mündlichen und schriftlichen Sprachgebrauch sicher und sachgemäß verwenden,
Dezimalbrüche • in einer Stellenwerttafel darstellen, • auf dem Zahlenstrahl bestimmen und darstellen, • ordnen und vergleichen, • auf vorgegebene Stellen runden,
die Grundrechenoperationen im Bereich der Dezimalbrüche im Kopf und schriftlich ausführen,
gemeine Brüche, Dezimalbrüche (endliche und periodische) und Prozentangaben ineinander umwandeln,
Selbst- und Sozialkompetenz
selbstständig und situationsbezogen Rechenstrategien • auswählen, • anwenden,
in kooperativen Lernformen Aufgaben bearbeiten,
Verantwortung für den gemeinsamen Arbeitsprozess übernehmen,
Ergebnisse selbstständig • am Sachverhalt überprüfen, • mit vorgegebenen Lösungen vergleichen,
Lösungswege von anderen Schülerinnen und Schülern nachvollziehen,
Sach- und Methodenkompetenz
Winkelgrößen • den Winkelarten zuordnen und umgekehrt, • zeichnen, • messen, • schätzen,
Dreiecke • nach Seitenlängen und Winkelgrößen klassifizieren und Dreiecksarten zuordnen, • skizzieren, • zeichnen,
Scheitel- und Nebenwinkelsatz, Stufen- und Wechselwinkelsatz, Innenwinkelsatz für Dreiecke und Dreiecksungleichung • anhand von Beispielen und Gegenbeispielen erläutern, • durch einfache Plausibilitätsüberlegungen begründen, • sachgerecht zum Lösen von Problemen anwenden,
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende zeichnen und konstruieren,
Kreise • durch Eigenschaften beschreiben, • zeichnen,
Passanten, Tangenten, Sekanten und Sehnen eines Kreises • definieren, • zeichnen,
Selbst- und Sozialkompetenz
Skizzen und Zeichnungen sorgfältig ausführen,
Lösungswege strukturiert und nachvollziehbar darstellen,
Sach- und Methodenkompetenz
die statistischen Kenngrößen • Minimum, Maximum und Spannweite, • Median, • Quartil, • Modalwert, • arithmetisches Mittel bestimmen,
Daten unter Verwendung der statistischen Kenngrößen • charakterisieren, • vergleichen, • im Boxplot darstellen,
absolute und relative Häufigkeiten ermitteln,
Selbst- und Sozialkompetenz
erfasste Daten und die daraus resultierenden Kenngrößen im Hinblick auf die Angemessenheit ihrer Darstellung kritisch werten,
mit erfassten Daten sensibel umgehen,
Sach- und Methodenkompetenz
Zuordnungen (z. B. Weg – Zeit, Menge – Preis, Zeitpunkt – Temperatur, Seitenlänge – Umfang, Seitenlänge – Flächeninhalt, Original- und Bildgrößen im Maßstab) erkennen und beschreiben,
direkt proportionale Zuordnungen • durch verbale Beschreibungen, Gleichungen, Wertetabellen und Graphen darstellen und zwischen den Darstellungen wechseln, • in Sachzusammenhängen anwenden,
Selbst- und Sozialkompetenz
Tabellen übersichtlich anlegen,
Diagramme sorgfältig und genau zeichnen,
ihre Überlegungen zu Zuordnungen verständlich darstellen,
Sach- und Methodenkompetenz
umgekehrt proportionale (antiproportionale) Zuordnungen • durch verbale Beschreibungen, Gleichungen, Wertetabellen und Graphen darstellen und zwischen den Darstellungen wechseln, • in Sachzusammenhängen anwenden,
bei umgekehrt proportionalen Zuordnungen • die umgekehrte Proportionalität durch Produktgleichheit nachweisen, • fehlende Größen mithilfe des Dreisatzes berechnen,
Selbst- und Sozialkompetenz
eigene Lösungswege reflektieren, begründet auswählen und nachvollziehbar erklären sowie sich verständlich mit anderen über mathematische Darstellungen austauschen,
Fehler in den Darstellungen selbstständig erkennen und korrigieren,
verschiedene Herangehensweisen ausprobieren,
Sach- und Methodenkompetenz
die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung ℕ → ℤ und ℤ → ℚ an Beispielen begründen,
rationale Zahlen • auf Zahlengeraden und mit abgetrennten Zehnerpotenzen darstellen, • ordnen und vergleichen, • sinnvoll runden, • in unterschiedlichen Situationen und Darstellungsformen lesen,
Punkte, deren Koordinaten rationale Zahlen sind, im Koordinatensystem darstellen,
arithmetische Begriffe (Gegenzahl, Betrag einer Zahl) und zugehörige Schreibweisen sachgerecht anwenden,
Grundrechenoperationen im Bereich der rationalen Zahlen auch im Kopf ausführen,
Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen anwenden,
Potenzen mit rationaler Basis und natürlichen Exponenten berechnen,
den Taschenrechner sinnvoll nutzen,
Selbst- und Sozialkompetenz
in kooperativen Lernformen über Ergebnisse und Lösungswege diskutieren,
Verantwortung für den gemeinsamen Arbeitsprozess einer Gruppe übernehmen,
den Einsatz eines Taschenrechners reflektieren,
Fehlerquellen ermitteln und Strategien zur Vermeidung entwickeln,
Sach- und Methodenkompetenz
die Begriffe Variable, Term und Gleichung definieren und voneinander abgrenzen,
Termstrukturen beschreiben,
Terme zu vorgegebenen Sachverhalten aufstellen,
vorgegebene Terme in Sachzusammenhängen interpretieren,
Termwerte durch Belegung der Variablen berechnen,
Terme äquivalent umformen durch • Zusammenfassen, • Ausmultiplizieren, • Ausklammern,
die Lösungsmenge von einfachen Gleichungen bei vorgegebenem Variablengrundbereich durch inhaltliche Überlegungen und algebraische Verfahren ermitteln,
Formeln aus der Mathematik und den Naturwissenschaften umstellen,
zur Problemlösung verschiedene Darstellungsformen (Tabelle, Skizze, Term, Gleichung) verwenden,
Problemlösestrategien anwenden, wie • Abschätzen mithilfe von Überschlagsrechnungen, • Zurückführen auf Bekanntes, • Finden von Spezialfällen, • Verallgemeinern,
die Formelsammlung zielgerichtet nutzen,
Selbst- und Sozialkompetenz
ihr Vorgehen beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen reflektieren und geeignete Strategien bewusst auswählen,
eigene Fehler beim Umformen von Termen oder beim Lösen von Gleichungen erkennen und zielgerichtet korrigieren,
ihren Lernfortschritt im Umgang mit Darstellungsformen einschätzen,
mathematische Überlegungen und Lösungswege verständlich erläutern und in kooperativen Lernformen reflektieren,
Sach- und Methodenkompetenz
den Begriff Prozent anschaulich erklären,
prozentuale Anteile von Größen • aus Kreis- und Streifendiagrammen ablesen, • in Kreis- und Streifendiagrammen darstellen,
die Begriffe • Prozent, Promille, • Grundwert, Prozentsatz, Prozentwert, • Rabatt, Skonto, Mehrwertsteuer sachgerecht verwenden,
die Zinsrechnung auf die Prozentrechnung zurückführen und die Begriffe Kapital, Zinssatz, Zinsen und Ratenzahlung sachgerecht anwenden,
Selbst- und Sozialkompetenz
eigene Vorstellungen zur Prozent- und Zinsrechnung reflektieren und anschaulich erklären,
ihren Umgang mit Diagrammen selbstständig überprüfen und verbessern,
den Einsatz eines digitalen Mathematikwerkzeuges reflektieren,
ihren Lernprozess einschätzen, Fehler selbstständig korrigieren und geeignete Strategien zur Problemlösung auswählen,
Sach- und Methodenkompetenz
Formeln für Umfang und Flächeninhalt von Dreiecken, Parallelogrammen und Trapezen • an Beispielen erläutern, • anwenden,
Umfang und Flächeninhalt von aus Dreiecken und Rechtecken zusammengesetzten Figuren berechnen,
die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ohne Hilfsmittel angeben und anwenden,
inner- und außermathematische Problemstellungen zu Drei- und Vierecken strukturieren und lösen (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel),
Selbst- und Sozialkompetenz
Ergebnisse sachbezogen runden,
den Einsatz einer Formelsammlung und eines digitalen Mathematikwerkzeuges reflektieren,
eigene Lösungsideen und Lösungswege in kurzen Beiträgen verständlich darlegen,
Sach- und Methodenkompetenz
die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses • als Schätzwert für seine zu erwartende relative Häufigkeit bei vielen Versuchswiederholungen interpretieren, • durch geeignete Simulationen schätzen,
Ergebnisse und Ereignisse von ein- und zweistufigen Zufallsexperimenten beschreiben und mithilfe der zugehörigen Mengenschreibweise darstellen,
die Begriffe • sicheres Ereignis, • unmögliches Ereignis, • Gegenereignis sachgerecht anwenden,
Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen,
Selbst- und Sozialkompetenz
eigene Vorstellungen zu den Begriffen Zufall, Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit reflektieren,
bei Simulationen und Zufallsexperimenten zielgerichtet und sorgfältig arbeiten,
in kooperativen Lernformen Ergebnisse und Lösungswege reflektieren,
Sach- und Methodenkompetenz
gerade Prismen • in verschiedenen Darstellungsformen identifizieren, • in der Umwelt erkennen, • durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben, • im Schrägbild und als Netz maßstäblich darstellen,
Modelle von Prismen anfertigen,
Oberflächeninhalt und Volumen von geraden Prismen berechnen,
inner- und außermathematische Problemstellungen zu Prismen analysieren, strukturieren und lösen (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel),
Selbst- und Sozialkompetenz
ihren eigenen Arbeitsprozess reflektieren und verbessern,
sorgfältig, sauber und übersichtlich zeichnen,
ihren Lernfortschritt im Umgang mit geometrischen Darstellungsformen einschätzen und Strategien zur Verbesserung gezielt anwenden,
Rückmeldungen zu Zeichnungen, Berechnungen oder Modellen respektvoll geben und annehmen,
Sach- und Methodenkompetenz
die binomischen Formeln geometrisch begründen,
Terme äquivalent durch • Multiplikation von Summen, • Anwendung der binomischen Formeln umformen,
die Lösungen von Gleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, durch Äquivalenzumformungen ermitteln,
die Lösungsmenge einer Gleichung unter Beachtung des vorgegebenen Variablengrundbereichs angeben,
einen Taschenrechner sinnvoll nutzen,
Selbst- und Sozialkompetenz
in gemeinsamen Problemlösungsprozessen Verantwortung übernehmen,
Sach- und Methodenkompetenz
Quadrat- und Kubikwurzeln in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel bestimmen,
die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung um die irrationalen Zahlen von ℚ → ℝ beschreiben,
sinntragende Vorstellungen von reellen Zahlen nutzen,
Selbst- und Sozialkompetenz
eigene Lösungswege kritisch überprüfen,
Verantwortung für den gemeinsamen Arbeitsprozess einer Gruppe übernehmen,
den Einsatz eines Taschenrechners reflektieren,
Sach- und Methodenkompetenz
die irrationale Zahl π als Proportionalitätsfaktor für den Zusammenhang zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises deuten,
die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreises • ohne Hilfsmitteln angeben, • an Beispielen anschaulich erläutern,
inner- und außermathematische Problemstellungen durch Berechnungen am Kreis lösen (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel),
Sach- und Methodenkompetenz
den Begriff Funktion definieren,
an konkreten Zuordnungen beurteilen, ob es sich um eine Funktion handelt,
anhand eines Graphen, einer Tabelle oder einer Funktionsvorschrift entscheiden und begründen, ob eine lineare Funktion vorliegt,
Graphen linearer Funktionen darstellen,
die Gleichung einer linearen Funktion aus der graphischen Darstellung ermitteln,
den Einfluss der Parameter m und n der linearen Funktion in der Form14 x ↦ m ∙ x + n auf ihre Eigenschaften erläutern,
lineare Funktionen auf Definitions- und Wertebereich, Achsenschnittpunkte sowie Monotonie untersuchen,
die gegenseitige Lage zweier Geraden aus den Eigenschaften der zugehörigen linearen Funktionen bestimmen (Parallelität, Orthogonalität, Existenz eines Schnittpunktes),
die Begriffe Differenzenquotient, Anstieg (Steigung) und Achsenabschnitt zur Beschreibung linearer Funktionen nutzen,
Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften des Graphen einer linearen Funktion (zwei Punkte; ein Punkt und Anstieg) bestimmen,
Selbst- und Sozialkompetenz
den Graphen einer Funktion im Koordinatensystem sorgfältig und genau zeichnen,
Wertetabellen übersichtlich anlegen,
ihre Überlegungen zu Sachzusammenhängen verständlich darstellen,
Sach- und Methodenkompetenz
den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung ohne Hilfsmittel angeben,
den Satz des Pythagoras bei Zeichnungen, Konstruktionen, Berechnungen, Begründungen und Beweisen ohne und mit einem digitalen Mathematikwerkzeug anwenden,
Selbst- und Sozialkompetenz
beim Lösen von Aufgaben systematisch vorgehen und ihren Rechenweg selbstständig überprüfen,
eigene Fehler erkennen, reflektieren und korrigieren,
ihren Lernfortschritt einschätzen und gezielt an Problemen arbeiten,
Sach- und Methodenkompetenz
Wahrscheinlichkeiten bei ein- und mehrstufigen Zufallsexperimenten unter Verwendung von Baumdiagrammen und Pfadregeln berechnen,
Selbst- und Sozialkompetenz
eigene Lösungswege reflektieren, Fehler erkennen und korrigieren,
Sach- und Methodenkompetenz
Pyramiden, Zylinder, Kegel und Kugeln • in verschiedenen Darstellungen und in der Umwelt identifizieren, • durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben,
Pyramiden und Zylinder als Netz maßstäblich zeichnen,
Pyramiden im Schrägbild zeichnen,
Oberflächeninhalt und Volumen von Pyramiden, Zylindern, Kegeln und Kugeln berechnen,
Formeln für die Berechnung des Volumens von Pyramiden, Zylindern und Kegeln • ohne Hilfsmittel angeben, • an Beispielen anschaulich erläutern,
eine Formelsammlung und ein digitales Mathematikwerkzeug sinnvoll nutzen,
inner- und außermathematische Problemstellungen zu Körpern analysieren, strukturieren und lösen (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel),
Selbst- und Sozialkompetenz
Ergebnisse sachbezogen runden,
Sach- und Methodenkompetenz
für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen ohne Hilfsmittel • die Lösung inhaltlich, numerisch, algebraisch und graphisch ermitteln, • die Lösungsmenge graphisch interpretieren, • algorithmische Lösungsverfahren erläutern sowie hinsichtlich ihrer Effektivität vergleichen und auswählen, • Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt untersuchen,
lineare Gleichungssysteme mit mehreren Gleichungen und mehreren Variablen mithilfe eines digitalen Mathematikwerkzeuges lösen,
Kenntnisse zu Gleichungssystemen auf Problemstellungen aus Alltagssituationen der Mathematik, der Naturwissenschaften, der Wirtschaft und der Technik anwenden (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel),
Sach- und Methodenkompetenz
Eigenschaften und Beziehungen zueinander ähnlicher geometrischer Objekte erkennen, beschreiben und begründen,
die Kongruenz als Spezialfall der Ähnlichkeit zweier ebener Figuren interpretieren,
von einer ebenen Figur das Bild durch zentrische Streckung • im kartesischen Koordinatensystem mit positivem Streckungsfaktor zeichnen und konstruieren, • mit einem digitalen Mathematikwerkzeug veranschaulichen,
den Einfluss des Streckungsfaktors auf die Größe von Winkeln, die Länge von Strecken, den Flächeninhalt bzw. das Volumen geometrischer Objekte beschreiben,
den Hauptähnlichkeitssatz für Dreiecke sowie den ersten und zweiten Strahlensatz an Beispielen erläutern und zum Nachweis der Ähnlichkeit von geometrischen Figuren anwenden (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel),
Selbst- und Sozialkompetenz
sauber und übersichtlich zeichnen und konstruieren,
Sach- und Methodenkompetenz
die quadratische Funktion in der Form15 x ↦ x 2 auf Definitions- und Wertebereich, Scheitelpunkt, Achsenschnittpunkte, Monotonie und Symmetrie untersuchen sowie graphisch darstellen (Normalparabel),
für quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform x ↦ a ∙ (x + d)2 + e den Einfluss der Parameter auf die Eigenschaften der Funktion und den Verlauf des zugehörigen Graphen untersuchen,
den Zusammenhang der Graphen der Funktionen in der Form x ↦ a ∙ (x + d)2 + e mit der Normalparabel ohne ein digitales Mathematikwerkzeug beschreiben,
quadratische Funktionen in der allgemeinen Form x ↦ a ∙ x 2 + b ∙ x + c mit einem digitalen Mathematikwerkzeug auf ihre Eigenschaften untersuchen, Gleichwertig mit der Schreibweise f(x) = x 2. Selbes gilt im Folgenden auch für alle weiteren Funktionsvorschriften.
aus Punkten oder Eigenschaften des Graphen die Gleichung einer quadratischen Funktion ermitteln,
einfache quadratische Gleichungen ohne ein digitales Mathematikwerkzeug lösen,
die Lösungsformel für die Normalform x ↦ x 2 + p ∙ x + q einer quadratischen Gleichung auch ohne Hilfsmittel anwenden,
Fragestellungen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von quadratischen Gleichungen, auch mit einem reellen Parameter, untersuchen,
Selbst- und Sozialkompetenz
Informationen aus Funktionsgleichungen und graphischen Darstellungen entnehmen, bearbeiten und interpretieren,
Sach- und Methodenkompetenz
absolute und relative Häufigkeiten sowie Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse eines Zufallsexperimentes in Vierfeldertafeln darstellen,
die Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse ermitteln,
bedingte Wahrscheinlichkeiten • durch inhaltliche Überlegungen und algebraisch ermitteln, • mithilfe eines Baumdiagrammes und einer Vierfeldertafel bestimmen,
zwei Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit inhaltlich und algebraisch untersuchen,
zwischen den Darstellungsformen Baumdiagramm und Vierfeldertafel wechseln,
Sach- und Methodenkompetenz
aus maßstabsgerechten Zeichnungen und Skizzen von zusammengesetzten Körpern Maße • sachgerecht entnehmen, • für Berechnungen nutzen,
zusammengesetzte Körper sachgerecht skizzieren,
Oberflächeninhalt und Volumen von zusammengesetzten Körpern durch Zerlegung in bekannte Körper berechnen,
Selbst- und Sozialkompetenz
Lösungsstrategien bei sachbezogenem Skizzieren und für Berechnungen entwickeln,
Sach- und Methodenkompetenz
Potenzen mit rationalen Exponenten inhaltlich deuten und in einfachen Fällen ohne Hilfsmittel berechnen,
die Potenz- und die Wurzelschreibweise ineinander umwandeln,
die Potenzgesetze an Beispielen begründen,
Terme unter Anwendung der Potenzgesetze ohne Hilfsmittel vereinfachen,
Sach- und Methodenkompetenz
charakterisierende Eigenschaften für Potenzfunktionen in der Form16 x ↦ x k (k ≠ 0) mit ganzzahligen Exponenten angeben,
den Grenzwertbegriff aus der Anschauung heraus erklären,
die Grenzwertschreibweise lim f(x) bzw. lim f(x) verwenden, um den Verlauf von x→±∞ x→x0 Graphen (auch unter Berücksichtigung waagerechter und senkrechter Asymptoten) zu beschreiben, Gleichwertig mit der Schreibweise f(x) = x k. Selbes gilt im Folgenden auch für alle weiteren Funktionsvorschriften.
den Zusammenhang der Graphen der Funktionen in der Form x ↦ a ⋅ (x + d)k + e mit dem Graphen der Funktion in der Form x ↦ x k beschreiben,
aus Darstellungen von Funktionen auf einen möglichen Funktionstyp schließen und eine Funktionsgleichung angeben (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel),
Potenzfunktionen graphisch darstellen und ihre Eigenschaften beschreiben (in einfachen Fällen auch ohne ein digitales Mathematikwerkzeug),
charakterisierende Eigenschaften für Wurzelfunktionen in der Form x ↦ √x (n ∈ ℕ) an𝑛 geben,
zu einer gegebenen Funktion die Gleichung der zugehörigen Umkehrfunktion bestimmen,
den Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion an Beispielen erläutern (Graph, Definitions- und Wertebereich, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen),
Potenzgleichungen ohne ein digitales Mathematikwerkzeug inhaltlich und kalkülmäßig lösen,
Selbst- und Sozialkompetenz
ihre Erkenntnisse zu funktionalen Zusammenhängen unter Verwendung der mathematischen Fachsprache in mündlicher und schriftlicher Form nachvollziehbar dokumentieren und präsentieren,
Sach- und Methodenkompetenz
die Definition von Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck • ohne Hilfsmittel angeben, • an Beispielen erläutern,
Winkel und Seitenlängen mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck berechnen,
Selbst- und Sozialkompetenz
Arbeitsschritte selbstständig planen und umsetzen,
Sach- und Methodenkompetenz
Gradmaß und Bogenmaß von Winkelgrößen ineinander umwandeln und am Einheitskreis darstellen,
charakterisierende Eigenschaften für die Sinusfunktion in der Form17 x ↦ sin(x) und die Kosinusfunktion in der Form18 x ↦ cos(x) angeben,
den Einfluss der Parameter auf die Eigenschaften von Sinusfunktionen in der Form x ↦ a ∙ sin(b ∙ (x + d)) + e und Kosinusfunktionen in der Form x ↦ a ∙ cos(b ∙ (x + d)) + e beschreiben,
für Funktionen in der Form x ↦ a ∙ sin(b ∙ x) + e, x ↦ a ∙ sin(x + d) + e, x ↦ a ∙ cos(b ∙ x) + e sowie x ↦ a ∙ cos(x + d) + e ohne ein digitales Mathematikwerkzeug • zu einer graphischen Darstellung oder einer Beschreibung eine Funktionsgleichung angeben, • den Graphen darstellen, • ihre Eigenschaften beschreiben,
Selbst- und Sozialkompetenz
den Einsatz eines digitalen Mathematikwerkzeuges reflektieren,
Sach- und Methodenkompetenz
kombinatorische Abzählprinzipien (Ziehen ohne und mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge, Ziehen mit einem Griff) im Sachzusammenhang anwenden,
Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsgrößen • bestimmen, • in Tabellen und Histogrammen auch unter Nutzung eines digitalen Mathematikwerkzeuges darstellen und auswerten,
den Erwartungswert diskreter Zufallsgrößen berechnen und interpretieren,
Terme, in denen das Summenzeichen vorkommt, interpretieren,
mithilfe von Histogrammen Wahrscheinlichkeiten und in einfachen Fällen den Erwartungswert ermitteln,
Selbst- und Sozialkompetenz
Ergebnisse von Berechnungen auf Plausibilität überprüfen und kritisch werten,
Sach- und Methodenkompetenz
charakterisierende Eigenschaften für Exponentialfunktionen in der Form19 x ↦ bx (b ∈ ℚ+, b ≠ 0) angeben,
den Zusammenhang der Graphen der Exponentialfunktionen in der Form x ↦ a ⋅ bx+d + e mit dem Graphen der Funktion in der Form x ↦ bx beschreiben,
Exponentialfunktionen graphisch darstellen und ihre Eigenschaften beschreiben (in einfachen Fällen auch ohne ein digitales Mathematikwerkzeug),
aus Darstellungen von Funktionen auf einen möglichen Funktionstyp schließen und eine Funktionsgleichung angeben (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel),
die Potenz- und die Logarithmenschreibweise ineinander umwandeln,
einfache Exponentialgleichungen ohne ein digitales Mathematikwerkzeug inhaltlich und kalkülmäßig lösen, Gleichwertig mit der Schreibweise f(x) = bx. Selbes gilt im Folgenden auch für alle weiteren Funktionsvorschriften.
Selbst- und Sozialkompetenz
Informationen aus einer Funktionsgleichung entnehmen, bearbeiten und interpretieren,
Sach- und Methodenkompetenz
lineare Funktionen der Form21 x ↦ m ∙ x + n auf Definitions- und Wertebereich, Achsenschnittpunkte sowie Monotonie untersuchen,
zu einer gegebenen Funktion die Gleichung der zugehörigen Umkehrfunktion bestimmen ,
den Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion an Beispielen erläutern (Graphen, Definitions- und Wertebereich, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) ,
die gegenseitige Lage zweier Geraden aus den Eigenschaften der zugehörigen linearen Funktionen bestimmen (Parallelität, Orthogonalität, Existenz eines Schnittpunktes) ,
die Begriffe Differenzenquotient, Anstieg (Steigung) und Achsenabschnitt zur Beschreibung linearer Funktionen nutzen ,
Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften des Graphen einer linearen Funktion (zwei Punkte; ein Punkt und Anstieg) rechnerisch bestimmen ,
für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen ohne Hilfsmittel • die Lösung inhaltlich, numerisch, algebraisch und graphisch ermitteln , • die Lösungsmenge graphisch interpretieren , Ab 2030 MMS (vgl. FN 14). In der schriftlichen Abiturprüfung ist zusätzlich als Hilfsmittel nur das Dokument mit den mathematisch-naturwissenschaftlichen Formeln vom IQB und nicht ein herkömmliches Tafelwerk zugelassen. Gleichwertig mit der Schreibweise f(x) = m ∙ x + n. • algorithmische Lösungsverfahren erläutern sowie hinsichtlich ihrer Effektivität vergleichen und auswählen , • Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt untersuchen ,
lineare Gleichungssysteme mit mehreren Gleichungen und mehreren Variablen mithilfe eines Computeralgebrasystems lösen ,
Kenntnisse zu Gleichungssystemen auf Problemstellungen aus Alltagssituationen der Mathematik, der Naturwissenschaften, der Wirtschaft und der Technik anwenden (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel) ,
Selbst- und Sozialkompetenz
Lösungswege und Ergebnisse unter der Verwendung der Fachsprache und Symbolik in angemessener Form schriftlich darstellen und erläutern,
Sach- und Methodenkompetenz
die quadratische Funktion in der Form22 x ↦ x 2 auf Definitions- und Wertebereich, Scheitelpunkt, Achsenschnittpunkte, Monotonie und Symmetrie untersuchen sowie graphisch darstellen (Normalparabel) ,
die Funktion x ↦ x2 auf ihre Umkehrbarkeit untersuchen ,
für quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform x ↦ a ∙ (x + d)2 + e den Einfluss von Parametern auf die Eigenschaften der Funktion und den Verlauf des zugehörigen Graphen untersuchen ,
den Zusammenhang der Graphen der Funktionen in der Form x ↦ a ∙ (x + d)2 + e mit der Normalparabel ohne ein Computeralgebrasystem beschreiben ,
quadratische Funktionen in der allgemeinen Form x ↦ a ∙ x 2 + b ∙ x + c mit einem Computeralgebrasystem auf ihre Eigenschaften untersuchen ,
aus Punkten oder Eigenschaften des Graphen die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion ermitteln ,
einfache quadratische Gleichungen ohne ein Computeralgebrasystem lösen ,
die Lösungsformel für die Normalform einer quadratischen Gleichung auch ohne Hilfsmittel anwenden ,
Fragestellungen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von quadratischen Gleichungen, auch mit einem reellen Parameter, untersuchen ,
Selbst- und Sozialkompetenz
Informationen aus Funktionsgleichungen und graphischen Darstellungen entnehmen, bearbeiten und im Sachzusammenhang interpretieren,
Sach- und Methodenkompetenz
verknüpfte Ereignisse beschreiben und • in Mengenschreibweise, • in Venn-Diagrammen , • durch Symbole (z. B. A ∩ B, A ∪ B, A ̅) darstellen,
Wahrscheinlichkeiten verknüpfter Ereignisse berechnen ,
absolute und relative Häufigkeiten sowie Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse eines Zufallsexperimentes in Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln darstellen ,
bedingte Wahrscheinlichkeiten • durch inhaltliche Überlegungen und algebraisch ermitteln , • mithilfe eines Baumdiagrammes und einer Vierfeldertafel bestimmen ,
zwei Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit inhaltlich und algebraisch untersuchen ,
zwischen den Darstellungsformen Baumdiagramm und Vierfeldertafel wechseln ,
Sach- und Methodenkompetenz
charakterisierende Eigenschaften für Potenzfunktionen in der Form23 x ↦ x k (k ≠ 0) mit ganzzahligen Exponenten angeben ,
den Grenzwertbegriff aus der Anschauung heraus erklären, Gleichwertig mit der Schreibweise f(x) = x k. Selbes gilt im Folgenden auch für alle weiteren Funktionsvorschriften.
die Grenzwertschreibweise lim f(x) bzw. lim f(x) verwenden, um den Verlauf von x→±∞ x→x0 Graphen (auch unter Berücksichtigung waagerechter und senkrechter Asymptoten) zu beschreiben ,
den Zusammenhang der Graphen der Funktionen in der Form x ↦ a ⋅ (x + d)k + e mit dem Graphen der Funktion in der Form x ↦ x k beschreiben, auch mit einem Computeralgebrasystem ,
aus Darstellungen von Funktionen auf einen möglichen Funktionstyp schließen und eine Funktionsgleichung angeben (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel) ,
Potenzfunktionen graphisch darstellen und ihre Eigenschaften beschreiben (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel) ,
charakterisierende Eigenschaften für Wurzelfunktionen in der Form24 x ↦ √x (n ∈ ℕ) 𝑛 angeben ,
zu einer gegebenen Funktion die Gleichung der zugehörigen Umkehrfunktion aufstellen ,
den Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion an Beispielen erläutern (Graph, Definitions- und Wertebereich, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) ,
Potenzgleichungen ohne ein Computeralgebrasystem inhaltlich und kalkülmäßig lösen ,
Selbst- und Sozialkompetenz
ihre Erkenntnisse zu funktionalen Zusammenhängen unter Verwendung der mathematischen Fachsprache in mündlicher und schriftlicher Form nachvollziehbar dokumentieren und präsentieren,
Sach- und Methodenkompetenz
Gradmaß und Bogenmaß von Winkelgrößen ineinander umwandeln und am Einheitskreis darstellen ,
charakterisierende Eigenschaften für die Sinusfunktion in der Form25 x ↦ sin(x) und die Kosinusfunktion in der Form26 x ↦ cos(x) angeben ,
den Einfluss der Parameter auf die Eigenschaften von Sinusfunktionen in der Form x ↦ a ∙ sin(b ∙ (x + d)) + e und Kosinusfunktionen in der Form x ↦ a ∙ cos(b ∙ (x + d)) + e beschreiben ,
für Funktionen in der Form x ↦ a ∙ sin(b ∙ x) + e, x ↦ a ∙ sin(x + d) + e, x ↦ a ∙ cos(b ∙ x) + e sowie x ↦ a ∙ cos(x + d) + e ohne ein Computeralgebrasystem • zu einer graphischen Darstellung oder einer Beschreibung eine Funktionsgleichung angeben , Gleichwertig mit der Schreibweise f(x) = 𝑛√𝑥. Selbes gilt im Folgenden auch für alle weiteren Funktionsvorschriften. Gleichwertig mit der Schreibweise f(x) = sin(x). Selbes gilt im Folgenden auch für alle weiteren Funktionsvorschriften. Gleichwertig mit der Schreibweise f(x) = cos(x). Selbes gilt im Folgenden auch für alle weiteren Funktionsvorschriften. • den Graphen darstellen , • ihre Eigenschaften beschreiben ,
ein Computeralgebrasystem zur Überprüfung der eigenen Lösung nutzen ,
Sach- und Methodenkompetenz
kombinatorische Abzählprinzipien (Ziehen ohne und mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge, Ziehen mit einem Griff) im Sachzusammenhang anwenden ,
Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsgrößen • bestimmen , • in Tabellen und Histogrammen auch unter Nutzung eines Computeralgebrasystems darstellen und auswerten ,
den Erwartungswert diskreter Zufallsgrößen auch unter Nutzung des Summenzeichens berechnen und interpretieren ,
mithilfe von Histogrammen Wahrscheinlichkeiten und in einfachen Fällen den Erwartungswert ermitteln ,
Selbst- und Sozialkompetenz
Ergebnisse stochastischer Berechnungen auf Plausibilität überprüfen und kritisch werten,
Sach- und Methodenkompetenz
charakterisierende Eigenschaften für Exponentialfunktionen in der Form27 x ↦ bx (b ∈ ℚ+, b ≠ 0) angeben ,
den Zusammenhang der Graphen der Exponentialfunktionen in der Form x ↦ a ⋅ bx+d + e mit dem Graphen der Funktion in der Form x ↦ bx beschreiben ,
Exponentialfunktionen graphisch darstellen und ihre Eigenschaften beschreiben (in einfachen Fällen auch ohne ein Computeralgebrasystem) ,
aus Darstellungen von Funktionen auf einen möglichen Funktionstyp schließen und eine Funktionsgleichung angeben (in einfachen Fällen auch ohne ein Computeralgebrasystem) ,
die Potenz- und Logarithmenschreibweise ineinander umwandeln ,
einfache Exponentialgleichungen ohne ein Computeralgebrasystem inhaltlich oder kalkülmäßig lösen ,
Selbst- und Sozialkompetenz
Informationen aus einer Funktionsgleichung entnehmen, bearbeiten und interpretieren,
den Einsatz eines Computeralgebrasystems reflektieren. Gleichwertig mit der Schreibweise f(x) = bx. Selbes gilt im Folgenden auch für alle weiteren Funktionsvorschriften.
den mathematischen Inhalten und deren Vertiefung,
dem Grad der thematischen Vertrautheit,
Sach- und Methodenkompetenz
den Differenzenquotienten als die mittlere Änderungsrate innermathematisch und im Sachzusammenhang ermitteln und geometrisch als Anstieg der Sekanten interpretieren,
Grenzwerte auf der Grundlage eines anschaulichen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitungen nutzen,
die Ableitung einer Funktion als Differentialquotient und als lokale Änderungsrate beschreiben, erläutern und geometrisch als Tangentenanstieg interpretieren,
die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen aus der Anschauung heraus deuten,
Zusammenhänge zwischen Funktion und Ableitungsfunktion erkennen, begründen und darstellen sowie den Graphen der Ableitungsfunktion aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt bestimmen,
Ableitungsfunktionen unter der Verwendung von Ableitungsregeln (Summen-, Potenz-, Faktor-, Konstanten- und Produktregel) ermitteln für • Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten, • ganzrationale Funktionen, • Exponentialfunktionen zur Basis e, • Sinus- und Kosinusfunktionen, • elementare Verknüpfungen dieser • die Funktion28 x ↦ ln(x), Funktionen, • Verknüpfungen und Verkettungen aller behandelten Funktionsklassen (unter Verwendung der Kettenregel),
ganzrationale Funktionen und Exponentialfunktionen zur Basis e sowie Verknüpfungen dieser Funktionen sowie Verknüpfungen und Verkettungen auf dieser Funktionen auf • grundlegende Eigenschaften, • Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte (einschließlich Sattelpunkte), • Arten von Extrema untersuchen und den Einfluss eines reellen Parame- und eine Schar von Funktionen mit reelters auf Eigenschaften dieser Funktionen len Parametern auf Eigenschaften unterermitteln und beschreiben, suchen,
die Funktion x ↦ ln(x) als Umkehrfunktion von29 x ↦ ex auf grundlegende Eigenschaften untersuchen, Gleichwertig mit der Schreibweise f(x) = ln(x). Gleichwertig mit der Schreibweise f(x) = ex. Grundlegendes Anforderungsniveau (gA) Erhöhtes Anforderungsniveau (eA)
inner- und außermathematische Probleme mithilfe der Differentialrechnung bearbeiten (in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel), insbesondere • Gleichungen von Tangenten ermitteln, • Gleichungen von Tangenten, Normalen und Sekanten ermitteln, • Gleichungen von ganzrationalen Funktionen aus vorgegebenen Eigenschaften ermitteln, • Extremwertprobleme lösen, • die Geschwindigkeit als Änderung des zurückgelegten Weges nach der Zeit interpretieren und im Sachzusammenhang anwenden,
das unbestimmte Integral als Menge aller Stammfunktionen interpretieren,
Stammfunktionen mithilfe entsprechender Integrationsregeln ermitteln für • Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten (außer30 x ↦ ), x • ganzrationale Funktionen, • Exponentialfunktionen (Basis e), • Sinus- und Kosinusfunktionen, • additive Verknüpfungen dieser • die Funktion x ↦, x Funktionen, • additive Verknüpfungen und Verkettungen (mit innerer linearer Funktion) dieser Funktionen,
den Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren • beschreiben, • geometrisch mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung begründen, • analytisch mithilfe der Integralfunktion begründen,
bestimmte Integrale mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung berechnen,
das bestimmte Integral als Flächeninhaltsbilanz und als aus Änderungen rekonstruierter Bestand erläutern,
Selbst- und Sozialkompetenz
mit Ergebnissen, die ein digitales Mathematikwerkzeug anzeigt, kritisch umgehen und Lösungsstrategien entsprechend verändern,
Informationen aus mathematischen Sachtexten und aus Computerdarstellungen entnehmen und anderen verständlich erläutern,
Sach- und Methodenkompetenz
Punkte, Strecken, Geraden, Flächen und Körper im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem darstellen und ihre Lage beschreiben,
aus Darstellungen sowie Eigenschaften von Flächen und Körpern auf die Koordinaten von Punkten schließen,
Vektoren in Koordinatendarstellung angeben und geometrisch interpretieren,
Vektoren zeichnerisch und rechnerisch addieren, subtrahieren und vervielfachen,
zwei bzw. drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit untersuchen und das Ergebnis geometrisch interpretieren,
den Betrag eines Vektors ermitteln,
das Skalarprodukt berechnen, geometrisch deuten und zur Berechnung von Winkelgrößen zwischen zwei Vektoren nutzen,
das Vektorprodukt berechnen und geometrisch deuten, insbesondere als Normalenvektor einer Ebene,
Geraden und Ebenen durch Gleichungen in der Parameterform sowie Ebenen in Koordinatenform beschreiben,
die Lage eines Punktes zu einer Gerade und einer Ebene untersuchen,
die Lage zweier Geraden zueinander untersuchen und ggf. den Schnittpunkt und -winkel berechnen,
Schnittpunkte und -winkel von einer Ge- – Lagebeziehungen, Schnittmengen und rade und einer Koordinatenebene be- Schnittwinkel von Geraden und Ebenen stimmen, sowie zweier Ebenen ermitteln,
Schnittwinkel von einer Ebene und einer – Abstände zwischen Punkten, Geraden Koordinatenebene bestimmen, und Ebenen bestimmen (außer Abstand windschiefer Geraden),
Eigenschaften einer Schar von Geraden bzw. Ebenen ermitteln und beschreiben,
Selbst- und Sozialkompetenz
zeichnerische Darstellungen selbstständig analysieren,
in kooperativen Lernformen das Vorgehen und die Ergebnisse anderer einschätzen,
Sach- und Methodenkompetenz
Bernoulli-Ketten als mehrstufige Zufallsexperimente beschreiben und die Formel von Bernoulli anwenden, dabei Binomialkoeffizienten bestimmen und inhaltlich deuten,
die Bedingungen für die Anwendbarkeit der Formel von Bernoulli prüfen und die Ergebnisse kritisch werten,
die Binomialverteilung als ein mathematisches Modell zur Beschreibung von diskreten Zufallsgrößen anwenden und die Grenzen des Modells im Sachzusammenhang beschreiben,
Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Binomialverteilung berechnen,
Erwartungswert und Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen berechnen und anwenden,
Binomialverteilungen graphisch darstellen und interpretieren,
erläutern, dass die bei einer Stichprobe erhobene relative Häufigkeit eine Schätzung der unbekannten Wahrscheinlichkeit darstellt,
die Sigma-Regeln anwenden,
Prognoseintervalle für die absoluten und relativen Häufigkeiten in einer Stichprobe ermitteln und interpretieren,
die Länge des Prognoseintervalls unter Verwendung des - Gesetzes und des √n Wurzeltrichterdiagrammes abschätzen, Grundlegendes Anforderungsniveau (gA) Erhöhtes Anforderungsniveau (eA)
basierend auf relativen Häufigkeiten h das Konfidenzintervall zu einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p ermitteln und interpretieren
Konfidenz- und Prognoseintervalle mithilfe von Konfidenzellipsen darstellen und interpretieren,
den Stichprobenumfang zu einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit abschätzen,
die Normalverteilung • als ein mathematisches Modell zur Beschreibung von stetigen Zufallsgrößen anwenden, • mithilfe der Gaußschen Glockenkurve graphisch darstellen und diese als Graph der Dichtefunktion interpretieren, • zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten anwenden, • durch Erwartungswert und Standardabweichung charakterisieren,
Selbst- und Sozialkompetenz
die Bedingungen für die Modellierung von Zufallsexperimenten und die dabei gewonnenen Ergebnisse am Sachverhalt prüfen und kritisch werten.
